翰林教育高三數(shù)列總復(fù)習(xí)數(shù)列數(shù)列教師、學(xué)生版

1、數(shù)列基礎(chǔ)知識、求和方法總復(fù)習(xí)一、錯(cuò)位相減法1、設(shè)數(shù)列An的等比數(shù)列，數(shù)列bn是等差數(shù)列，則數(shù)列anbn)的前n項(xiàng)和Sn求解, 均可用錯(cuò)位相減法。例1;設(shè)4是等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1=bi=1, a3 +bs = 21 ,as h =13(i)求an, bn的通項(xiàng)公式；a (n )求數(shù)列n 一，的刖n項(xiàng)和Sn.1bnJ第1頁共44頁二、裂項(xiàng)求和法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)， 最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如:(1)an1_ 1n(n 1) n an :(2n)2=1 1()(2n

2、-1)(2n 1)2 2n -1 2n 1(3)111二一n(n -1)(n 2)2 n(n 1)等。(n 1)(n 2),1112、求數(shù)列-,-, ；-:, 的刖 n 項(xiàng)和.1.2 .2.3. n x n 13、已知等差數(shù)列%滿足：a3=7, a5匕7 =26.值的前n項(xiàng)和為Sn.(I)求 an 及 Sn；(n )令bn =2 ( n W N 3，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn. an -1第2頁共44頁4、已知等差數(shù)列an的前3項(xiàng)和為6,前8項(xiàng)和為-4。(I )求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；n 1(n )設(shè) bn =(4 an)q 一(q #0, n = N ),求數(shù)列bn的刖 n 項(xiàng)和 Sn第3頁共4

3、4頁5、已知二次函數(shù)y = f (x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f (x) = 6x-2 ,數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,點(diǎn)(n, 8n)(nw N沖)均在函數(shù)y = f (x)的圖像上。(i)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(n)設(shè)bn =*3, Tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求使得Tn 0且b #1,b,r均為常數(shù))的圖像上.(1)求r的值；，一一、. n 1，(2)當(dāng)b=2時(shí)，記 bn =(n仁N ) 求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn4%第4頁共44頁7、已知數(shù)列an滿足：ai +3a2十十（2n1）an =（2n3） 2nt數(shù)列bn的前n項(xiàng)和、,1（n之2）.證明數(shù)列 sn是等差數(shù)列，并求出Sn =2n2

4、 +n-2.求數(shù)列an bn的前n項(xiàng)和Wn.8、在數(shù)列a中，ai =1 , an =Sn一n2sl -1Sn的表達(dá)式.第5頁共44頁110、已知在數(shù)列an中，a1=1, &書=1十一 lan + ,n（1）設(shè)bn =包，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式 n（2）求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn、“一 a 1 211、已知數(shù)列an的各項(xiàng)為正數(shù)，其前 n項(xiàng)和Sn滿足Sn =（苣/），（I）求an與an,（n之2）之間的關(guān)系式，并求an的通項(xiàng)公式;,、111SiS2Sn(II)求證 一：2.第6頁共44頁12、數(shù)列小的前n項(xiàng)和為Sn ,且滿足a1 =1,2Sn =(n+1)a(I)求an與an的關(guān)系式，并求an的通項(xiàng)公

5、式;,、111(II)求和 Wn= a2 -1 a3 -1an -1 -113、已知函數(shù)f(x)=m2x+t的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)、B(2,3)及C(n,Sn),Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，n C N .(1)求 Sn 及 an；(2)若數(shù)列cn滿足cn=6nan-n,求數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和Tn.第7頁共44頁.設(shè)數(shù)列aj的前n項(xiàng)和sn,數(shù)列&的前n項(xiàng)和為,滿足2Tn =2Sn n , nw N .（1）求8的值；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.1 2.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= n2+kn （其中 內(nèi)N+）,且Sn的最大值為8。29 -2a（1）確定常數(shù)k ,并求an ；（2）求數(shù)列9一an的前

