級(jí)數(shù)_基本考點(diǎn)以及解題方法

1、本章節(jié)基本考點(diǎn)以及解題方法1.基本考點(diǎn)：級(jí)數(shù)的斂散性；哥級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間；函數(shù)展開(kāi)成哥級(jí)數(shù)；求哥級(jí)數(shù)的和函數(shù)；給出其中一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性，判斷另一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性；（邏輯思維比較強(qiáng)，需要多多總結(jié)）2.解題方法歸納：級(jí)數(shù)的斂散性此考點(diǎn)分為3種題型：（1）正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較審斂法：（）nni 2n 11比較審斂法的極限形式：（1）n 3 n（n2 n 10）分析：2n ?n!比值審斂法：2n!nn 1 n分析：ln(1-) n（2）交錯(cuò)項(xiàng)級(jí)數(shù), 一、一c 1來(lái)布尼茲7E理：（1） n 1、n 1（3）任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與相對(duì)收斂：分析：注意：要學(xué)會(huì)這三種方法的綜合運(yùn)用!哥級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間此考

2、點(diǎn)分為三種題型：n Xnn 2n1n（1）-（1）（X -）nn 1nn 1n 2(3)1 2n 1WX對(duì)于（1）有：a.利用定理2得收斂半徑；b,分析區(qū)間端點(diǎn)的斂散性得收斂區(qū)間；對(duì)于（2）有：a.令 t;b,利用定理2得t的收斂半徑；c,將t的范圍轉(zhuǎn)化為了 x的范圍，并分析區(qū)間端點(diǎn)的斂散性得收斂區(qū)間;對(duì)于（3）有：只能通過(guò)“比值審斂法 &絕對(duì)收斂”求其收斂區(qū)間；函數(shù)展開(kāi)成募級(jí)數(shù); 此考點(diǎn)分為兩種題型：（1）展開(kāi)成x的哥級(jí)數(shù)（2）展開(kāi)成（x Xo）哥級(jí)數(shù)求哥級(jí)數(shù)的和函數(shù)；f(x)1(4 x)2 2xf (x) x e大都是建立在7個(gè)常用函數(shù)展開(kāi)式 的基礎(chǔ)之上進(jìn)行分析的， 通過(guò)恒等變換（變量代換

3、，四則 運(yùn)算，逐項(xiàng)求導(dǎo)，逐項(xiàng)積分）等方法，求得展開(kāi)式或和函數(shù)；難點(diǎn)體現(xiàn)在“恒等變換（變量代換，四則運(yùn)算，逐項(xiàng)求導(dǎo)，逐項(xiàng)積分）”這個(gè)問(wèn)題上，故重點(diǎn)討論之；以“典型例題在恒等變換時(shí)設(shè)計(jì)到的問(wèn)題”為討論的基礎(chǔ)：總的解題思路：附：7個(gè)常用的函數(shù)展開(kāi)式ex1xn.x (,)n 0 n!n 11 2n 1n 1 2n 1sin x ( 1)x /( 1) x.x (n 1(2n 1)! n 0(2n 1)!cosx ( 1)n x2n n 0(2n)!xn.x( 1,1)x n 0.1(1)nxn.x ( 1,1)x n 0 ln(1 x) ( 1)n 11 xn /( 1)n xn 1x ( 1,1n

4、1n n 0 n 1 ln(1 x) 1xn / xn 1x ( 1,1n 1 n n 0 n 1給出其中一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性，判斷另一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性；（邏輯思維比較強(qiáng)，需要多多總結(jié)，多以選擇題為主?。?做這些題目之前一定要知道的一些知識(shí)：（1）與“級(jí)數(shù)收斂的必要條件”有關(guān)的幾個(gè)問(wèn)題【2組4項(xiàng)】對(duì)于級(jí)數(shù)un ,有以下分析：n 1若級(jí)數(shù)un收斂，則必有nim Un ； n 1若級(jí)數(shù)un發(fā)散，則lim un k （k可以為0）；nnn 1若nim un 0 ,則un的斂散性不確定；Yn 1j若lim un k 0 ,則必發(fā)散； n分析：這種類型題的考點(diǎn)在于“正項(xiàng)級(jí)數(shù)”與“不確定是否為正項(xiàng)級(jí)數(shù)”兩種情況

