江蘇省數(shù)學競賽提優(yōu)教程教案：第講染色問題

1、第14講 染色問題本節(jié)主要講述用染色的方法解有關(guān)的競賽題染色，是一種輔助解題的手段，通過染色，把研究對象分類標記，以便直觀形象地解決問題，因此染色就是分類的思想的具體化，例如染成兩種顏色，就可以看成是奇偶分析的一種表現(xiàn)形式染色，也是構(gòu)造抽屜的一個重要方法，利用染色分類，從而構(gòu)造出抽屜，用抽屜原理來解題A類例題例1 有一個66的棋盤，剪去其左上角和右下角各一個小格(邊長為1)后，剩下的圖形能不能剪成17個12的小矩形？ 剪去國際象棋棋盤左上角22的正方形后，能不能用15個由四個格子組成的L形完全覆蓋？例1(2)例1(！) 分析 把棋盤的格子用染色分成兩類，由此說明留下的圖形不能滿足題目的要求證明

2、 如圖，把66棋盤相間染成黑、白二色，使相鄰兩格染色不同則剪去的兩格同色但每個12小矩形都由一個白格一個黑格組成，故不可能把剩下的圖形剪成17個12矩形 如圖，把88方格按列染色，第1，3，5，7列染黑，第2、4、6、8列染白這樣染色，其中黑格有偶數(shù)個由于每個L形蓋住三黑一白或三白一黑，故15個L形一定蓋住奇數(shù)個黑格，故不可能 說明 用不同的染色方法解決不同的問題例2 用若干個由四個單位正方形組成的“L”形紙片無重疊地拼成一個mn的矩形，則mn必是8的倍數(shù)分析 易證mn是4的倍數(shù)，再用染色法證mn是8的倍數(shù)證明：每個L形有4個方格，故4|mn于是m、n中至少有一個為偶數(shù)設(shè)列數(shù)n為偶數(shù)，則按奇數(shù)

3、列染紅，偶數(shù)列染藍于是紅格與藍格各有 eq f(1,2)mn個，而 eq f(1,2)mn是偶數(shù)每個L形或蓋住3紅1藍，或蓋住1紅3藍，設(shè)前者有p個，后者有q個于是紅格共蓋住3p+q個即p+q為偶數(shù)，即有偶數(shù)個L形設(shè)有2k個L形于是mn=2k4=8k故證說明 奇偶分析與染色聯(lián)合運用解決本題情景再現(xiàn)1下面是俄羅斯方塊的七個圖形：請你用它們拼出(A)圖，再用它們拼出(B)圖(每塊只能用一次，并且不準翻過來用)如果能拼出來，就在圖形上畫出拼法，并寫明七個圖形的編號；如果不能拼出來，就說明理由2能否用圖中各種形狀的紙片（不能剪開）拼成一個邊長為75的正方形？（圖中每個小方格的邊長都為1）請說明理由 B

4、類例題例3 以任意方式對平面上的每一點染上紅色或者藍色證明：一定存在無窮條長為1的線段，這些線段的端點為同一顏色 以任意方式對平面上的每一點染上紅色或者藍色證明：存在同色的三點，且其中一點為另兩點中點分析 任意染色而又要求出現(xiàn)具有某種性質(zhì)的圖形，這是染色問題常見的題型，常用抽屜原理或設(shè)置兩難命題的方法解證明 取邊長為1的等邊三角形，其三個頂點中必有兩個頂點同色同色兩頂點連成線段即為一條滿足要求的線段，由于邊長為1的等邊三角形有無數(shù)個，故滿足要求的線段有無數(shù)條 取同色兩點A、B，延長AB到點C，使BC=AB，再延長BA到點D，使AD=AB，若C、D中有一點為紅色，例如點C為紅色，則點B為AC中點

5、則命題成立否則，C、D全藍，考慮AB中點M，它也是CD中點故無論M染紅還是藍，均得證說明 中，兩種顏色就是兩個“抽屜”，三個點就是三個“蘋果”，于是根據(jù)抽屜原理，必有兩個點落入同一抽屜中，這里實際上構(gòu)造了一個兩難命題：非此即彼，二者必居其一讓同一點既是某兩個紅點的中點，又是兩個藍點的中點，從而陷入兩難選擇的境地，于是滿足條件的圖形必然存在達到證明的目的例4 以任意方式對平面上的每一點染上紅色或者藍色證明：一定可以找到無窮多個頂點為為同一種顏色的等腰三角形 以任意方式對平面上的每一點染上紅色或者藍色證明：一定可以找到無窮多個頂點為為同一種顏色的等腰直角三角形分析 同樣可以設(shè)置兩難命題：由于等腰三

