2723_相似三角形應(yīng)用舉例

1、27.2.3相似三角形應(yīng)用舉例樂(lè)山大佛新課導(dǎo)入世界上最高的樹(shù) 紅杉怎樣測(cè)量這些非常高大物體的高度？世界上最高的樓臺(tái)北101大樓怎樣測(cè)量這些非常高大物體的高度？世界上最寬的河亞馬孫河怎樣測(cè)量河寬？例題 古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯利用相似三角形的原理，測(cè)量金字塔的高度。例：據(jù)史料記載，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽(yáng)光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，來(lái)測(cè)量金字塔的高度。 如圖272-8，如果木桿EF長(zhǎng)2m，它的影長(zhǎng)FD為3 m，測(cè)得OA為201 m，求金字塔的高度BO OBA(F)EDDEA(F)BO2m3m201m解：太陽(yáng)光是平行線， 因此BAO

2、= EDF又 AOB= DFE=90ABODEFBOEF=BO = 134（m）OAFDOA EFFD=20123 例：如圖272-8，如果木桿EF長(zhǎng)2m，它的影長(zhǎng)FD為3 m，測(cè)得OA為201 m，求金字塔的高度BO ACBDE一題多解若BC=1.6m AC=3m AE=15 m 求DE的長(zhǎng)ACBDE一題多解若BC=1.6m AC=3m CE=15 m 求DE的長(zhǎng)怎樣測(cè)量旗桿的高度? 搶答6m1.2m1.6mcc、旗桿的高度是線段 ；旗桿的高度與它的影長(zhǎng)組成什么三角形？（ ）這個(gè)三角形有沒(méi)有哪條邊可以直接測(cè)量？溫馨提示：BCABC6m2、人的高度與它的影長(zhǎng)組成什么三角形？（ ）這個(gè)三角形有沒(méi)

3、有哪條邊可以直接測(cè)量？AB C 3、 ABC與AB C 有什么關(guān)系?試說(shuō)明理由.1.2m1.6m 在陽(yáng)光下，在同一時(shí)刻，物體的高度與物體的影長(zhǎng)存在某種關(guān)系：物體的高度越高，物體的影長(zhǎng)就越長(zhǎng) 在平行光線的照射下，不同物體的物高與影長(zhǎng)成比例 物1高 ：物2高 = 影1長(zhǎng) ：影2長(zhǎng)知識(shí)要點(diǎn)測(cè)高的方法 測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成正比例”的原理解決。 在同一時(shí)刻物體的高度與它的影長(zhǎng)成正比例，在某一時(shí)刻，有人測(cè)得一高為1.8米的竹竿的影長(zhǎng)為3米，某一高樓的影長(zhǎng)為60米，那么高樓的高度是多少米？解:設(shè)高樓的高度為x米，則答:樓高36米.跟蹤訓(xùn)練：STPQRba例2 為了估算

4、河的寬度,我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)P,在近岸取點(diǎn)Q和S,使點(diǎn)P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著在過(guò)點(diǎn)S且與PS垂直的直線a上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T,確定PT與過(guò)點(diǎn)Q且垂直P(pán)S的直線b的交點(diǎn)R.如果測(cè)得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的寬度PQ. P=P 分析：PQR=PST= 90 STPQRba得 PQ=90例題求河寬? PQR PST45m60m90m知識(shí)要點(diǎn)測(cè)距的方法 測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的距離,常構(gòu)造相似三角形求解。 . 為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)作為點(diǎn)A，再在河的這一邊選點(diǎn)B和C，使ABBC，然后，再選點(diǎn)E，使ECBC，用視線確定BC和AE的交點(diǎn)D此

