北京四中高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：知識(shí)講解_空間幾何體結(jié)構(gòu)和其三視圖(提高)

1、空間幾何體結(jié)構(gòu)及其三視圖編稿：孫永釗 審稿: 【考綱要求】(1)認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).(2)能畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖表示的立體模型，會(huì)用材料(如紙板)制作模型，并會(huì)用斜二測(cè)法畫出它們的直觀圖.(3)通過觀察用平行投影與中心投影這兩種方法畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.(4)了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖1、多面體的結(jié)構(gòu)特征（1）棱柱（以三棱柱為例）如圖：平面ABC與

2、平面A1B1C1間的關(guān)系是平行，ABC與A1B1C1的關(guān)系是全等。各側(cè)棱之間的關(guān)系是：A1AB1BC1C，且A1A=B1B=C1C。（2）棱錐（以四棱錐為例）如圖：一個(gè)面是四邊形，四個(gè)側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形。（3）棱臺(tái)棱臺(tái)可以由棱錐截得，其方法是用平行于棱錐底面的平面截棱錐，截面和底面之間的部分為棱臺(tái)。2、旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征旋轉(zhuǎn)體都可以由平面圖形旋轉(zhuǎn)得到，畫出旋轉(zhuǎn)出下列幾何體的平面圖形及旋轉(zhuǎn)軸。3、空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖是用正投影得到，在這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的開關(guān)和大小是完全相同的，三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖。4、空間幾何體的直觀圖空間

3、幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫法來畫，其規(guī)則是：（1）原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、y軸的夾角為45o（或135o），z軸與x軸和y軸所在平面垂直；（2）原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行。平行于x軸和z軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中減半。5、平行投影與中心投影平行投影的投影線互相平行，而中心投影的投影線相交于一點(diǎn)。要點(diǎn)詮釋：空間幾何體的三視圖和直觀圖在觀察角度和投影效果上的區(qū)別是：（1）觀察角度：三視圖是從三個(gè)不同位置觀察幾何體而畫出的圖形；直觀圖是從某一點(diǎn)觀察幾何體而畫出的圖形；（2）投影效果：三視圖是正投影下的平面圖形，直觀圖是在平行投影

4、下畫出的空間圖形?？键c(diǎn)二、空間幾何體的表面積和體積1、旋轉(zhuǎn)體的表面積名稱圖形表面積圓柱S=2r(r+)圓錐S=r(r+)圓臺(tái)球2、幾何體的體積公式（1）設(shè)棱（圓）柱的底面積為S，高為h，則體積V=Sh;（2）設(shè)棱（圓）錐的底面積為S，高為h，則體積V=Sh;（3）設(shè)棱（圓）臺(tái)的上、下底面積分別為S，S，高為h，則體積V=（+S）h;（4）設(shè)球半徑為R，則球的體積V=。要點(diǎn)詮釋：1、對(duì)于求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補(bǔ)的方法，轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決。2、重點(diǎn)掌握以三視圖為命題背景，研究空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的題型3、要熟悉一些典型的幾何體模型，如三棱柱、長(zhǎng)(正)方體、三棱錐等幾何體的三

5、視圖【典型例題】類型一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1下列命題中，假命題是 。（選出所有可能的答案）（1）有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形的多面體是棱柱（2）四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形（3）有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)（4）若一個(gè)幾何體的三視圖都是矩形，則這個(gè)幾何體是長(zhǎng)方體【答案】（1）（3）【解析】（1）中將兩個(gè)斜棱柱對(duì)接在一起就是反例。（3）中是不是棱臺(tái)還要看側(cè)棱的延長(zhǎng)線是否交于一點(diǎn)。【點(diǎn)評(píng)】準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解決概念題的關(guān)鍵。舉一反三：【高清課堂：空間幾何體結(jié)構(gòu)及其三視圖例1】【變式1】例1、下面是關(guān)于四棱錐的四個(gè)命題：若有兩