6、角形的頂點在底邊的垂直平分線上，故先選兩個同色點連成底邊，再在連線的垂直平分線上找同色的點，這是解法1的思路利用圓的半徑相等來構(gòu)造等腰三角形的兩腰，這是解法2的思路利用抽屜原理，任5個點中必有三點同色，只要這5點中任三點都是一個等腰三角形的頂點即可，而正五邊形的五個頂點中任三個都是等腰三角形的頂點，這是解法3的思路連正方形的對角線即得到兩個等腰直角三角形，所以從正方形入手解決相題第2問 證明1 任取兩個同色點A、B(設(shè)同紅)，作AB的垂直平分線MN，若MN上(除與AB交點外)有紅色點，則有紅色三角形，若無紅色點，則MN上至多一個紅點其余均藍，取關(guān)于AB對稱的兩點C、D，均藍則若AB上有(除交點

7、外)藍點，則有藍色三角形，若無藍點，則在矩形EFGH內(nèi)任取一點K(不在邊上)若K為藍，則可在CD上取兩點與之構(gòu)成藍色三角形，若K為紅，則可在AB上找到兩點與之構(gòu)成紅色三角形證明2 任取一紅點O，以O(shè)為圓心任作一圓，若此圓上有不是同一直徑端點的兩個紅點A、B，則出現(xiàn)紅色頂點等腰三角形OAB，若圓上只有一個紅點或只有同一直徑的兩個端點是紅點，則圓上有無數(shù)藍點，取兩個藍點(不關(guān)于紅點為端點的直徑對稱)C、D，于是CD的垂直平分線與圓的兩個交點E、F為藍點，于是存在藍色頂點的等腰三角形CDE證明3 取一個正五邊形ABCDE，根據(jù)抽屜原理，它的5個頂點中，必有三個頂點(例如A、B、C)同色，則ABC即為

8、等腰三角形證明 任取兩個藍點A、B，以AB為一邊作正方形ABCD，若C、D有一為藍色，則出現(xiàn)藍色三角形若C、D均紅，則對角線交點E或紅或藍， 出現(xiàn)紅色或藍色等腰直角三角形顯然按此作法可以得到無數(shù)個等腰直角三角形(由本題也可以證明上一題)例5 設(shè)平面上給出了有限個點(不少于五點)的集合S，其中若干個點被染成紅色，其余點被染成藍色，且任意三個同色點不共線求證：存在一個三角形，具有下述性質(zhì)： 以S中的三個同色點為頂點； 此三角形至少有一條邊上不含另一種顏色的點分析 要證明存在同色三角形不難，而要滿足第個條件，可以用最小數(shù)原理證明 由于S中至少有五點，這些點染成兩種顏色，故必存在三點同色且據(jù)已知，此三

9、點不共線，故可連成三角形取所有同色三角形，由于S只有有限個點，從而能連出的同色三角形只有有限個，故其中必有面積最小的其中面積最小的三角形即為所求首先，這個三角形滿足條件，其次，若其三邊上均有另一種顏色的點，則此三點必可連出三角形，此連出三角形面積更小，矛盾說明 最小數(shù)原理，即極端原理見第十二講例6 將平面上的每個點都染上紅、藍二色之一，證明：存在兩個相似的三角形，其相似比為1995，且每一個三角形的三個頂點同色(1995年全國聯(lián)賽加試題)分析 把相似三角形特殊化，變成證明相似的直角三角形，在矩形的網(wǎng)格中去找相似的直角三角形，這是證法1的思路證法2則是研究形狀更特殊的直角三角形：含一個角為30的

10、直角三角形證明可以找到任意邊長的這樣的三角形，于是對任意的相似比，本題均可證證法3則是考慮兩個同心圓上三條半徑交圓得的三組對應點連出的兩個三角形一定相似，于是只要考慮找同心圓上的同色點，而要得到3個同色點，只要任取5個只染了兩種顏色的點就行；而要得到5個同色點，則只要取9個只染了兩種顏色的點即行證明1 首先證明平面上一定存在三個頂點同色的直角三角形任取平面上的一條直線l，則直線l上必有兩點同色設(shè)此兩點為P、Q，不妨設(shè)P、Q同著紅色過P、Q作直線l的垂線l1、l2，若l1或l2上有異于P、Q的點著紅色，則存在紅色直角三角形若l1、l2上除P、Q外均無紅色點，則在l1上任取異于P的兩點R、S，則R

