自動控制原理習(xí)題和答案

1、1. 采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，求該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。答案:該系統(tǒng)可用簡便計算方法求出脈沖傳遞函數(shù)。去掉采樣開關(guān)后的連續(xù)系統(tǒng)輸出表達式為 對閉環(huán)系統(tǒng)的輸出信號加脈沖采樣得 再對上式進行變量替換得2. 已知采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示，采樣周期T=0.1s。試求系統(tǒng)穩(wěn)定時K的取值范圍。答案:首先求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。由 求得，已知T=0.1s，e-1=0.368，故 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為，特征方程為 D(z)=1+G(z)=z2+(0.632K-1.368)z+0.368=0 將雙線性變換代入上式得 0.6322+1.264+(2.736-0.632K)=0 要使二階系統(tǒng)穩(wěn)定，則有 K0，0 故得到K的

2、取值范圍為0K4.32。3. 求下列函數(shù)的z變換。(1). e(t)=te-at答案:e(t)=te-at 該函數(shù)采樣后所得的脈沖序列為 e(nT)=nTe-anT n=0，1，2， 代入z變換的定義式可得 E(z)=e(0)+P(T)z-1+e(2T)z-2+e(nT)z-n+=0+Te-aTz-1+2Te-2aTz-2+nTe-naTz-n+=T(e-aTz-1+2e-2aTz-2+ne-naTz-n+) 兩邊同時乘以e-aTz-1，得 e-aTz-1E(z)=T(e-2aTz-2+2e-3aTz-3+ne-a(n+1)Tz-(n+1)+) 兩式相減，若|e-aTz-1|1，該級數(shù)收斂，同

3、樣利用等比級數(shù)求和公式，可得 最后該z變換的閉合形式為(2). e(t)=cost答案:e(t)=cost 對e(t)=cost取拉普拉斯變換得 展開為部分分式，即 可以得到 化簡后得(3). 答案: 將上式展開為部分分式，得 查表可得(4). 答案: 對上式兩邊進行z變換可得 得4. 求下列函數(shù)的z反變換(1). 答案: 由于 所以 得 所以可得E(z)的z反變換為 e(nT)=10(2n-1)(2). 答案: 由于 所以 得 所以E(z)的z反變換為 e(nT)=-n-1n+2n=2n-n-1(3). 答案: 由長除法可得E(z)=2z-1-6z-3+10z-5-14z-7+ 所以其反變換

4、為 e*(t)=2(t-T)-6(t-3T)+10(t-5T)-14(t-7T)+18(t-9T)+(4). 答案: 解法1：由反演積分法，得 解法2：由于 所以 得 最后可得z反變換為5. 分析下列兩種推導(dǎo)過程：(1). 令x(k)=k1(k)，其中1(k)為單位階躍響應(yīng)，有答案:(2). 對于和(1)中相同的x(k)，有 x(k)-x(k-1)=k-(k-1)=1 試找出(2)與(1)中的結(jié)果為何不同，找出(1)或(2)推導(dǎo)錯誤的地方。答案:x(k)-x(k-1)=k(k)-(k-1)1(k-1)=0，1，2， Zx(k)-x(k-1)=(1-Z-1)X(z) 按z變換定義有 將上述結(jié)果代

5、入Zx(k)-x(k-1)=(1-Z-1)X(z)中可得 可見，(1)的推導(dǎo)正確，(2)的推導(dǎo)第一步就錯了，導(dǎo)致最后結(jié)果錯誤。6. 假設(shè)一個序列f(k)，有如下的z變換形式(1). 求f(k)。答案:首先求出F(z)的z反變換 由此可得 f(k)=0.33(-0.6)k1(k)-0.0476(0.3)k1(k)+0.711(k) k=0，1，2，-(2). 序列的穩(wěn)態(tài)值為多少?答案:在計算序列的穩(wěn)態(tài)值之前，應(yīng)該先判斷(z-1)F(z)的穩(wěn)定性。通過查看(z-1)F(z)的極點z1=-0.6，z2=0.3，可見(z-1)F(z)是穩(wěn)定的。由終值定理可得7. 某一過程的離散傳遞函數(shù)為(1). 計算

