電子結(jié)構(gòu)的緊束縛近似

1、第四章：電子結(jié)構(gòu)的緊束縛近似緊束縛近似是能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算的一種經(jīng)驗(yàn)方法，1928年，布洛赫提出緊束縛近似的方法，將晶體中的電子態(tài)用原子軌道的線性組合展開(kāi)。緊束縛近似能 夠給出任何類型晶體（金屬、半導(dǎo)體和絕緣體 電子占據(jù)態(tài)的合理描述，對(duì)于半 導(dǎo)體，最低的導(dǎo)帶態(tài)，也可以很好近似。基本理論分子軌道：原子中s、p、d軌道的電子云分布如圖1所示,353外3%3外3d/3/3%3%常見(jiàn)的軌道類型簡(jiǎn)單晶格：首先考慮簡(jiǎn)單格子構(gòu)成的晶體，每個(gè)原胞只有一個(gè)原子，假定原子的軌道 用W 表示，其中為量子數(shù)，晶體中其它原子的對(duì)軌道波函數(shù)表示為巴 。由晶體中所有原子的相應(yīng)軌道建立以國(guó)為博士的晶體的布洛赫和,表示為：b5E2R

2、GbCAP4-1)其中，N為晶體原胞數(shù)。在緊束縛近似中，以 目為波失的晶體電子波函數(shù)，用所有以因?yàn)椴ㄊУ牟悸搴蘸驼归_(kāi)，表示如下：plEanqFDPwI X 4-2 )式中囚，為展開(kāi)式系數(shù)，可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的矩陣對(duì)角化程序求出。晶體的哈 密頓量為如下形勢(shì)：4-3)晶體的能量本征值和本征失 展開(kāi)式系數(shù))可以有下列行列式方程給出:4-4式中因?yàn)橛刹悸搴蘸蜆?gòu)建的晶體哈密頓矩陣元I,目為晶體布洛赫之間的交疊積分。這樣求晶體的的電子態(tài)就主要轉(zhuǎn)化為求上述4-4）式中的哈密頓矩陣元和交疊積分，可以通過(guò)對(duì)原胞 實(shí)空間進(jìn)行具體積分求得，但計(jì)算復(fù)雜，計(jì)算代價(jià)高。通常，緊束縛近似方法 中矩陣元是通過(guò)半經(jīng)驗(yàn)的方法給出。DX

3、DiTa9E3d半經(jīng)驗(yàn)方法在半經(jīng)驗(yàn)方法中，首先假定原子軌道具有高度局域性，這樣以不同原子為 中心的原子軌道之間的交疊積分為零，又由于，相同原子的不同軌道正交，這 樣，式4-4）中的交 疊積分 山 。剩下的 主要是計(jì)算哈密 頓矩陣元： RTCrpUDGiTII45） 考慮到晶體哈密頓量的平移對(duì)稱性，以及針對(duì)任意回，4-5 ）式在遍歷習(xí)后取值相等，可以令 叵，表達(dá)式乘 N,這樣就可以去掉求和項(xiàng)，4-5 ）化簡(jiǎn)為：5PCzVD7HxA.定義 I ,結(jié)合4-6）和4-7）,得晶體哈密頓量矩陣元為:4-,式4-8）可進(jìn)式中， 為坐標(biāo)原點(diǎn)處原子的哈密頓量，假定波函數(shù)為叵J對(duì)應(yīng) 的能量本征值為回，易得:步簡(jiǎn)

4、化為：xHAQX74J0X式4-9)中4-9部分，可以分為兩種情況:對(duì)于目的情況，得：一，假定在波函數(shù)擴(kuò)展區(qū)域，勢(shì)場(chǎng)近似常數(shù)，則一 I的值為一常數(shù)與目的乘積，因此，該項(xiàng)只會(huì)以常數(shù)的形勢(shì)出現(xiàn)在4-9）所示的對(duì)角矩陣元上，會(huì)引起能帶的整體上下移 動(dòng)，但對(duì)能帶色散關(guān)系沒(méi)有影響，可以忽略。 LDAYtRyKfE對(duì)于目的情況，坐標(biāo)原點(diǎn)位置的原子軌道要與晶體中所有其它原子軌 道在勢(shì)函數(shù)的作用下產(chǎn)生交疊積分，此時(shí)的勢(shì)函數(shù)為其它原子所在位置的原子 勢(shì)函數(shù)。基于原子軌道的局域特性，坐標(biāo)原點(diǎn)位置的原子的軌道波函數(shù)擴(kuò)展范圍有限，有效的交疊積分可以僅限于在坐標(biāo)原點(diǎn)原子與其周圍最近鄰或包含次緊鄰）的原子進(jìn)行。Zzz6Z