6、個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直與底面，則該四棱柱為直四棱柱；若四個(gè)側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱；若四棱柱的四條對(duì)角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱。其中，真命題的編號(hào)是 （寫出所有真命題的編號(hào)）。【變式2】以下命題：以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A0 B1 C2 D3【答案】B【解析】命題錯(cuò)，因?yàn)檫@條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐命題錯(cuò)，因這條腰必須是垂直于兩底的腰命題對(duì)命題錯(cuò)，必須用平

7、行于圓錐底面的平面截圓錐才行例2平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè)，如兩組對(duì)邊分別平行，類似地，寫出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件：充要條件 充要條件 【答案】?jī)山M相對(duì)側(cè)面分別平行；一組相對(duì)側(cè)面平行且全等；對(duì)角線交于一點(diǎn)且互相平行；底面是平行四邊形（任選兩個(gè)即可）。【解析】平行六面體實(shí)質(zhì)是把一個(gè)平行四邊形按某一方向平移所形成的幾何體，因此“平行四邊形”與“平行六四體”有著性質(zhì)上的“相似性”。平行四邊形平行六面體兩組對(duì)邊分別平行一組對(duì)邊平行且相等對(duì)角線互相平分兩組相對(duì)側(cè)面分別平行一組相對(duì)側(cè)面平行且全等對(duì)角線交于一點(diǎn)且互相平分【點(diǎn)評(píng)】利用類比推理中“線面”再驗(yàn)證一下所給出

8、的條件是否正確即可。舉一反三：【變式】將一正方體表面沿著幾條棱裁開放平得到如圖的展開圖，則在原正方體中（ ）A ABCD B ABEF C CDGH D ABGH【答案】選C?！窘馕觥空刍卦襟w如圖，則C與E重合，D與B重合。顯見CDGH類型二、空間幾何體的三視圖例3右圖是長(zhǎng)和寬分別相等的兩個(gè)矩形給定下列三個(gè)命題：存在三棱柱，其正視圖、俯視圖如右圖；存在四棱柱，其正視圖、俯視圖如右圖；存在圓柱，其正視圖、俯視圖如右圖其中真命題的個(gè)數(shù)是 ()A3 B2C1 D0【答案】A【解析】把底面為等腰直角三角形的直三棱柱的一個(gè)直角邊所在側(cè)面放在水平面上，就可以使得這個(gè)三棱柱的正視圖和俯視圖符合要求，故命

9、題是真命題；把一個(gè)正四棱柱的一個(gè)側(cè)面放置在水平面上，即可使得這個(gè)四棱柱的正視圖和俯視圖符合要求，命題是真命題；只要把圓柱側(cè)面的一條母線放置在水平面即符合要求，命題也是真命題【點(diǎn)評(píng)】空間幾何體的三視圖是該幾何體在三個(gè)兩兩垂直的平面上的正投影，并不是從三個(gè)方向看到的該幾何體的側(cè)面表示的圖形舉一反三： 【變式】若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()【答案】D【解析】A中正視圖，俯視圖不對(duì)，故A錯(cuò)B中正視圖，側(cè)視圖不對(duì)，故B錯(cuò)C中側(cè)視圖，俯視圖不對(duì)，故C錯(cuò)，故選D.例4如下的三個(gè)圖中，上面的是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角后所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖在下面畫出（單位：cm）.在正

10、視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖?！敬鸢浮咳鐖D：【解析】根據(jù)正視圖和側(cè)視圖可確定出點(diǎn)G、F的位置，從而可以畫出俯視圖。舉一反三：【變式1】【高清課堂：空間幾何體結(jié)構(gòu)及其三視圖例4】若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，則其表面積等于 ?！敬鸢浮俊窘馕觥坑烧晥D可知該三棱柱是底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為1的正三棱柱。其表面積為【變式2】已知某個(gè)幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm)，可得這個(gè)幾何體的體積是（）AB C D【答案】B【解析】依題意，此幾何體為如圖所示的四棱錐P-ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為20的正方形，側(cè)面PCD垂直于底面ABCD，PCD的高為20

