高等數(shù)學D_第3章導數(shù)與微分 課件

1、1第三章 導數(shù)與微分3.1 導數(shù)的概念3.3 導數(shù)公式 導數(shù)運算法則3.2 函數(shù)的可導性與連續(xù)性3.4 導數(shù)的實際應用3.5 高階導數(shù)3.6 微分的概念3.7 微分公式和法則3.8 微分的應用2問題1直線運動的瞬時速度問題一質點作直線運動,已知路程 s 與時間 t 的試確定t0時刻的瞬時速度v(t0).平均速度解若運動是勻速的,瞬時速度就等于平均速度。關系質點走過的路程,00tttD+從時刻3.1 導數(shù)的概念差商3它越近似表定義為并稱之為t0時的瞬時速度v(t0).若運動是非勻速的,平均速度就是這段時間內(nèi)運動快慢的平均值, 越小,明 t0 時刻運動的快慢.因此, 人們把 t0時的速度0limD

2、t4例. 已知自由落體運動的運動公式是 在任意時刻 的瞬時速度是：0limDt5問題2割線的極限位置對于一般曲線如何定義其切線呢?曲線的切線斜率問題若已知平面曲線如何作過的切線呢？切線位置.曲線上點法國數(shù)學家費馬1629年提出了如下的定義和求法,從而圓滿地解決了這個問題.6處切線的斜率.已知曲線的方程確定點 MN為割線，當點N沿曲線趨于點M時,現(xiàn)在來解決以下問題：則MT為點M處的如圖,MN旋轉而趨向極限位置MT,切線.7割線MN的斜率為切線MT的斜率為差商差商的極限0limxx8曲線在點的切線是 解：令 ，得到切線斜率 所求切線是： 在 例處的切線.求函數(shù)處的差商求函數(shù)在9 就其實際意義來說各

3、不相同, 關系上有如下的共性:但在數(shù)量1. 在問題提法上,都是已知一個函數(shù)求y關于x在x0處的變化率.2. 計算方法上,上述兩例,分別屬于運動學、幾何學中的問題,均需要做以下極限運算：10定義二、導數(shù)的定義存在,則稱函數(shù)在點如果函數(shù)在 處的差商的極限可導，并稱這個極限為函數(shù)或記為處不可導或導數(shù)不存在.當極限(1)式不存在時,就說函數(shù) f (x)在x011注寫成多種形式:導數(shù)定義可以或令則(2)(3)(1)12關于導數(shù)的說明點導數(shù)是函數(shù)在點x0處的變化率,它反映了函數(shù)隨自變量的變化而變化的快慢程度，即函數(shù)的變化率.無論何種形式，其本質在于(1)函數(shù)增量與自變量增量之比；(2)變化過程為自變量增量

4、趨近于零.13(1)變速直線運動的物體在 的瞬時速度 是路程函數(shù) 在點 處的導數(shù)，即(2)曲線 在 的切線斜率k 是函數(shù) 處的導數(shù)，即有了導數(shù)的概念，則14特別地:即三、導數(shù)的幾何意義由切線問題，切線的斜率就是極限值)(,()(,0)()1(000 xfxxfyxf在點則曲線若=;軸的切線平行于Ox1516例 求函數(shù) 在 處的導數(shù). 解：按照導數(shù)定義的另一種形式：處的導數(shù)：在 1735例用導數(shù)表示下列極限解練習解18如果函數(shù)y = f (x)在開區(qū)間 I 內(nèi)的每點處都可導,就稱函數(shù) f (x)在開區(qū)間 I 內(nèi)可導.四、導函數(shù)定義3.2記作 對于任一都對應著 f (x)的一個確定的導數(shù)值.這個函