5、對(duì)于“正項(xiàng)級(jí)數(shù)”，只需要以以上兩種為基礎(chǔ)進(jìn)行分析，問(wèn)題即可解決；對(duì)于“不確定是否為正項(xiàng)級(jí)數(shù)”,以上兩種分析是基礎(chǔ)，另外還需結(jié)合一一“交錯(cuò)項(xiàng)級(jí)數(shù)、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)”的分析方法，并結(jié)合“P-級(jí)數(shù)（很重要，它在選擇題中起到的作用很（2）與“級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 3、4”有關(guān)的幾個(gè)問(wèn)題【3組】 在兩個(gè)級(jí)數(shù)un與 Vn中，有以下分析:n 1n 1若一個(gè)收斂，一個(gè)發(fā)散,則有(Un Vn)發(fā)散; n 1若兩者都收斂，則(un1Vn）收斂;若兩者都發(fā)散，則(Un1Vn）的斂散性不確定;對(duì)反過(guò)來(lái)有:Vn收斂，則1un必收斂;1(Un Vn)收斂 Y1Vn發(fā)散，則1Un必發(fā)散;1Vn收斂，則1Un必發(fā)散;1(Un Vn)發(fā)散

6、 Y1Vn發(fā)散，則1Un不確定;1對(duì)兩個(gè)級(jí)數(shù)的乘積分析a,兩個(gè)級(jí)數(shù)收斂乘:,n 1(1)一(收斂)n（發(fā)散）除:n 1n 1(1/4與(1)n4nn（收斂）c 1(1)n-(發(fā)散)nb,兩個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散 TOC o 1-5 h z 1，1,（收斂） /-T（發(fā)散）n產(chǎn) HYPERLINK l bookmark39 o Current Document 1 , 1,1 皿T與二（收斂）/1 （發(fā)散）n 2nn2c. 一個(gè)收斂、一個(gè)發(fā)散1 - 1乘： 一與（收斂）n n【除：1與23 （收斂）n n3綜上所述有： TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark51 o Curre

7、nt Document 1 , 1/ J與S （發(fā)散） 3332n n HYPERLINK l bookmark55 o Current Document 1 , 1/,與2 （發(fā)散）n n兩個(gè)級(jí)數(shù)相乘、相除，結(jié)果的斂散性不能確定;（極限中無(wú)窮小的概念要深刻體會(huì)?。?）級(jí)數(shù)的“絕對(duì)值、次方”產(chǎn)生的問(wèn)題? 對(duì)交錯(cuò)項(xiàng)級(jí)數(shù)的P-級(jí)數(shù)的單獨(dú)分析：1交錯(cuò)項(xiàng)級(jí)數(shù)的P-級(jí)數(shù)，例如： （1廠不n 1 n特點(diǎn)：首先明確一點(diǎn)，即：K0時(shí)，交錯(cuò)項(xiàng)級(jí)數(shù)的 P-級(jí)數(shù)總是收斂的;（1）次方（奇偶）的改變導(dǎo)致K的改變，（奇偶）決定了交錯(cuò)；（2）絕對(duì)值的介入改變了交錯(cuò)；若級(jí)數(shù)un收斂（不強(qiáng)調(diào)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)），則n 1U Ukn

8、 m必收斂； n 1（Un）k （其中k 0）不一定收斂；【K為奇數(shù)的情況？】n 1若級(jí)數(shù)I Un|不一定收斂；（反過(guò)來(lái)成立?。?n 1Un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且Un收斂，則（Un）k （其中k 0, k奇偶不分）收斂； n 11 Un |收斂； n 1這是很多問(wèn)題分析的基礎(chǔ)！（4）只有當(dāng)兩個(gè)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，才可以比較其和的大小!如：若 Un Vn (n 1,2,3,)，則UnVn (錯(cuò)誤)n 1n 1（5）級(jí)數(shù)的收斂域問(wèn)題“收斂域的端點(diǎn)值是否收斂？”這個(gè)問(wèn)題要好好考慮！考點(diǎn)體現(xiàn)在：通過(guò)四則運(yùn)算，得到其收斂半徑相同，但是這個(gè)四則運(yùn)算有可能會(huì)改變端點(diǎn) 值的斂散性，因此收斂域有可能會(huì)不同。如：若哥級(jí)數(shù)anxn的收斂域?yàn)?,1,則哥級(jí)數(shù)n 0nanXn的收斂域?yàn)?,1 n 1（錯(cuò)誤）若哥級(jí)數(shù)anxn的收斂域?yàn)?,1,則哥級(jí)數(shù)n 0-anxn的收斂域?yàn)?,1n 0 n 1（正確）（6）兩個(gè)級(jí)數(shù)之間的關(guān)系（不涉及“次方與絕對(duì)值” ），如:.若正項(xiàng)級(jí)數(shù)Un發(fā)散，則交錯(cuò)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）n1Un