5、時(shí)如果測(cè)得BD120米，DC60米，EC50米，求兩岸間的大致距離AB AEDCB跟蹤訓(xùn)練例3：已知左，右并排的兩棵大樹(shù)的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹(shù)的根部的距離BD=5m。一個(gè)身高1.6m的人沿著正對(duì)著兩棵樹(shù)的一條水平直路從左向右前進(jìn)，當(dāng)他與左邊較低的樹(shù)的距離小于多少時(shí)，就不能看見(jiàn)右邊較高的樹(shù)的頂端點(diǎn)C？K盲區(qū)觀察者看不到的區(qū) 域。仰角：視線在水平 線以上的夾角。水平線視線視點(diǎn)觀察者眼睛的位置。(1)FBCDHGlAK(1)FBCDHGlAKFABCDHGKl(2)分析：假設(shè)觀察者從左向右走到點(diǎn)E時(shí)，他的眼睛的位置點(diǎn)F與兩顆樹(shù)的頂端點(diǎn)A、C恰在一條直線上,如果觀察者繼續(xù)前進(jìn)，由于這

6、棵樹(shù)的遮擋，右邊樹(shù)的頂端點(diǎn)C在觀察者的盲區(qū)之內(nèi)，觀察者看不到它。E由題意可知，ABL，CDL，ABCD，AFH CFKFHFK=AHCK即FHFH+5=8-1.612-1.6解得FH=8當(dāng)他與左邊的樹(shù)的距離小于8m時(shí)，由于這棵樹(shù)的遮擋，右邊樹(shù)的頂端點(diǎn)C在觀察者的盲區(qū)之內(nèi)，就不能看見(jiàn)右邊較高的樹(shù)的頂端點(diǎn)CFABCDHGKl(2)1、如圖,鐵道口的欄桿短臂長(zhǎng)1m,長(zhǎng)臂長(zhǎng)16m,當(dāng)短臂端點(diǎn)下降0.5m時(shí),長(zhǎng)臂端點(diǎn)升高 m。 OBDCA8給我一個(gè)支點(diǎn)我可以撬起整個(gè)地球!-阿基米德1m16m0.5m？跟蹤訓(xùn)練 (1) 小明測(cè)得長(zhǎng)為1米的竹竿影長(zhǎng)為0.9米，同時(shí)，小李測(cè)得一棵樹(shù)的影長(zhǎng)為5.4米，請(qǐng)計(jì)算小明

7、測(cè)量這棵樹(shù)的高; (2)同時(shí)小王在測(cè)另一棵樹(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹(shù)影的一部分在地面上，而另一部分在墻上，他測(cè)得地面上的影長(zhǎng)為2.7米，留在墻上部分的影長(zhǎng)為1.2米.請(qǐng)計(jì)算小王測(cè)量的這棵樹(shù)的高.2.7m1.2mBACD2.測(cè)量樹(shù)高由相似三角形的性質(zhì)得: BE 1 2.7 0.9 (1) 小明測(cè)得長(zhǎng)為1米的竹竿影長(zhǎng)為0.9米，同時(shí)，小李測(cè)得一棵樹(shù)的影長(zhǎng)為5.4米，請(qǐng)計(jì)算小明測(cè)量這棵樹(shù)的高; (2)同時(shí)小王在測(cè)另一棵樹(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹(shù)影的一部分在地面上，而另一部分在墻上，他測(cè)得地面上的影長(zhǎng)為2.7米，留在墻上部分的影長(zhǎng)為1.2米.請(qǐng)計(jì)算小王測(cè)量的這棵樹(shù)的高.2.7m1.2m解法一：如圖，過(guò)點(diǎn)D畫(huà)DEAC交AB于E點(diǎn)，

8、由平行四邊形ACDE得AE=CD=1.2，BADCEBE=3，AB=BE+AE=4.2答:這棵樹(shù)高有4.2米.2.測(cè)量樹(shù)高 (1) 小明測(cè)得長(zhǎng)為1米的竹竿影長(zhǎng)為0.9米，同時(shí)，小李測(cè)得一棵樹(shù)的影長(zhǎng)為5.4米，請(qǐng)計(jì)算小明測(cè)量這棵樹(shù)的高; (2)同時(shí)小王在測(cè)另一棵樹(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹(shù)影的一部分在地面上，而另一部分在墻上，他測(cè)得地面上的影長(zhǎng)為2.7米，留在墻上部分的影長(zhǎng)為1.2米.請(qǐng)計(jì)算小王測(cè)量的這棵樹(shù)的高.2.7m1.2mBAC解法二:延長(zhǎng)AC交BD延長(zhǎng)線于G，由相似三角形的性質(zhì)得: CD:DG=1:0.9 DG=0.9CD=1.08 BG=BD+DG=3.78由CD:AB=DG:BG 得 AB=4.2答