5、數(shù)稱為f (x)的導函數(shù).導函數(shù)簡稱為導數(shù).從而確定了一個以x為自變量，以導數(shù)值為因變量的新的函數(shù)，19注或函數(shù)在某點的導數(shù)就是導函數(shù)在這點的函數(shù)值根據(jù)導數(shù)的定義，20例解五、求導舉例(幾個基本初等函數(shù)的導數(shù)) 步 驟 即21例解更一般地如即22例解即同理可得課下練習23例解即24例解即253.1 導數(shù)的概念小結1.導數(shù)定義(2)(3)(1)262.導數(shù)意義273.2 函數(shù)的可導性與連續(xù)性一定不可導. 從右圖可見，在 處沒有切線因而不可導，處連續(xù). 從左圖可見，函數(shù)在點 處不連續(xù)，沒有切線，卻在28定理3.1證明：即從而3.2 函數(shù)的可導性與連續(xù)性該定理的逆定理不一定成立.注29例討論函數(shù) 在

6、 x=0處的連續(xù)性和可導性.解在x=0處的連續(xù)性是顯然的.但在x=0處，由于所以是不可導的.問：函數(shù)在此點處，是不是不存在切線？事實上，在此點處，函數(shù)存在鉛直的切線！30例解31如,該定理的逆定理不一定成立.注連續(xù)是可導的必要條件,不是可導的充分條件.327分段函數(shù)求導函數(shù)導數(shù)的公式 是一個極限式，和右極限的概念. 也有左極限左極限 的左導數(shù)，稱為函數(shù)在點 記作右極限 的右導數(shù)，稱為函數(shù)在點 記作33如果左、右導數(shù)不存在或存在但不相等，都稱函數(shù) 在點 的導數(shù)不存在. 直觀上，曲線在這一點沒有切線，導數(shù)就不存在. 34例 求西瓜的價格函數(shù) 的導數(shù).解：在 就是西瓜的單價.導數(shù)在分段點 ， 右導數(shù)

7、左導數(shù)不存在.結論:的導數(shù)不存在. 事實上函數(shù)在不連續(xù)，因此一定不可導.注：在函數(shù)在點35連續(xù) 可導3.2 函數(shù)的可導性與連續(xù)性小結連續(xù)是可導的必要條件,不是可導的充分條件.363.3 導數(shù)公式 導數(shù)運算法則1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式（第48頁）373. 反函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導法則2. 函數(shù)的線性組合、積、商的求導法則5、隱函數(shù)的求導法則6、對數(shù)求導法7、分段函數(shù)求導1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式（第48頁）3.3 導數(shù)公式 導數(shù)運算法則382. 函數(shù)的線性組合、積、商的求導法則39法則(2)的證明：（其中 ，是因為 的連續(xù)性） 40例解例 解： 求的導數(shù)41例解42例解課

8、下練習即43例解課下練習即xxxcotcsc)(csc.-=44練習解法一法二453. 反函數(shù)的求導法則且,內(nèi)也可導xI事實上，在點 的切線與x軸和y軸的夾角 的和是 ，所以46例解同理可得單調(diào)、可導,直接函數(shù) 反函數(shù) 473.3 導數(shù)公式 導數(shù)運算小結1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式（第48頁）483. 反函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導法則2. 函數(shù)的線性組合、積、商的求導法則5、隱函數(shù)的求導法則將方程兩邊同時對x求導.6、對數(shù)求導法等式兩邊取對數(shù)7、分段函數(shù)求導左、右導數(shù)定義49 鏈導法則復合函數(shù)的求導法則可導,且其導數(shù)為或因變量對自變量求導,等于因變量對中間變量求導,乘以中間變量對自變量

9、求導.,)(可導在點如果函數(shù)xxgu=,)(可導在點xgu=xxgfy在點則復合函數(shù))(=50復合函數(shù)求導法則的證明當 時，因為 可導因而連續(xù)，所以有 51推廣例解uyddvudd.ddxvxudd52例解練習53例解例解54例證明冪函數(shù)的導數(shù)公式： 證明： 55對于方程 當x取某一個值時，如果總有滿足方程的唯一的 y 值存在，就說方程 確定了一個隱函數(shù).函數(shù)稱為顯函數(shù).5、隱函數(shù)的求導法則回顧:隱函數(shù)的顯化有時很困難，甚至不可能！但在實際的計算中，有時需要計算隱函數(shù)的導數(shù).所以，必須找到一種不經(jīng)過顯化而求隱函數(shù)的導數(shù)的方法.56例(1)求由圓的方程 （2）求 處曲線切線的斜率.（1）確定的隱