5、B2Ltk基于以上討論，最終進(jìn)晶體的哈密頓矩陣元簡(jiǎn)化為：.4-10）式中求和只在最近鄰原子進(jìn)行，E）表示最近鄰原子的平移矢量。矩陣元的積分 表示，不僅與原子軌道有關(guān)，還與原子之間的方位有關(guān)。dvzfvkwMII下面我們給出積分矩陣元的Slater-Koster機(jī)制如圖4-1所示，兩個(gè)原子距離為r ,為了討論方便，假定為碳原子，相應(yīng)的價(jià)電子軌道為2s和2篇p。假定第一個(gè)原子的相應(yīng)軌道波函數(shù)為可，兇，兇，兇，第二個(gè)原子的相應(yīng)軌道波函數(shù)標(biāo)記為 日，回，囚，回，這樣 連個(gè)原子軌道軌道之間的積分如圖 4-1所示。對(duì)于兩個(gè)不同原子的s軌道的交 疊積分可以表示為：rqyn14ZNXII（4-15式中H僅為原

6、子間距的函數(shù)s軌道具有球?qū)ΨQ性）。H則與材料性質(zhì)有關(guān)，在經(jīng)驗(yàn)緊束縛近似中，通常將 囚作為一個(gè)擬合參數(shù)用W 表示。由于矩陣元是在不同原子軌道之間進(jìn)行的，因此上述交疊積分又稱為跳躍 積分hopping integral ）。對(duì)于不同原子之間的 s軌道和p軌道的跳躍積分 可以寫(xiě)為：EmxvxOtOco(b所示。SixE2yXPq5圖4-1 s和p軌道交疊積分表示示意圖p軌道之間的跳躍積分、s軌道與d軌道、d軌道與p軌道之間的交疊積分可以按類似的辦法確定p軌道在正交坐標(biāo)軸進(jìn)行投影圖4-2p軌道與s軌道的交疊積分與原子方位之間的關(guān)系圖4-3軌道交疊積分的正負(fù)號(hào)示意圖對(duì)于交疊積分中的正負(fù)號(hào)問(wèn)題需要做簡(jiǎn)單說(shuō)

7、明，以回為例，s波函數(shù)具有正電子云分布，原子間相互作用匕d。j = 3V2/2/wV + m(1 - 2)聯(lián).E-312/mnV 2/m。/*E=3岸門(mén)匕m+ n(1 - 2)聯(lián).匕-產(chǎn)=13V2/(/2 -+ /(I 一產(chǎn)+ m2)%=.才_(tái)戶=J31 2m(72 一 )y2-m(1 + 一”)喂 1t工/一. = i312n(/2 -廿)展。- nP -廿)%.小g/標(biāo)- i(/2 +加今及-3,e.呢3f = eM i(/2 + m2)U。一 31 2/n/?2聯(lián)叫。少-。5工 一 X產(chǎn) + 加力喂5 + 31 2n(/3 + m)VE.y = 3/2方！* + (尸 + /n2 4/2

8、m2)匕 ” + (n2 + 產(chǎn)”)%.E” = 3PmnVv + mn(1 - 4+ 妨門(mén)(戶 - 1)匕出=郎m(-人號(hào)匕+ 21mm2 一戶)匕* + m(-m2)與戶=多ec (戶一 m勺匕.-m成1 + 2(產(chǎn)-m*)匕“+ mc1 +戶向)匕3J-7 =扣“嚴(yán)-m2) % + Ml - 2(戶一”打入一6口 - 一入j(yr3-rx =3V2/h?L/i2 i(/2 + 廿)匕拆-302后02%.+ n2)V=31 2/nnn2 J(/2 + )匕6 + 3v2mn(/2 + e/ 一 i3 2mn(/2 + fn2)Vddi=31?2/nn2 - J(/2 + d)%. + 3v