11、、S必著藍色，過R作l1的垂線交l2于T，則T必著藍色RST即為三頂點同色的直角三角形下面再證明存在兩個相似比為1995的相似的直角三角形設(shè)直角三角形ABC三頂點同色(B為直角)把ABC補成矩形ABCD(如圖)把矩形的每邊都分成n等分(n為正奇數(shù)，n1，本題中取n=1995)連結(jié)對邊相應分點，把矩形ABCD分成n2個小矩形AB邊上的分點共有n+1個，由于n為奇數(shù)，故必存在其中兩個相鄰的分點同色，(否則任兩個相鄰分點異色，則可得A、B異色)，不妨設(shè)相鄰分點E、F同色考察E、F所在的小矩形的另兩個頂點E、F，若E、F異色，則EFE或DFF為三個頂點同色的小直角三角形若E、F同色，再考察以此二點為頂

12、點而在其左邊的小矩形，這樣依次考察過去，不妨設(shè)這一行小矩形的每條豎邊的兩個頂點都同色同樣，BC邊上也存在兩個相鄰的頂點同色，設(shè)為P、Q，則考察PQ所在的小矩形，同理，若P、Q所在小矩形的另一橫邊兩個頂點異色，則存在三頂點同色的小直角三角形否則，PQ所在列的小矩形的每條橫邊兩個頂點都同色現(xiàn)考察EF所在行與PQ所在列相交的矩形GHNM，如上述，M、H都與N同色，MNH為頂點同色的直角三角形由n=1995，故MNHABC，且相似比為1995，且這兩個直角三角形的頂點分別同色證明2 首先證明：設(shè)a為任意正實數(shù)，存在距離為2a的同色兩點任取一點O(設(shè)為紅色點)，以O(shè)為圓心，2a為半徑作圓，若圓上有一個紅

13、點，則存在距離為2a的兩個紅點，若圓上沒有紅點，則任一圓內(nèi)接六邊形ABCDEF的六個頂點均為藍色，但此六邊形邊長為2a故存在距離為2a的兩個藍色點下面證明：存在邊長為a， eq r(3)a，2a的直角三角形，其三個頂點同色如上證，存在距離為2a的同色兩點A、B(設(shè)為紅點)，以AB為直徑作圓，并取圓內(nèi)接六邊形ACDBEF，若C、D、E、F中有任一點為紅色，則存在滿足要求的紅色三角形若C、D、E、F為藍色，則存在滿足要求的藍色三角形下面再證明本題：由上證知，存在邊長為a， eq r(3)a，2a及1995a，1995 eq r(3)a，19952a的兩個同色三角形，滿足要求證明3 以任一點O為圓心

14、，a及1995a為半徑作兩個同心圓，在小圓上任取9點，其中必有5點同色，設(shè)為A、B、C、D、E，作射線OA、OB、OC、OD、OE，交大圓于A，B，C，D，E，則此五點中必存在三點同色，設(shè)為A、B、C則ABC與ABC為滿足要求的三角形情景再現(xiàn)3以任意方式對平面上的每一點染上紅色或者藍色證明：一定存在一個矩形，它的四個頂點同色4以任意方式對平面上的每一點染上紅色或者藍色證明：一定可以找到無窮多個頂點全為同一種顏色的全等三角形5圖中是一個66的方格棋盤，現(xiàn)將部分11小方格涂成紅色。如果隨意劃掉3行3列，都要使得剩下的方格中一定有一個是紅色的，那么至少要涂多少個方格？6有兩個同心圓，圓上的每個點都用

15、紅、藍、黃三色之一染色試證明：可以分別在每個圓上找到同色的三個點連成圓的內(nèi)接三角形，且這兩個三角形相似C類例題例7 把平面上每個點都以紅、黃兩色之一著色求證：一定存在一個邊長為1或 eq r(3)的正三角形，它的三個頂點是同色的分析 邊長為1及 eq r(3)的三角形在半徑為1的圓內(nèi)接正六邊形中出現(xiàn)，故應設(shè)法在這樣的圓內(nèi)接正六邊形內(nèi)找滿足要求的三角形以紅點M為圓心，1為半徑作圓，6等分此圓，若其中沒有紅點，則存在邊長為 eq r(3)的黃頂點三角形，若有紅點R，則與之相鄰的兩分點中有紅點則有邊長為1的紅頂點三角形，若與R相鄰的兩分點均黃，則考慮直徑RQ的另一端點Q，若為黃則可證故應相距為2的兩