10、函數(shù)的導數(shù)將方程兩邊同時對x求導,因為y是x的函數(shù), 是x的復合函數(shù).所以得整理得到解：57處，對于圓的上半支曲線 切線斜率是 對圓的下半支曲線 切線斜率是 （2）求 處曲線切線的斜率.58 求隱函數(shù)的導數(shù)時,只要記住x是自變量,將方程兩邊同時對x求導,就得到一個含有導數(shù)從中解出即可.的方程.y是x的函數(shù),于是y的函數(shù) 便是x的復合函數(shù),59練習解將方程兩邊同時對x求導.因為y是x的函數(shù), 是x的復合函數(shù),所以左邊對x求導得方程右邊對x求導得0.所以即60作為隱函數(shù)求導法的一個簡單應用, 介紹對數(shù)求導法,它可以利用對數(shù)性質使某些函數(shù)的求導變得更為簡單.對數(shù)求導法先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱

11、函數(shù)的求導法求出導數(shù).6、對數(shù)求導法61解例當0 x 1時，等式兩邊取對數(shù)得 隱函數(shù)62例解等式兩邊取對數(shù)得63兩邊對x求導得等式兩邊取對數(shù)得)(ln)(xuxv64注 復合函數(shù)改寫成例則冪指函數(shù)也可以利用對數(shù)性質化為再求導,657、分段函數(shù)求導函數(shù)導數(shù)的公式 是一個極限式，和右極限的概念. 也有左極限左極限 的左導數(shù)，稱為函數(shù)在點 記作右極限 的右導數(shù)，稱為函數(shù)在點 記作66如果左、右導數(shù)不存在或存在但不相等，都稱函數(shù) 在點 的導數(shù)不存在. 直觀上，曲線在這一點沒有切線，導數(shù)就不存在. 67例 求西瓜的價格函數(shù) 的導數(shù).解：在 就是西瓜的單價.導數(shù)在分段點 ， 右導數(shù)左導數(shù)不存在.結論:的導

12、數(shù)不存在. 事實上函數(shù)在不連續(xù)，因此一定不可導.注：在函數(shù)在點683.4 導數(shù)的實際應用1.變化率表示自變量在以 和 為端點的區(qū)間里函數(shù)的平均變化量，平均變化率. 當 時，在 反映了函數(shù) 的變化率.慢程度. 差商每變動一個單位時，因此差商就是稱為函數(shù)隨自變量在的變化而變化的快69速度 的變化率： 意義是單位時間質點經(jīng)過的距離. 是路程 對時間 例如：加速度 單位時間質點改變的速度；是速度 對時間 的變化率： 意義是12在熱力學中，熱容量 溫度改變1個單位時從外界吸收或放出的熱量；是熱量 對溫度 3的變化率： 意義是：70在生物學中，動物體重的增長速率是體重 對時間 的變化率： （單位時間體重的

13、改變量）在環(huán)境評價學中，垂直遞減率： （每單位距離（一般是100m）氣溫的增加量或減少量）45隨高度 氣溫變化的氣溫71例25. 噸礦石需要的費用是 元， 它的實用含義是什么？ 解： 的單位是元噸， 元噸，可以表示礦石在開采 1000噸后，所需的費用大約為100元. 設開采再開采1噸72表格給出的函數(shù)如何估計變化率某種植物每10天測量的植株的高度 通過表格給出：利用差商來估計函數(shù)在每點的變化率. 栽后天數(shù)2030405060708090100 植株高度 cm 6.612.319.841.255.061.266.068.570.5設函數(shù)是 則在時間 差商是 的值就代表各點的變化率值.其中 用這個