9、2/7(/2 + m2 - n2)VdtiK 一33”%( + 向).= J(/2 - m*產(chǎn)匕* + /2 + m2 - (J2 - s?)勺匕而+ 2 + 1(/2 用馬勺匕id#一 = 431a(/2 -m2)n2 - J(/2 + #)匕* + 31/2n2(m2 - /馬匕.十 132(1 + n2)(/2 -zn2)i,dJ3H-3rs-H = n2 J(/a + ”)尸% + 3n2(/2 + 廿)邦 + l(f2 + 廿產(chǎn)匕皿復(fù)式晶格將簡(jiǎn)單格子的緊束縛近似法進(jìn)一步推廣，就可以得到復(fù)式格子的緊束縛近似。假定原胞中有習(xí)個(gè)basis,位置矢量為 日。與簡(jiǎn)單格子類似，定義每個(gè)basis

10、的相應(yīng)軌道的布洛赫和：kavU42VRUs4-12)式中角標(biāo)二表示原胞中的basis,二表示特定原子的第二個(gè)軌道代表一系列量子數(shù)）。晶體的電子態(tài)用所有 basis的所有軌道的布洛赫和展開(kāi)：y6v3ALoS894-13接下來(lái)的問(wèn)題仍然是確定，以4-13）為基函數(shù)的晶體哈密頓矩陣元，采用半經(jīng)驗(yàn)的辦法，晶體哈頓量表示為：M2ub6vSTnP4-14其中， 表示原子種類為日中心位置為原胞E）中的第日個(gè)basis的類原子球?qū)ΨQ勢(shì)函數(shù)，將4-13）代入4-14）進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，易得晶體哈密頓矩陣元可表示為：0YujCfmUCw4-15 )矩陣元的交疊積分部分為:根據(jù)經(jīng)驗(yàn)緊束縛近似，考慮軌道相互作用的正交歸一

11、性，4-18）中分母為1,只考慮最近鄰之間原子軌道的相互作用，易得:TIrRGchYzg4-19)滿足簡(jiǎn)單立方晶格最近鄰原子的 用矢量為兇，考慮輪換對(duì)稱，共計(jì)6個(gè)，代入4-19）得:由于H 小于零，因此在力點(diǎn)，能量最低，為H圖4-4給出了三維二維和一維方格子的類 s能帶關(guān)系。B:面心立方就晶體中的類s態(tài)能帶：仍考慮只含有一個(gè)原子的簡(jiǎn)單面心立方格子，假定只有一個(gè)軌道，具能帶色散關(guān)系表達(dá)式與式4-19）完全相同，只是最近鄰原子的情況，對(duì)于面心立方，適合的因?yàn)?I x I ,共12個(gè)最近鄰，定義：7EqZcWLZNX4-面心立方的類s態(tài)能量色散關(guān)系為:4-23顯然，在可點(diǎn)能量最低，0最大值在C:體心

12、立方晶體中的類s態(tài)能帶對(duì)于簡(jiǎn)單體心立方，原胞只有一個(gè)原子，仍只考一個(gè) s軌道。具能帶色散關(guān)系表達(dá)式與式4-19）完全相同，適合最近鄰條件的 時(shí)為 X ,共8個(gè)最近鄰，定義lzq7IGf02E4-24面心立方的類s態(tài)能量色散關(guān)系為:4-23顯然，在可點(diǎn)能量最低，國(guó)最大值在能帶寬度為D:面心立方晶體中的類p態(tài)能帶:只考慮原胞中含有一個(gè)原子的情況，原子的p態(tài)具有三重簡(jiǎn)并，分別為三I 。因此，面心心立方中的p態(tài)能帶，要由三個(gè)p態(tài)的布洛赫和展開(kāi) 不考慮與其它軌道構(gòu)成的布洛赫和的相互作用）：zvpgeqJIhk4-24)以式4-4）為展開(kāi)基的本征值矩陣可以表示為:4-25)F面分析其中的矩陣元 W 和H

13、,由式4-10）結(jié)合二心相互作用的p態(tài)原子軌道積分得相應(yīng)的矩陣元為:4-26 )對(duì)面心立方，只考慮最近鄰，相應(yīng)的最近鄰。容易證明， rn 和 的方向余弦的平方國(guó)， x IX1 ,考慮輪換對(duì)稱，共12個(gè)I X 1 對(duì)應(yīng)的8個(gè)近鄰的x方位 4個(gè)近鄰對(duì)應(yīng)的x方位的方向余弦的平方 I NrpoJac3v1化簡(jiǎn)計(jì)算得:對(duì)角矩陣元 兇 可以表示為:易證明，I X f 、 K 和x和y方位的方向余弦乘積不為零的只有27）得：4-26)4-27)X 對(duì)應(yīng)的12個(gè)近鄰中，共4個(gè)，代入4-,在X和兩個(gè)簡(jiǎn)并能級(jí)有一個(gè)非簡(jiǎn)并能級(jí)三1O 圖由輪換對(duì)稱性，可直接寫(xiě)出4-25）式中的其它對(duì)角矩陣元和非對(duì)角矩陣元。對(duì)于布里淵