6、輸出c(k)關(guān)于r(k)的單位階躍響應(yīng)。答案:單位階躍信號的z變換為，因此 z反變換為 c(k)=11.426ej2.594(0.64ej0.675)1(k)+11.426e-j2.594(0.64e-j0.675)k1(k)+19.51(k)=11.426(0.64)k(ej2.594+j0.675k+e)1(k)+19.51(k)=22.85(0.64)kcos(0.675k+2.594)1(k)+19.51(k) k=0，1,2，.(2). c(k)的穩(wěn)態(tài)值為多少?答案:可知，c(k)的穩(wěn)態(tài)值為19.5?？梢酝ㄟ^終值定理來檢驗這一結(jié)果的正確性，穩(wěn)態(tài)增益為8. 考慮如下的差分方程： y(k

7、+1)+0.5y(k)=z(k) 則當輸入x(k)為單位階躍序列時，零初始條件下響應(yīng)y(k)等于多少?答案:同時對方程兩邊進行z變換，得 zY(z)+0.5Y(z)=X(z) 當輸入信號為單位階躍序列時 因此 所得結(jié)果為9. 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，試求能控標準型、能觀測標準型、約當標準型，并畫出狀態(tài)變量圖。答案:(1)能控標準型為 (2)能觀測標準型為 (3) 由上式可得對角型 狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖分別如下圖(a)、(b)和(c)所示。提示 需要注意的是：當傳遞函數(shù)的分子與分母的階次相等時，d0。10. 已知系統(tǒng)和，判斷1與2是否是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。若是，試確定系統(tǒng)矩陣A；如果不是，說明理由。答案:狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩

8、陣應(yīng)滿足：，(0)=I，則 假設(shè)1(t)與2(t)為轉(zhuǎn)移矩陣，則 則 所以1(t)不是轉(zhuǎn)移矩陣，2(t)是轉(zhuǎn)移矩陣，其系統(tǒng)矩陣為。提示 由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義可知，判斷是否符合，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣必須滿足的兩個條件：(1)(0)=I；(2)交換律。11. 已知系統(tǒng)矩陣，至少用兩種方法求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)。答案:(1)定義法 (2)拉氏反變換法提示 求取狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法有多種，對于階次3階以下的系統(tǒng)，采用拉氏反變換法計算較為簡單。12. 已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為，初始條件為x1(0)=1，x2(0)=0。試求系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的響應(yīng)。答案:此題為求非齊次狀態(tài)方程的解，對于非齊次狀態(tài)方程，有提示 狀態(tài)方

9、程的解是兩部分的疊加，即初始狀態(tài)引起的自由運動(零輸入響應(yīng))和控制輸入引起的強制運動(零狀態(tài)響應(yīng))，解的公式為。13. 給定二階系統(tǒng)，t0，現(xiàn)知對應(yīng)于兩個不同初態(tài)時狀態(tài)響應(yīng)為時，時， 試求系統(tǒng)矩陣A。答案:方法1：先計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)。設(shè) 齊次狀態(tài)方程的解x(t)=(t)x0，依題意應(yīng)有 (9-21) (9-22) 解方程組得 11(t)=2e-t-e-2t 12(t)=2e-t-2e-2t 21(t)=-e-t+e-2t 22(t)=-e-t+2e-2t 故 方法2：根據(jù)式(9-21)、式(9-22)可以列出下面式子，用以求得(t)。提示 齊次狀態(tài)方程，t0，x(0)=x0的解為x(t)

10、=(t)x0，已知x0和x(t)，則可先求出(t)，再求系統(tǒng)矩陣A。14. 已知連續(xù)系統(tǒng)的動態(tài)方程為，y=1 0 x設(shè)采樣周期T=1s，試求離散化動態(tài)方程。答案:狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣： 則 y(k)=Cx(k)=1 0 x(k)提示 連續(xù)時間系統(tǒng)的離散化模型的系數(shù)矩陣G和H滿足：G=(T)=eAT，而系數(shù)矩陣C和D與連續(xù)系統(tǒng)相同。15. 線性系統(tǒng)的空間描述為6:6088/Latex/latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y31cZG90e3h9PVxsZWZ0W1xiZWdpbnthcnJheX17Y2N9XGFs%0D%0AcGhhICYxXF