16、點R、Q，這樣就可構(gòu)造兩難命題了證明：1任取一染成紅色的點P，以P為圓心，1為半徑作圓，如果圓上及圓內(nèi)的點都是紅色，則存在邊長為1及 eq r(3)的三角形，其三個頂點同為紅色若圓上及圓內(nèi)的點不全染成紅色則存在圓上或圓內(nèi)一染成黃色的點Q，|PQ|1作PQR，使PR=QR=2，則R必與P、Q之一染色不同設(shè)R與Q染色不同，即R染紅色2取QR中點M，則M必與Q、R之一同色設(shè)與R同色，即同為紅色以RM=1為一邊，作正三角形RMS、RMT若S、T中任一點染紅，則存在邊長為1的紅色頂點三角形若S、T都為黃色，則與Q組成邊長為 eq r(3)的黃色頂點三角形說明 把問題歸結(jié)為相距為2的異色兩點例8 在一張1

17、00100的方格紙內(nèi)，能否把數(shù)字0，1，2分別放在每一個小方格內(nèi)(每格放一個數(shù))，使得任意由34(及43)小方格構(gòu)成的矩形中都有3個0，4個1及5個2分析 34方格由4個31方格組成，因此研究這樣的方格的可能填法證明 設(shè)存在這樣的填法兩個圖形中填入的0、1、2的個數(shù)如果完全相同，就稱這兩個圖形是填法相同的圖形圖11現(xiàn)在研究圖中的4個31或13矩形(陰影部分)，由于它們都與中心的33矩形組成34矩形，若存在滿足要求的填法時，它們的填法必相同圖22對于任一3n矩形(如圖2中部)，比較兩個只相錯一個13矩形的兩個34矩形，知，同色的13矩形的填法應相同即染色是周期出現(xiàn)的題3現(xiàn)考慮112矩形，如圖2，

18、根據(jù)的結(jié)果可知，圖2中同色的13或31矩形的填法相同于是每個112矩形應與一個34矩形的填法相同即圖中一面的112矩形含有4個13矩形，分別有4種顏色4但112矩形中填了5個2，從而必有某個13矩形中填了2個2不妨設(shè)黃色的13矩形中填了2個2于是用下面的112矩形的染色法知每個112矩形中至少有6個2由3、4矛盾，知這樣的填法不存在情景再現(xiàn)7設(shè)有428個小方格，給每個小方格都染上紅、藍、黃三種顏色中的一種試證明：至少存在一個矩形，它的四個角的小正方形同色 419小方格如上染三色，試證：至少存在一個矩形，它的四個角的小正方形同色8一個等邊三角形的三邊上所有的點(包括頂點)都染成紅色或藍色之一，求

19、證：必可找到此三角形邊上的三個同色點，使這三個點是直角三角形的三個頂點習題141以任意方式對數(shù)軸上的每一坐標為整數(shù)的點染上紅色或者藍色證明：對任意正整數(shù)，都能找到無數(shù)個點，這些點同色且坐標能被整除2以任意方式對平面上的每一點染上紅色或者藍色證明：一定可以找到無窮多個頂點全為同一種顏色的三角形3對正整數(shù)列按照以下方法由小到大進行染色：如果能夠表示為兩個合數(shù)的和，則染成紅色，否則染成藍色所有被染成紅色的數(shù)中由小到大數(shù)的第1994個數(shù)是多少？4把一個馬放入48的國際象棋棋盤的任何一格上，能否把它連跳32步，使得馬跳遍棋盤上每一格并回到最初位置？5能否用一個“田”格與15個14矩形紙片蓋滿88棋盤？圖