14、區(qū)中的任意一點(diǎn)k,可以直接通過(guò)求解4-25）求得相應(yīng)的三個(gè)能量本征值 可能簡(jiǎn)并） 對(duì)于可點(diǎn)，存在三個(gè)簡(jiǎn)并的本征值：W點(diǎn)，L2sJ 具有一個(gè)非簡(jiǎn)并能級(jí)兇W。在 L 點(diǎn)， I x| 一 和兩個(gè)簡(jiǎn)并能級(jí)三給出了類p態(tài)能帶結(jié)構(gòu)，其形狀與兩個(gè)獨(dú)立積分的正負(fù)和相對(duì)大小有關(guān)，一般H ，兇 ，對(duì)于強(qiáng)鍵情況下，-1。 1nowfTG4KI閃鋅礦結(jié)構(gòu)的緊束縛近似熟練以上緊束縛近似的簡(jiǎn)單應(yīng)用后，下面我們來(lái)具體分析用緊束縛近似分析實(shí)際材料的能帶結(jié)構(gòu)，主要是閃鋅礦結(jié)構(gòu) 或金剛石結(jié)構(gòu))和六角結(jié)構(gòu)。這 兩種結(jié)構(gòu)在半導(dǎo)體材料中比較常見(jiàn)。首先分析閃鋅礦結(jié)構(gòu)，閃鋅礦結(jié)構(gòu)是由兩 個(gè)面心立方晶格沿晶胞111方向平移 區(qū)I套購(gòu)而成的復(fù)

15、式格子。fjnFLDa5Zo 閃鋅礦結(jié)構(gòu)原胞中的兩個(gè) Basis基失分別為:圖4-4閃鋅礦結(jié)構(gòu)X3原子有四個(gè)最近鄰，從百到四個(gè)最近鄰的連線構(gòu)成的矢量分別為:4-29 )4-30)目原子有四個(gè)最近鄰，從 回到四個(gè)最近鄰的連線構(gòu)成的矢量分別為：4-31 )當(dāng)閃鋅礦結(jié)構(gòu)中的原子形成晶體時(shí)，3s和3p軌道互相雜化，原胞中的每個(gè)原 子有四個(gè)軌道，因此共有8個(gè)布洛赫和，作為晶體波函數(shù)的線性展開(kāi)，為表示 方便，原子軌道分別表示為 目和回，角標(biāo)m表示原子類型，第二個(gè)角標(biāo) 表示三個(gè)簡(jiǎn)并的p態(tài)。tfnNhnE6e5為了方便，我們將式4-17)重新寫(xiě)出:我們只考慮兩原子連線方向的矢量,滿足閃鋅礦結(jié)構(gòu)中的最近鄰時(shí)的情

16、況，我們首先考慮和目?jī)蓚€(gè)軌道的布洛赫和 目和國(guó)構(gòu)成的矩陣元，根據(jù)現(xiàn)在考慮3和回兩個(gè)軌道的布洛赫和習(xí)和a構(gòu)成的矩陣元，田軌道和回軌道之間的相互作用，與原子之間的方位有關(guān)系，因此首先寫(xiě)出，與 三原子最近鄰的原子之間的方位角的方向余弦： V7l4jRB8Hs4-33)根據(jù)4-17),可以表不為:4-44 )為與文獻(xiàn)和相關(guān)參考資料一致，定義:叵4-45 )對(duì)于H，假定H,容易計(jì)算出:4-41)進(jìn)一步整理得相關(guān)的矩陣元為:|川第=(eik(Vl)+e”2)+ 四)十”)& = 49乂3仃義91P2x= eikVleikV2 - eikV3 - eik V4 ”上、4g2 VspV5Pg2,33V v4-