11、，故這個(gè)幾何體的體積為。類型三、幾何體的直觀圖例5（1）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖。（2）已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,那么ABC的平面直觀圖的面積為 【答案】（1）由三視圖知該幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單的組合體，它的下部是一個(gè)不在此列四棱臺(tái)，上部是一個(gè)正四棱錐。畫法：畫軸。如圖，畫x軸、y軸、z軸,使xOy=450,xOz=900.畫底面。利用斜二測(cè)畫法畫出底面ABCD，在z軸上截取使等于三視圖中相應(yīng)高度，過作的平行線，Oy的平行線，利用與畫出底面；畫正四棱錐頂點(diǎn)。在Oz上截取點(diǎn)P，使P等于三視圖中相應(yīng)的高度；成圖。連接，整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖如圖所示。（2）如圖

12、、所示的實(shí)際圖形和直觀圖。由圖可知，在圖中作 面積為：【點(diǎn)評(píng)】（1）三視圖確定幾何體結(jié)構(gòu)畫直觀圖（2）根據(jù)規(guī)則求出的高即可?！咀兪健渴钦鼳BC的斜二測(cè)畫法的水平放置圖形的直觀圖，若的面積為，那么ABC的面積為_。【答案】設(shè)正ABC的邊長(zhǎng)是2，則，解得，類型四、空間幾何體的表面積與體積例6一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_m3.【答案】4【解析】由三視圖可知，此幾何體的上面是正四棱柱，其長(zhǎng)，寬，高分別是2,1,1，此幾何體的下面是長(zhǎng)方體，其長(zhǎng)，寬，高分別是2,1,1，因此該幾何體的體積V2112114(m3)舉一反三：【變式】如圖是某個(gè)圓錐的三視圖，請(qǐng)根據(jù)正視圖中所標(biāo)尺

13、寸，則俯視圖中圓的面積為_，圓錐母線長(zhǎng)為_.【答案】圓半徑，面積，圓錐母線。例7如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是 【答案】12【解析】由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)球和圓柱組合而成的幾何體，球的直徑為2，圓柱的底面直徑為2，高為3，則，幾何體的表面積為S=4+8=12?！军c(diǎn)評(píng)】三視圖直觀圖（圓柱與球的組合體）圓柱的底面半徑、高及球半徑代入公式求解舉一反三：【變式】如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,已知側(cè)視圖是一個(gè)等邊三角形, 根據(jù)圖中尺寸(單位:),可知這個(gè)幾何體的表面積是 ( )A. B.C.D.【答案】C；【解析】由三視圖知道立體圖形是一個(gè)倒放的底面為正三角形的三棱柱

14、.例8一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng)為，求這個(gè)三棱錐的體積。【解析】如圖所示，正三棱錐S-ABC。設(shè)H為正三角形ABC的中心，連接SH，則SH的長(zhǎng)即為該正三棱錐的高。連接AH并延長(zhǎng)交BC于E，則E為BC的中點(diǎn)，且AHBC。ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，AE=，AH= AE= 2。在ABC中，【點(diǎn)評(píng)】本題為求棱錐的體積問題。已知底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)，可先求出三棱錐的底面積和高，再根據(jù)體積公式求出其體積。注：求錐體的體積，要選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧透?，然后?yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算即可。常用方法為：割補(bǔ)法和等積變換法：（1）割補(bǔ)法：求一個(gè)幾何體的體積可以將這個(gè)幾何體分割成幾個(gè)柱體、錐體，分別求出錐體和柱體的體積，從而得出幾何體的體積；（2）等積變換法：利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐的底面。求體積時(shí)，可選擇容易計(jì)算的方式來計(jì)算；利用“等積性”可求“點(diǎn)到面的距離”。舉一反三：【變式1】如圖，在四邊形中，求四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積【答案】，.【變式2】一個(gè)幾何