20、 6用右圖中4個小方格組成的“L”形若干個蓋住了一個4n矩形，那么，n一定是偶數(shù)7一個立方體的八個頂點分別染上紅色或綠色，六個面的中心也都分別染色，若一個面的四個頂點中有奇數(shù)個綠點,則這個面的中心也染成綠色,否則就染成紅色.求證:這樣得到的十四個色點不可能一半是紅色一半是綠色.8把4個同心圓的圓周各分成100等分把這400個分點染成黑、白兩色之一，使每個圓上都恰有50個黑點及50個白點證明：可以適當旋轉(zhuǎn)這4個圓，使得能夠從圓心引出的13條射線，每條射線穿過的4個染色相同的分點9將一個三角形ABC的三個頂點分別染上紅、藍、黑之一，在ABC內(nèi)部取若干點也任意涂紅、黑、蘭三色之一，這些點間(沒有三點

21、共線)連有一 些線段，把大三角形分成若干互相沒有重疊部分的一些小三角形.求證:不論怎樣涂，都有一個小三角形，其三個頂點涂的顏色全不同.10一個棱柱以五邊形A1A2A3A4A5及B1B2B3B4B5分別為上下底,這兩個多邊形的每一條邊及線段AiBj(i,j=1,2,3,4,5)均涂上紅色與綠色,每個以棱柱的頂點為頂點,以涂色線段為邊的三角形都有兩邊顏色不同,求證:上底與下底10條邊的顏色相同11將凸2003邊形的每個頂點都染色，且任意相鄰兩個頂點都異色試證：對上述任何一種染色法，都可以用互不相交于內(nèi)點的對角線將多邊形完全剖分成若干三角形，使得剖分中所用每條對角線的兩端點都不同色12100100小

22、方格表中每一個都被染成4種顏色之一，使得每行與每列恰有每種顏色的小方格各25個證明：可以在表中找到2行與2列，它們交得的4個小方格所染的顏色互不相同(2000第26屆俄羅斯數(shù)學奧林匹克)本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答：1解 將(A)的方格染成黑白兩色，使相鄰的方格都不同色(圖(C)，則此圖中黑白方格的個數(shù)相等，但如將染色，則都可染成黑白相間的兩黑兩白，但只能染成一黑三白或三黑一白，于是染色后黑白方格數(shù)不等所以(A)圖不能被完全覆蓋而圖(B)則因染色后黑白格相差1格，故有被蓋住的可能經(jīng)試驗，可如圖(D)沿粗線分開的方格分別用蓋住2解 把7575方格與圖中給出的4種形狀的小方格都染成黑白兩色，使任何相鄰的格

23、子染色不同由于7575方格的格子數(shù)為奇數(shù)，故其黑白格子的個數(shù)相差1個但這四種形狀的方格的染色中，前兩種黑白格子數(shù)相等，第三種染的黑白格子數(shù)分別為4與1(黑4白1或者白4黑1)，第四種形狀染的黑白格子數(shù)分別為5與2，這兩種格子的黑白格子數(shù)相差3，于是用這四種形狀中的任何幾種覆蓋住的方格，應蓋住相等的黑白格或蓋住的黑白格相差3的整數(shù)倍，不可能只相差1所以本題是不可能蓋住的3證明：取3行7列共21個點組成矩形網(wǎng)格考慮每列3個點的染色方式共有8種，若有某列3點全染紅色，則只要其余6列中有某列有2個點染紅，則存在四個頂點都是紅色的矩形，若有某列3個點全藍也同理若7列中沒有全紅、全藍兩種情況，則7列的染色

24、方式只有6種，必有兩列染色方式相同，此二列中有四點滿足要求4證明 以1為邊長作正五邊形，其五個頂點染二色，必有三個頂點同色于是出現(xiàn)同色三角形，由于正五邊形中的三角形只有兩種形狀，而邊長為1的五邊形有無窮多個，故由抽屜原理知，至少有一種形狀的(三個頂點同色的)三角形有無數(shù)個取這種形狀的頂點同色的三角形集合，該集合有無窮多個元素但這無數(shù)個三角形均全等，于是據(jù)抽屜原理，必有其中一種顏色的頂點的三角形有無窮多個5分析 當涂紅格少于或等于6時，只要劃去時，先劃去涂有紅格的3行，則余下的紅格至多還有3格，再劃去有涂紅格的列（當然不超過3列）則所有的涂紅格都被劃去了仿此，當涂紅格少于或等于9格時，由于這個圖