17、45 )F2j =(eik)-e”2 升 eik(V3)飛卡)貨=43Vsl = Vs0g3 H|F2j=(eik3-eik，2L現(xiàn)在考慮回和回和兩個(gè)軌道的布洛赫和網(wǎng)和回構(gòu)成的矩陣元日該矩陣元與矩陣元日 的關(guān)系可通過(guò)圖4-18表示出來(lái):圖4-18軌道積分的符號(hào)問(wèn)題容易看出: 應(yīng)的軌道積分相差一個(gè)負(fù)號(hào)，布洛赫為基的對(duì)應(yīng)矩陣元 目 =-日，先關(guān)矩陣元有:4-46)最后一類矩陣元為目原子的p軌道與日原子的p軌道構(gòu)成的布洛赫和為展開(kāi)基 的哈密頓量矩陣元，以 網(wǎng)和兇軌道為例同理得:LHJI4-47)4-48對(duì)于交換原子位置的相應(yīng)矩陣元，由于對(duì)應(yīng)的原子連線的矢量目 ，因此矩陣元滿足:O因此系統(tǒng)總的矩陣元表

18、示為:,呼苫 q圖4-12緊束縛計(jì)算（虛線為經(jīng)驗(yàn)震勢(shì)法 得出的Si的能帶結(jié)構(gòu) 只給出了價(jià)帶）h) I rik 也 mJ、圖4-13緊束縛計(jì)算Ge的能帶結(jié)構(gòu)圖4-12中的緊束縛近似方法考慮了次緊鄰的相互作用，由圖可以看出，緊束縛近似和經(jīng)驗(yàn)震勢(shì)法計(jì)算結(jié)果符合的很好。圖 4-13比較了用緊束縛近似和經(jīng)驗(yàn)震勢(shì)法計(jì)算得到的 Ge的能帶結(jié)構(gòu)，雖然以sp3為基礎(chǔ)的緊束縛方法能很好再現(xiàn)價(jià)帶，但對(duì)導(dǎo)帶有較大出入，這是因?yàn)椋瑑r(jià)帶電子為占據(jù)態(tài)，局域性弱，用緊束縛近似比較合適，導(dǎo)帶電子則在很大程度上是非局域的。改進(jìn)辦法 是引入附加軌道和重疊參數(shù)來(lái)改進(jìn) 下面的章節(jié)會(huì)繼續(xù)討論），但緊束縛模型 將變得復(fù)雜。mZkklkza

19、aPF面介紹緊束縛近似中重疊參數(shù)中經(jīng)常用的到比例縮放規(guī)則總結(jié)一下優(yōu)缺點(diǎn)Advantages and Disadvantage of the Tight Binding MethodOverlap parameters have clear and simple physical meaningsft2/nd-The overlap parameters depends explicitly or atomic separations (or lattice constant)e,a.or moi egenerally:ana t Hereto re most convenient for ca

20、lculating electronphonon interactionThe method is quite accurate for the valence bandsThe method is not very accurate for the conduction bands (why?)It is difficult to impOMa the accuracy since the number of overlap parameters grow very fast with the number of neighborssp3s*, sp3d5 sp3d5s* 最新進(jìn)展:石墨烯結(jié)

21、構(gòu)石墨烯vgraphene）是碳原子的二維同素異形體，是二維三角格子結(jié)構(gòu)套購(gòu)而成的六角蜂窩狀結(jié)構(gòu)。碳的其它同素異形體有，金剛石、石墨、富烯勒和各種碳納M管。石墨烯是研究各類碳納 M管的基礎(chǔ)，當(dāng)石墨烯沿特定方向卷起-瓦斯力結(jié)來(lái)，并將接口拼合 成鍵），就構(gòu)成了各種類型的碳納 M管。石墨由多層石墨烯構(gòu)成，相鄰兩層之間的碳原子有一定的角度旋轉(zhuǎn)，層間有范德而合。人們于2004年首次發(fā)現(xiàn)石墨烯的存在，并展開(kāi)了相關(guān)研究，下面我們用緊束縛近似簡(jiǎn)單分析石墨烯的能帶結(jié)構(gòu)。AVktR43bpw圖4-16石墨烯的晶體結(jié)構(gòu)及其第一布里淵區(qū)如圖4-16,石墨烯每個(gè)原胞中有兩個(gè)碳原子，晶格矢量和兩個(gè)Basis矢量分別為：(