6、n項(xiàng)和Tn。2n第8頁共44頁.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=kcnk (其中c, k為常數(shù))，且a2=4 , a6=8a3(1)求an ； (2)求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和Tn。.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,且S=2n2 + n , nC N* ,數(shù)列 bn滿足an=4log 2加+ 3, n N * .(1)求an, bn； (2)求數(shù)列an bn的前n項(xiàng)和Tn.第9頁共44頁.已知正項(xiàng)等差數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為Sn,若S3 =12 ,且2ai,a2,a3 +1成等比數(shù)列(I)求an的通項(xiàng)公式；、一 . a_(n )記bn =F的前n項(xiàng)和為Tn ,求Tn .3.在數(shù)列an中，已知ai =1，亙土

7、 =L b +2= 3log an(n = N*).4 an47(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(3)設(shè)數(shù)列Cn滿足Cn =an bn,求的前n項(xiàng)和& .第10頁共44頁21.設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，對任意的nN ,都有Sn =(m+1)-man (m為常數(shù)，且 m 0).(1)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列 匕0的公比q = f (m 數(shù)列如滿足bI =2a，bn = f (bn)(n22 , nw N* ),求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；一 2nL-(3)在滿足(2)的條件下，求數(shù)列 0,q0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a,b, -2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列

8、，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p + q的值等于.5.12015高考浙江，10】已知 Qn是等差數(shù)列，公差 d不為零.若a2, 83, a7成等比數(shù)列，且 2al +a2 =1 ,則 a1 =, d =.6.12015高考新課標(biāo) 1, 13數(shù)列an中a=2,an書= 2an,Sn為an的前n項(xiàng)和，若Sn =126 ,則 n =.17.12015局考安徽，13】已知數(shù)列an中，a1 =1, an =an二十(n 2),則數(shù)列an的 前9項(xiàng)和等于.8.12015高考福建，17】等差數(shù)列an中，a2=4, a4+a7=15.(i)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(n)設(shè)bn =2an/ +n ,求b +b?

9、+4 +匕。的值.9.12015高考北京，16】(本小題滿分 13分)已知等差數(shù)列 an滿足a1+a2 =10 ,a4 -a3 =2.第15頁共44頁(I)求an 的通項(xiàng)公式；(II )設(shè)等比數(shù)列bn滿足b2=a3, b3 = a7,問：b6與數(shù)列an的第幾項(xiàng)相等?10.12015高考安徽，18】已知數(shù)列 Qn)是遞增的等比數(shù)列，且 a1+a4=9,a2a3 = 8.(I)求數(shù)列匕的通項(xiàng)公式；(n )設(shè)Sn為數(shù)列an 的前n項(xiàng)和，bn =-a士，求數(shù)列bn 的前n項(xiàng)和Tn . 111.12015高考廣東，19】(本小題滿分14分)設(shè)數(shù)列(a，的前n項(xiàng)和為Sn, n=N*,已35一知 a1 =

10、1, a2 = ，a3 = 一，且當(dāng) n 之 2 24第16頁共44頁時(shí)，4Sn羋+5&=8&平+S.(1)求a4的值;(2)證明:an 1 -1，一1an b為等比數(shù)列;2(3)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.12.12015高考湖北，19】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列b的公第17頁共44頁比為 q .已知 bi = ai b2 = 2 q =d ) S10 =100 .(I)求數(shù)列% , bn的通項(xiàng)公式；(n )當(dāng)d 1時(shí)，記cn =%，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn . bn13.12015高考湖南，19】(本小題滿分13分)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,已知. 一一 _一一一一*

11、 一a1 =1,a2 =2，且 an + = 3Sn Sn 書 3,(n 匚 N ),(I)證明：an _2 = 3an ； (II)求 Sn。第18頁共44頁114.12015高考山東，19】已知數(shù)列an是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的刖nan *an .1項(xiàng)和為2n 1(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(II)設(shè) bn =(an +1)2an ,求數(shù)列bn的前 n項(xiàng)和 Tn.17.12015高考四川，16設(shè)數(shù)列an(n=1, 2, 3)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=2an-as,且a1, a2+1, a3成等差數(shù)列. .1(I )求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(n )設(shè)數(shù)列一的刖n項(xiàng)和為Tn,求Tn.an第19頁共