25、形只有6行，故總有某些行的涂紅格不止1格，首先劃去涂紅格至少2格的某一行，余下5行中，如涂紅的格子仍不止5格，則必有某行的不止1個涂紅格，再劃去至少有2個涂紅格的行，從第二步起，如涂紅格不足3格時，則任意劃去某行這樣，當涂紅格不多于9格時，總可以劃去3行，使余下涂紅格不多于3格，這時劃去有涂紅格的列，則總可以使余下方格中沒有紅格故，要保證劃去3行3列后余下格中一定有涂紅格，就一定要涂至少10格當涂紅格為10格時，可如圖的涂法，此時劃去3行后至多劃去6個涂紅格，余下至少4個涂紅格在至少4列中，從而任意劃去3列后至少還要余下1個涂紅格6證明 按兩個圓的半徑的大小稱這兩個圓為大圓與小圓在大圓上任取1

26、9個點，這19個點都染了三種顏色，故其中必有 eq bbc(f(19,3)+17個點同色，作過這7個同色點的半徑，交小圓于7點于是，這7個點中必有 eq bbc(f(7,3)+13個點同色這三點不可能在同一條直線上，可連成一個三角形，過這三個點的半徑與大圓的三個交點再連成三角形，這兩個三角形就滿足要求7證明 第一行中必有一種顏色有至少10個設(shè)為紅，把它們換到前10列，下面3行的前10列中，若有某一行有2個紅格，則可得證設(shè)每行至多有1個紅格于是至少有7列中沒有紅色格這個37矩形可證(可見情景再現(xiàn)第3題的證明) 由于一列4格染成3色，必有某色至少染2格每種顏色染2格的方案都各有6種，故共有18種可

27、能在19列中，必有兩列染兩格的方法相同故證8證明 分別在AB、BC、CA上取點D、E、F，使AD=BE=CF= eq f(1,3)AB易證DEBC，EFAC，F(xiàn)DAB由于D、E、F三點染成紅、藍兩色，故必有兩點同色，設(shè)D、E兩點染成紅色則若BC上除點E外還有一點K染成紅色，則出現(xiàn)紅色頂點直角DEK若BC上除E外全染藍色則AB與AC上除點D外有任一點染藍，就出現(xiàn)藍色三角形如果AB、AC上沒有藍色點則ADF即為紅色頂點三角形“習題14”解答：1證明：坐標為n 的倍數(shù)的點有無數(shù)個，染成兩色，則必有一種顏色有無窮多個2證明 任取兩個紅點A、B及兩個藍點C、D，平面上不在直線AB及CD上的點有無數(shù)個，于

28、是至少有一種顏色染了無數(shù)個點，即有無數(shù)個同色三角形3解 1，2，3，4，5，6，7，9，11都不能寫成兩個合數(shù)的和由于4k=4+4(k1)，4k+2=4+2(2k1)，故不小于8的偶數(shù)都能寫成兩個合數(shù)的和由于2k+1=9+2k8=9+2(k4)，故不小于13的奇數(shù)均可以寫成兩個合數(shù)的和所以，第1994個數(shù)是20034解 這半個棋盤有4行，把上下兩行的格子稱為外格，中間兩行的格子稱為內(nèi)格外格與內(nèi)格的格子數(shù)一樣多一只國際象棋的馬不能一步從外格跳到外格，所以如果馬從某一格開始每格正好跳一次地跳遍棋盤，并且最后回到起點，它就不能從內(nèi)格跳到內(nèi)格（否則內(nèi)格就會比外格多）這就說明 ，馬只能外格與內(nèi)格交替地跳

29、現(xiàn)在把半個國際象棋棋盤按右圖所示染色顯然，馬從外格跳到內(nèi)格時是跳到同色的格子上去，而從內(nèi)格跳到外格時也是跳到同色的格子上這樣一來，按上述跳法，馬就只在同色的格子之間跳動，這就說明，馬是不能從這半個棋盤上的任一格出發(fā)，跳遍棋盤上的所有格子并回到起點處的故這樣的跳法是不存在的5把88矩形按右圖染成黑白兩色，則一個“田”字形必蓋住3白1黑格或3黑1白格，而一個14矩形蓋住2白2黑格故本題無解6把4n方格按右圖的方法染成黑白兩色，則任一“L”形必蓋住3白1黑或3黑1白，如n為奇數(shù)，則蓋住這個圖形的“L”形個數(shù)也必為奇數(shù)，于是蓋住的白格與黑格也都是奇數(shù)個但圖中的白格與黑格數(shù)都是偶數(shù)故不可能蓋住7證明 設(shè)