22、4-19碳原子的電子結(jié)構(gòu)為：1s22s22P2,研究石墨烯的導(dǎo)帶和價(jià)帶特性，需要考慮2s和2px, 2py 2pz四個(gè)軌道，由于原胞中有兩個(gè)原子，因此需八個(gè)軌道構(gòu)成 的布洛赫和來(lái)作為石墨烯晶體波函數(shù)的線性組合。由于石墨烯具有嚴(yán)格的二維周期性，因此s、px、py三個(gè)軌道與pz軌道的交疊積分涉及到最近鄰兩個(gè)原 子連線方向與z軸的方向余弦，由于夾角為 90度，因此方向余弦為零，故相 關(guān)軌道不具有相互作用。因此可以分開(kāi)處理。 ORjBnOwcEd我們只分析兩個(gè)pz軌道相互雜化形成的能帶，兩個(gè)布洛赫和可以分別表示為:X4-20)首先考慮日 矩陣元，其它原子與 目原子之間的連線方向 日 滿足最近鄰的矢量有

23、: ,可直接寫(xiě)出兩個(gè)相互作用的矩陣元:4-22 )式中4-23 )相應(yīng)的2x2行列式方程為:得:圖4-19給出了石墨烯的能帶結(jié)構(gòu)。容易看出在 回點(diǎn)能帶具有極值，且兩個(gè)極值分裂程度最大%石墨烯的能帶結(jié)構(gòu)補(bǔ)充點(diǎn)軌道雜化:4.2自旋軌道耦合參見(jiàn)英文版半導(dǎo)體的光點(diǎn)特性相關(guān)內(nèi)容4.5緊束縛近似在納M線、納M管、量子點(diǎn)中的應(yīng)用4.6 Linear scaling algorithms附錄A:三角函數(shù)的和差公式：本章中經(jīng)常在求多個(gè)指數(shù)項(xiàng)求和過(guò)程中需要用三角和差公式，為便于推 導(dǎo)，特在附錄給出。A-1練習(xí)題:1、由4-40所示sp3緊束縛近似的8x8晶體哈密頓矩陣元，證明在 可點(diǎn)，8x8矩陣轉(zhuǎn)化為一個(gè) 關(guān)于s

24、電子的2x2矩陣和三個(gè)關(guān)于p電子的2x2矩陣，并指出原胞中s能級(jí)的分裂與那個(gè)參數(shù)有關(guān)，p能級(jí)的分裂與那個(gè)參數(shù)有關(guān)， 給出成鍵態(tài)與反鍵態(tài)對(duì)應(yīng)的能級(jí)。下圖為 Si、Ge和Sn的s和p原子軌道 演變?yōu)閰^(qū)中心的導(dǎo)帶和價(jià)帶示意圖，從中可以看出那個(gè)重疊參數(shù)隨晶格常 數(shù)的變化較大 D I antihnncling RP (iLniibandingliMiinubuudi 咱 E. (l ermi kvcb p (bonding)a-Snx c hi snding尸 liimibou 山1里)/j；( ibt mi Mwh 、UiUihimdiEK tj (bonding)2、如圖2所示，給出了石墨結(jié)構(gòu)和相應(yīng)

25、坐標(biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)的正格子基失國(guó)、倒格子基失 回、畫(huà)出第一布里淵區(qū)，給出從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)最近鄰的原子對(duì)應(yīng)的矢量 目 。利用緊束縛近似確定其能帶結(jié)構(gòu)相關(guān)的行列式矩陣具有如下形勢(shì)。gIiSpiue7ASi九PvyPi, Z S2*與00。v盤(pán)兒0Ep00 %四1外00ep。-工源L%0QQfiP o*jb-j七曲*。與Pi,xP2ryf-11。痔1* pp-vPP?er 003； + 。o000“浸廣0圖2石墨烯的原子結(jié)構(gòu)已知:3、由式4-20）和4-21）給出的能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算三維、二維、一維情況下能帶結(jié)構(gòu)的態(tài)密度分布的表達(dá)式，并繪圖。uEh0U1Yfmh4、由緊束縛近似的sp3軌道，推導(dǎo)六角密集結(jié)構(gòu)的能量本征值相關(guān)的16x16哈密頓矩陣 每個(gè)原胞有四個(gè)原子，每個(gè)原子有 4個(gè)軌道）IAg9qLsgBX中文英文對(duì)照表：石墨烯：graphene石墨：