11、wgMCZcYmV0YVxlbmR7YXJyYXl9XHJpZ2h0XXgrXGxlZnRbXGJlZ2lue2FycmF5fXtj%0D%0AfTFcXCAxXGVuZHthcnJheX1ccmlnaHRddVxcIHk9WzHjgIAtMV1444CA44CAXGVuZHthcnJheX0%3D，確定使系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀測的待定常數(shù)和。答案:能控性判別矩陣 若系統(tǒng)狀態(tài)完全能控，則M0，即和應(yīng)滿足： -10 能觀性判別矩陣 (9-23) 若系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測，則|N|0，即和應(yīng)滿足： -+10 (9-24) 聯(lián)立式(9-23)、式(9-24)，得 +1提示 單輸入單輸出系統(tǒng)狀態(tài)

12、完全能控的充要條件是：能控性判別矩陣M=b Ab An-1 b滿秩，即det(M)0；同理，狀態(tài)完全能觀測的充要條件是：能觀測判別矩陣滿秩，即det(N)0。16. 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為，并設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)能控且能觀測，試求a值。答案: 在任意3階實現(xiàn)情況下能控且能觀測，則a1，2，4(沒有零極點對消)。提示 系統(tǒng)狀態(tài)能控性與能觀測性與傳遞函數(shù)零極點的關(guān)系是：當傳遞函數(shù)出現(xiàn)零極點對消時，狀態(tài)不是完全能控且能觀測的，即當傳遞函數(shù)出現(xiàn)了零極點對消，系統(tǒng)的狀態(tài)可能會出現(xiàn)：能控不能觀測、不能控能觀測或既不能控又不能觀測。17. 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，試寫出系統(tǒng)能控不能觀測，不能控能觀測，不能控不能觀測的實現(xiàn)。答案

13、: 傳遞函數(shù)有零極點對消，因此系統(tǒng)狀態(tài)不是能控且能觀測的。 能控不能觀測實現(xiàn)： y=1 1x 不能控能觀測實現(xiàn)： y=0 1x 不能控不能觀測實現(xiàn)： y=0 1x提示 當傳遞函數(shù)出現(xiàn)零極點對消時，狀態(tài)不是完全能控且能觀測的，即當傳遞函數(shù)出現(xiàn)了零極點對消，系統(tǒng)的狀態(tài)可能會出現(xiàn)：能控不能觀測、不能控能觀測或既不能控又不能觀測。18. 設(shè)線性定常系統(tǒng)為 y=1 -1 1x 判別其能控性，若不是完全能控的，試將該系統(tǒng)按能控性分解。答案:系統(tǒng)能控性判別矩陣為 其秩rankM=2n，所以系統(tǒng)是不完全能控的。 構(gòu)造非奇異變換陣Rc：，(其中R3是任意的，只要能保證Rc為非奇異即可) 即 ， 變換后的狀態(tài)空間

14、描述為提示 當系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控時，即rankM=n1n(n為系統(tǒng)矩陣A的維數(shù))，則有n=n1個狀態(tài)是不完全能控的，可按能控性分解：系統(tǒng)的狀態(tài)空間被分解成能控的和不能控的兩部分，引入線性變換，選擇非奇異變換矩陣，其中n個列矢量可以按如下方法構(gòu)成：前n1個列矢量是能控性判別矩陣M中的n1個線性無關(guān)的列，另外n-n1個列在確保Rc為非奇異條件下，完全是任意的。19. 上題中線性定常系統(tǒng)，判別其能觀測性，若不是完全能觀測的，試將該系統(tǒng)按能觀性分解。答案:系統(tǒng)能觀性判別矩陣為 其秩rankN=2n，所以系統(tǒng)是完全能觀的。 構(gòu)造非奇異變換陣： R1=c=1 -1 1，R2=cA=1 -3 2，R3=0