14、式子計算73例如第20天的變化率：（cm/天） 它表示在第20天時，植株每天大約增長0.57cm. 74 3.4 導數(shù)的實際應用小結導數(shù)稱為變化率 表示函數(shù) 對自變量x的變化率。75問題:變速直線運動的加速度.定義這就是二階導數(shù)的物理意義3.5 高階導數(shù)二階導數(shù).記作76三階導數(shù)的導數(shù)稱為二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為二階導數(shù)的導數(shù)稱為高階導數(shù).三階導數(shù),四階導數(shù), n階導數(shù), 記作一般地,77例解 由高階導數(shù)的定義,欲求函數(shù)的高階導數(shù),只需按求導法則和基本公式一階階的算下去,而不需要新的方法.78例解幾個基本初等函數(shù)的n階導數(shù) 則冪函數(shù) 79例解 分析此函數(shù)是6次多項式, 故不需將函數(shù)因式全乘出

15、來.因為其中為x的5次多項式, 故又是求6階導數(shù),80例解同理可得即三角函數(shù) 81例解例解指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 82幾個常用高階導數(shù)公式83例解22)1(1)2(1-=xxy84 求n階導數(shù)需要運用技巧使問題簡化.盡可能化為求某些熟知函數(shù)的n階導數(shù)公式,通過四則運算, 變量代換,恒等變形，85例解若直接求導,將是很復雜的,且不易找出規(guī)律,所以將式子恒等變形.86 3.5 高階導數(shù)小結二階導數(shù).87相關變化率P66 18題 細胞體積增長 球形細胞以常速每天增加體積400。當它的半徑是10時，它的半徑增長速度是多少？分析兩邊分別對t求導88導數(shù)微分導數(shù)與微分表示函數(shù)在一點處由自變量所引起的函數(shù)變化的

16、快慢程度.是函數(shù)在一點處由于自變量微小變化所引起的改變量的近似值.有著密切的聯(lián)系.3.6 微分的概念89正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.1.問題的引出實例的線性(一次)函數(shù),很小時可忽略.的高階無窮小,90再如,91定義2. 微分的定義如果增量則稱函數(shù)可微.記作微分,并稱為函數(shù)線性主部)()(0 xoxxfD+D92 稱為函數(shù)的微分,記作注（2）由于 ,)()1(的微分在任意點函數(shù)xxfy=93設 導數(shù)稱為微商(3)解稱為自變量的微分.94從而定理證明：)0,0(Dax95例32. 設 求函數(shù)的增量與微分.解： 代入 得到 例33. 求函數(shù)的增量與微分.解： 96例30. 藥物反應與劑量 有

17、如下關系：將敏感度定義為反映程度對劑量的變化率 解：假設注射某種藥物的反應程度 表示劑量每增加一個單位，反映程度的增加值近似為227500單位；97例30. 藥物反應與劑量 有如下關系：將敏感度定義為反映程度對劑量的變化率 變化率在 的值.解：假設注射某種藥物的反應程度 求劑量 時敏感度的值和敏感度的表示劑量每增加一個單位，反映程度的增加值近似為227500單位；98敏感度的變化率在 的值：敏感度的變化率在 敏感度的增加值近似為 敏感度單位.的值表示，劑量每增加一個單位，99幾何意義(如圖)3.微分的幾何意義增量,增量;是曲線的縱坐標是切線對應的縱坐標100求法1. 基本微分公式 P583.7

18、 微分公式與運算法則計算函數(shù)的導數(shù), 乘以自變量的微分.1011022. 導數(shù)運算法則和對應的微分運算法則103例解例解104 求函數(shù) 的微分. 按微分運算法則，有例解105結論微分形式的不變性3.復合函數(shù)求微分的法則無論x 是自變量還是中間變量,函數(shù)的微分形式總是106例解法一用復合函數(shù)求導公式法二 用微分形式不變性107例例解108例解在括號中填入適當?shù)暮瘮?shù),使等式成立.109例解兩邊求微分，110例解兩邊取對數(shù)，兩邊求微分111微分的應用1.2.3.112例解3.8 微分的應用1. 計算函數(shù)增量的近似值,很小時且xD1132. 計算函數(shù)的近似值曲線的切線的表達式.通常稱為函數(shù)的一次近似或線性近似.附近的近似值在點求0)()1(xxxf=114例解115116常用的幾個一次近似式;111)1(xnx+117證例解由公式=)(xf設118例解(1)(2)xnx111+119定義由于測量儀器的精