12、44頁18.12015高考天津，18（本小題滿分13分）已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，bh是等差數(shù)列，且 a1 =。= 1,b2 +b3 = 2a3, a5 - 3b2 = 7 . 求4和bn的通項(xiàng)公式；*(II)設(shè)Cn =anbn,n? N，求數(shù)列Cn的刖n項(xiàng)和.19.12015高考浙江，17(本題滿分15分)已知數(shù)列an和bn滿足，鼠 11-1*a1 三2,h Wa 1 =2an(n N ), b db3 |l| -bn = bn d -1(n- N ).23 n(D 求 an與 bn ；(2)記數(shù)列 anbn 的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn.第20頁共44頁920.12015局考重慶，16

13、】已知等差數(shù)列aj滿足a3 =2,前3項(xiàng)和S3=-.2(I )求an 的通項(xiàng)公式，(n)設(shè)等比數(shù)列0滿足匕=4, b4 = a15，求bn前n項(xiàng)和Tn.第21頁共44頁【2015高考上海，23(本題滿分16分)本題共3小題.第1小題4分，第2小題6分,第3小題6分.已知數(shù)列an與bn滿足an+ -an =2(bn書-bn) , ne N*(1)若，=3n +5,且& =1 ,求數(shù)列a。的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)an的第n0項(xiàng)是最大項(xiàng)，即an0an(n=N)，求證：數(shù)列bn的第n0項(xiàng)是最大項(xiàng)；(3)設(shè)a=3九2兩種情況進(jìn)行討論；3.靈活掌握由遞推關(guān)系 求通項(xiàng)公式的基本方法.基礎(chǔ)知識,自主學(xué)習(xí)I要點(diǎn)梳理

14、.數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列的分類分類原則滿足條件按項(xiàng)數(shù)分類后窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an+1an其中n_* N遞減數(shù)列an+1i + y時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng)出an現(xiàn)an=an-i+f (n)時(shí)，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn) = f(n)時(shí)，用累乘法求解. an1變式訓(xùn)練2根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an的通項(xiàng)公式：ai = 1, an+i = 3an+ 2；n ,n-i(2)ai=i, an=nan i ( n2)；(3)已知數(shù)列an滿足 an+i=an+3n+ 2,且 ai = 2,求 an.題型三 由數(shù)列的前

15、n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式【例3】 已知下面數(shù)列an的前n項(xiàng)和S,求an的通項(xiàng)公式:2$=2n 3n；&=3n+b.第25頁共44頁Si, n= 1,探究提高 數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是an=：當(dāng)n=1時(shí)，SS 1, n2.ai若適合Sn Si i,則n= 1的情況可并入n2時(shí)的通項(xiàng)an；當(dāng)n= 1時(shí)，ai若不適合SS1,則用分段函數(shù)的形式表示.變式訓(xùn)航3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和&=3n22n+1,則其通項(xiàng)公式為用函數(shù)的觀點(diǎn)解決數(shù)列問題典例：（12分）已知數(shù)列an.（1）育 an = n 5n + 4,數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值.（2）若an= n2+kn+4且

16、對于nC N*,都有an+1an.求實(shí)數(shù)k的取值范圍. .-.、.八*.溫馨提醒 （1）本題給出的數(shù)列通項(xiàng)公式可以看做是一個(gè)定義在正整數(shù)集N上的二次函數(shù)，因此可以利用二次函數(shù)的對稱軸來研究其單調(diào)性，得到實(shí)數(shù)k的取值范圍，使問題得到解決.（2）在利用二次函數(shù)的觀點(diǎn)解決該題時(shí)，一定要注意二次函數(shù)對稱軸位置的選取.（3）易錯(cuò)分析：本題易錯(cuò)答案為 k2.原因是忽略了數(shù)列作為函數(shù)的特殊性，即自變量 是正整數(shù).思想方法*感悟提高方法與技巧1.求數(shù)列通項(xiàng)或指定項(xiàng).通常用觀察法（對于交錯(cuò)數(shù)列一般用（1）n或（1）用來區(qū)分奇偶項(xiàng)的符號）；已知數(shù)列中的遞推關(guān)系，一般只要求寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，若求通項(xiàng)可用 歸納、猜想