30、此立方體的六個面中有x個面頂點是4紅，y個面的頂點是2紅2綠，z個面的頂點是4綠；有k個面頂點是3紅1綠，h個面頂點是1紅3綠統(tǒng)計每個面上在頂點處的綠點數(shù)：2y+4z+k+3h，每個頂點都在3個面上統(tǒng)計了一次，故頂點上的綠點共有 eq f(1,3)(2y+4z+k+3h)個，中心的綠點共有k+h個若這14個點中，紅綠各一半，則得 eq f(1,3)(2y+4z+k+3h)+k+h=7即(2y+4z+k+3h)+3k+3h=21，2y+4z+4k+6h=21這是不可能的故證8證明 把圓旋轉(zhuǎn) eq f(2,100)稱為一次旋轉(zhuǎn)，再把四個同心圓從內(nèi)到外依次稱為圓、先過圓心O任作一條射線OX，把四個圓

31、旋轉(zhuǎn)，使每個圓都有一個分點在OX上，固定圓，其上的某個分點A在OX上，旋轉(zhuǎn)圓，使其上每個點都與OX對齊一次，記下圓在每個位置時兩圓同色點對齊的點對個數(shù)，由于圓的每個點都與圓的點A對齊1次，故點A在旋轉(zhuǎn)過程中共與圓的同色點對齊了50次，每個圓的點都是這樣，故在圓的旋轉(zhuǎn)過程中，共有50100次同色點對齊于是至少有一次，同色點對齊的點對數(shù)不少于 eq bbc(f(50100,100)50次在圓的100個位置中，必有某個位置使圓、的同色點對齊的個數(shù)最多把圓固定于該位置此時兩圓至少有50個同色點對齊把異色點對齊的點對去掉，則兩圓上至少留下對齊的50對同色點再把圓旋轉(zhuǎn)，同上，把圓與圓的同色點對齊個數(shù)最多的

32、位置固定，此時圓與圓至少有 eq bbc(f(5050,100)25個同色點對是對齊的，把這些點對留下，其余點去掉再旋轉(zhuǎn)圓，同樣，把圓與圓的同色點對齊個數(shù)最多的位置固定，此時圓與圓至少有 eq bbc(f(2550,100)+113個同色點對是對齊的即此時四個圓至少有13個同色點是對齊的，從圓心引穿過這些對齊的同色點的射線至少有13條9解法1：按頂點顏色分類，三角形共有10類：三紅，兩紅一藍，兩紅一黑，一紅兩藍，一紅兩黑，紅藍黑，三藍，兩藍一黑，一藍兩黑，三黑按線段兩端顏色分類，線段共有6類：紅紅，紅藍，紅黑，藍藍，藍黑，黑黑現(xiàn)在統(tǒng)計兩端分別為紅、藍的邊，在兩紅一藍或兩藍一紅這兩類三角形中，每

33、個三角形都有2條紅藍邊，每個紅藍黑三角形都有1條紅藍邊，設(shè)前兩類三角形共有p 個，后一類三角形共有q個則兩端紅藍的邊共有2pq條而每條兩端紅藍的邊，在大三角形內(nèi)的紅藍邊設(shè)有k條，每條都被計算了2次，大三角形的紅藍邊有1條，計算了1次故2pq2k1，于是q0，即紅藍黑三角形至少有1個(注：統(tǒng)計兩端不同色的邊都可以)解法2 在每個劃出的小三角形內(nèi)取一個點，在三角形形外也取一個點如果兩個三角形有一條紅藍的公共邊，則在相應點間連一條線于是得到了圖G，此時，兩紅一藍或兩藍一紅的三角形都是圖G的偶頂點，而紅藍黑三角形則對應著圖G的奇頂點，大三角形外的那個頂點也是奇頂點，由奇頂點的成對性，知圖G中至少還有一個奇頂點，于是，至少還有一個紅藍黑三角形10證明 首先證明此棱柱的上底面的棱顏色相同否則必有兩條相鄰邊顏色不同不妨設(shè)A1A5為紅，A1A2為綠5條線段A1Bi(i=1，2，3，4，5)中必有3條同色設(shè)有3條同為紅色這3條紅色的線段中，總有兩條是向相鄰的兩個頂點引出的，例如A1B1、A1B2都為紅色于是在A1B1B2中B1B