15、0 1(其中R3是任意的，只要能保證為非奇異即可) 即， 變換后的狀態(tài)空間描述為提示 當系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀測時，即rankN=n1n(n為系統(tǒng)矩陣A的維數(shù))，則有n-n1個狀態(tài)是不完全能觀測的，可按能觀測性分解：系統(tǒng)的狀態(tài)空問被分解成能觀測的和不能觀測的兩部分，引入線性變換，選擇非奇異變換矩陣，其中n個行矢量可以按如下方法構(gòu)成：前n1個行矢量是能觀測性判別矩陣N中的，n1個線性無關(guān)的行，另外n-n1行確保R。存在，完全是任意的。20. 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為6:6088/Latex/latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y31cZG90e

16、3h9PVxsZWZ0W1xiZWdpbnthcnJheX17Y2N9LTEm%0D%0AMFxcMCYxXGVuZHthcnJheX1ccmlnaHRdeCtcbGVmdFtcYmVnaW57YXJyYXl9e2N9MVxcMVxlbmR7%0D%0AYXJyYXl9XHJpZ2h0XXVcXHk9WzHjgIAwXXjjgIDjgIDjgIBcZW5ke2FycmF5fQ%3D%3D，試分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性和輸出穩(wěn)定性。答案:(1)狀態(tài)穩(wěn)定性 平衡狀態(tài)xe=0 李雅普諾夫第一法：系統(tǒng)矩陣A的特征多項式為 得 1=-1，2=1 2=1具有正實部，所以系統(tǒng)在平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。 (2)輸出穩(wěn)定

17、性 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)=c(sI-A)-1b 閉環(huán)極點s=-1具有負實部，所以系統(tǒng)輸出是穩(wěn)定的。提示 輸出穩(wěn)定性(BIBO穩(wěn)定)的充要條件是：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的極點均具有負實部；李雅普諾夫第一法判斷線性定常系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定性(又稱內(nèi)部穩(wěn)定性、平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性)的充要條件是：系統(tǒng)矩陣A的特征值都具有負實部。21. 試用李雅普諾夫第二法判斷，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。答案:平衡狀態(tài)xe=0 構(gòu)造 則 判定性質(zhì)：6:6088/Latex/latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y30tMu%2B8nDDjgIDjgIDjgIDjgIDjgIDjgIBcXF

18、xsZWZ0fFxi%0D%0AZWdpbnthcnJheX17Y2N9LTImM1xcMyYtNlxlbmR7YXJyYXl9XHJpZ2h0fD0 xMi05PTPvvJ4wXGVu%0D%0AZHthcnJheX0%3D負定，xe是漸近穩(wěn)定的平衡點，且當|x|時，V(x)，因此平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。提示 李雅普諾夫第二法直接判斷平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性方法：構(gòu)造正定的李雅普諾夫函數(shù)V(x)，通過V(x)的符號性質(zhì)來判斷平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。22. 下式中a為常數(shù)，試確定平衡點的穩(wěn)定性。6:6088/Latex/latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJ

19、heX17Y31cZG90e3h9X3sxfT14X3syfS1heF97MX0oeF97MX1eezJ9%0D%0AK3hfezJ9XnsyfSlcXFxkb3R7eH1fezJ9PS14X3sxfS1heF97Mn0oeF97MX1eezJ9K3hfezJ9Xnsy%0D%0AfSlcZW5ke2FycmF5fQ%3D%3D答案:xe=0是唯一的平衡點。 試取 顯然，V(x)0，且有連續(xù)一階偏導(dǎo)，即6:6088/Latex/latex.action?latex=XGRvdHtWfSh4KT1cZnJhY3tccGFydGlhbFYoeCl9e1xwYXJ0aWFseF97MX19XHRpb