17、和轉(zhuǎn)化的方法.Sn= 12. 強(qiáng)調(diào)an與S的關(guān)系：an=.S 1 n2第26頁共44頁般有三種常見3.已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)：對這類問題的要求不高，但試題難度較難把握.思路：(1)算出前幾項(xiàng)，再歸納、猜想；(2) “an+i= pan + q”這種形式通常轉(zhuǎn)化為 an+i+入=p(an+入)，由待定系數(shù)法求出 入， 再化為等比數(shù)列；(3)利用累加或累乘法可求數(shù)列的通項(xiàng)公式.失誤與防范.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在利用函數(shù)觀點(diǎn)研究數(shù)列時(shí)，一定要注意自變量的取值，如數(shù)列an=f(n)和函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性是不同的.數(shù)列的通項(xiàng)公式不一定唯一.練出高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：35分鐘，滿分：57分)一、選

18、擇題(每小題5分，共20分).已知數(shù)列1,小,乖,S，1),則a6等于 ()A. 3X44B. 3X44+1C. 45D. 45+1.對于數(shù)列an, “a+1|an| ( n=1,2,)”是“ an為遞增數(shù)列”的()A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.必要條件D.既不充分也不必要條件.如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和S=|an3,那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是()A. an=2(n2+ n+ 1)B. an= 3 2nC. an= 3n+ 1D. an= 2 3n二、填空題(每小題5分，共15分):1. 已知數(shù)列an對于任思 p, qC N,有 ap+aq=ap+q,右 a1 = -, a36=.9 一一

19、.一 、.21 一* 一.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為&,對任意nCNiM! S，=-an-,且1&9 ( kCN),則 HYPERLINK l bookmark59 o Current Document 33第27頁共44頁ai的值為, k的值為.7. 已知 ai = 2, an+i an=2n+1 ( nN),則 an=.三、解答題(共22分)9. (12 分)已知函數(shù) f (x) =2x 2一x,數(shù)列an滿足 f (log 2an) =2n.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)證明：數(shù)列an是遞減數(shù)列.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘，滿分：43分)、選擇題(每小題5分，共15分)1 + an

20、 , L .：、.已知數(shù)列an滿足ai = 2,an+1 = ( n N),則 a1 a2 a2 013 的值為 (1 an - 31232.數(shù)列an滿足an+an+1 = 2 ( nCN), a2= 2, S是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則 8為(A. 513DW3.在數(shù)列 an中,an= 2n2+ 29n+3,則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是A. 103865B.v825C.yD. 108第28頁共44頁、解答題.在數(shù)列an中，ai = 1, an+i=2an+2n.(I )設(shè)bn=2anT，證明：數(shù)列3是等差數(shù)列;(n )求數(shù)列an的前n項(xiàng)的和Sn.111.在數(shù)列an中，a1 = 2，an+1=2an+2i

21、.(I )設(shè)bn = 2nan,證明：數(shù)列bn是等差數(shù)歹U；(n )求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.第29頁共44頁.數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，前 n項(xiàng)和為Sn,且滿足4Sn=(an+ 1)2(n N*).(I)證明：數(shù)列an是等差數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式an；(n)設(shè) bn = an + 2an(n N*),求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Tn.數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，前 n項(xiàng)和為Sn,且滿足2q5=an+1(ne N*).(I)證明：數(shù)列an是等差數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式an；(n淞bn = an 2n(nCN*),求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 Tn.第30頁共44頁.已知數(shù)列 ,其前n項(xiàng)和為Sn=|n2 +

22、2n(n N ).(I )求 ai, 32；(n )求數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列 an是等差數(shù)列；n項(xiàng)和Tn.(出)如果數(shù)列bn滿足an=log2bn,請證明數(shù)列、是等比數(shù)列，并求其前2x4.已知函數(shù) f(x)=x-，數(shù)列an滿足：ai = 4，an+i=f(an). x+ 23rr(I)求證：數(shù)列，不明等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；an J(n )記 Sn = a1a2+a2a3+ anan+1,求證：Sn2) 622 3、一1 一(I)證明：an+式是等比數(shù)列；(n )求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；1(出)設(shè)Sn為數(shù)列 an的前n項(xiàng)和，求證Sn2)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.在等差數(shù)列an中，a10 = 30, a20= 50.(I )求數(shù)列an的通項(xiàng)an；(n)令bn = 2an 10,證明：數(shù)列bn為等比數(shù)列;(出)求數(shù)列nbn的前n項(xiàng)和Tn.第36頁共44頁.已知an是等差數(shù)列，其前 n項(xiàng)和為已知a3=11, S9=153, (I )求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(n)設(shè)an=log2bn