20、WVzIFxmcmFj%0D%0Ae1xtYXRocm17ZH14X3sxfX17XG1hdGhybXtkfXR9K1xmcmFje1xwYXJ0aWFsVih4KX17XHBhcnRp%0D%0AYWx4X3syfX1cdGltZXMgXGZyYWN7XG1hdGhybXtkfXhfezJ9fXtcbWF0aHJte2R9dH09MnhfezF9%0D%0AW3hfezJ9LWF4X3sxfSh4X3sxfV57Mn0reF97Mn1eezJ9KV0rMnhfezJ9Wy14X3sxfS1heF97Mn0o%0D%0AeF97MX1eezJ9K3hfezJ9XnsyfSldPS0yYSh4X

21、3sxfV57Mn0reF97Mn1eezJ9KV57Mn0%3D 當a0時，有V(x)0，xe是漸近穩(wěn)定的平衡點，且當時，V(x)，故有大范圍漸近穩(wěn)定； 當a=0時，有，xe是李氏穩(wěn)定的平衡點； 當a0，有V(x)0，xe是不穩(wěn)定的平衡點。 所選V(x)可判穩(wěn)定性，故是李雅普諾夫函數(shù)。23. 設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，判斷能否利用狀態(tài)反饋矩陣將傳遞函數(shù)變成，若有可能，求出一個滿足的狀態(tài)反饋矩陣K。答案:能。 上式無零極點對消，因此狀態(tài)是完全能控的，可以通過狀態(tài)反饋任意配置極點。 用能控標準型實現(xiàn)：；y=cx 其中：，c=-2 1 1 為使傳遞函數(shù)變?yōu)?，需配置極點，使得期望極點為 s1=s2=-2，s

22、3=-3 期望特征多項式為 f(s*)=(s+2)2(s+3)=s3+7s2+16s+12 反饋矩陣K=k1 k2 k3， 引入狀態(tài)反饋后的特征多項式為 f(s)=|sI-(A-bK)|=s3+(2+k3)s2+(k2-5)S+k1-6 令f(s*)=f(s)，有 6:6088/Latex/latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y30yK2tfezN9PTdcXGtfezJ9LTU9MTZcXGtfezF9LTY9MTJc%0D%0AZW5ke2FycmF5fQ%3D%3D 解得 6:6088/Latex/latex.action?lat

23、ex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y31rX3sxfT0 xOFxca197Mn09MjFcXGtfezN9PTVcZW5ke2Fy%0D%0AcmF5fQ%3D%3D 配置極點后出現(xiàn)零極點對消，系統(tǒng)不能觀測。但傳遞函數(shù)只描述外部特性，故可達到目的。提示 通過狀態(tài)反饋配置極點改變閉環(huán)的極點，但是有可能出現(xiàn)零極點對消，出現(xiàn)對消后，系統(tǒng)不是能控且能觀測的。而傳遞函數(shù)只描述系統(tǒng)的外部特征，所以是可以實現(xiàn)的。狀態(tài)反饋極點配置的步驟：判斷能控性；求期望特征多項式f(s*)；求引入反饋矩陣的特征多項式f(s)；令f(s*)=f(s)，得出反饋矩陣K。24. 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為

24、 y=0 1x (1)畫出系統(tǒng)的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖； (2)求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)； (3)判斷系統(tǒng)的能控性和能觀測性； (4)求系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)和-1(t)； (5)當，u(t)=0時，求系統(tǒng)輸出y(t)； (6)設(shè)計全維狀態(tài)觀測器，將觀測器極點配置在-10+j10，-10-j10)處； (7)在(6)的基礎(chǔ)上，設(shè)計狀態(tài)反饋u=v-Kx，反饋矩陣K，使系統(tǒng)閉環(huán)極點配置在-5+j5，-5-j5處； (8)畫出系統(tǒng)總體狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖。答案:(1)原系統(tǒng)的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖9-5所示。 (2) (3)能控性判別矩陣rankM=2=n，故系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。 能觀測性判別矩陣 rankN=2=n，故系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的。 (4) (5) (6)設(shè)觀測器輸出誤差反饋矩陣，令=s2+(5+g2)s+6+6g1+5g2=(s+10-j10)(s+10+j10)=s2s+20s+200 比較對應(yīng)項系數(shù)得6:6088/Latex/latex.action?latex=XGxlZnRce1xiZWdpbnthcnJheX17Y301K2dfezJ9PTIw44CA44CA4