9、:這棵樹(shù)的高為4.2米.DG2.測(cè)量樹(shù)高 (3) 小明小李二位同學(xué)再想利用樹(shù)影測(cè)量樹(shù)高. 小明測(cè)得長(zhǎng)為1米的竹竿影長(zhǎng)為2米，同時(shí)，小李測(cè)量一棵樹(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)樹(shù)影的一部分在地面上，另一部分在斜坡的坡面上，測(cè)得在地面影長(zhǎng)為10米，在斜坡上影長(zhǎng)為4米，斜坡的傾斜角為30，請(qǐng)計(jì)算這棵樹(shù)的高 10mBACD4m302.測(cè)量樹(shù)高10mBAC解法一:畫(huà)CGAB于G點(diǎn)，畫(huà)CE BD于E，則CE= CD=2， DE=2BG=CE=2，BE=BD+DE=10+2答:這棵樹(shù)的高為(7+ )米.DG由相似三角形的性質(zhì)得: AG:GC=1:2 AG=5+ AB=BG+AG=7+4mE30 (3)小明測(cè)得長(zhǎng)為1米的竹竿影長(zhǎng)為2

10、米，同時(shí)，小李測(cè)量一棵樹(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)樹(shù)影的一部分在地面上，另一部分在斜坡的坡面上，測(cè)得在地面影長(zhǎng)為10米，在斜坡上影長(zhǎng)為4米，斜坡的傾斜角為30，請(qǐng)計(jì)算這棵樹(shù)的高 (3)小明測(cè)得長(zhǎng)為1米的竹竿影長(zhǎng)為2米，同時(shí)，小李測(cè)量一棵樹(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)樹(shù)影的一部分在地面上，另一部分在斜坡的坡面上，測(cè)得在地面影長(zhǎng)為10米，在斜坡上影長(zhǎng)為4米，斜坡的傾斜角為30，請(qǐng)計(jì)算這棵樹(shù)的高 10mBACDG4mE30解法二 (3)小明測(cè)得長(zhǎng)為1米的竹竿影長(zhǎng)為2米，同時(shí)，小李測(cè)量一棵樹(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)樹(shù)影的一部分在地面上，另一部分在斜坡的坡面上，測(cè)得在地面影長(zhǎng)為10米，在斜坡上影長(zhǎng)為4米，斜坡的傾斜角為30，請(qǐng)計(jì)算這棵樹(shù)的高 10mBACD4mE

11、F30解法三1、小明把手臂水平向前伸直，手持長(zhǎng)為EF的小尺豎直，瞄準(zhǔn)小尺的兩端E、F，不斷調(diào)整站立的位置，使站在點(diǎn)D處正好能看到旗桿的頂部和底部，如果小明的手臂長(zhǎng) =40，小尺長(zhǎng)EF=20，點(diǎn)D到旗桿底部的距離AD=40m，求旗桿的高度。CDEFAB當(dāng)堂檢測(cè)2.如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸邊每隔5米有一棵樹(shù)，在北岸邊每隔50米有一根電線桿小麗站在離南岸邊15米的點(diǎn)處看北岸，發(fā)現(xiàn)北岸相鄰的兩根電線桿恰好被南岸的兩棵樹(shù)遮住，并且在這兩棵樹(shù)之間還有三棵樹(shù)，則河寬為米3.為了測(cè)量路燈（OS）的高度,把一根長(zhǎng)1.5米的竹竿（AB）豎直立在水平地面上,測(cè)得竹竿的影子（BC）長(zhǎng)為1米,然后拿

12、竹竿向遠(yuǎn)離路燈方向走了4米（BB）,再把竹竿豎立在地面上, 測(cè)得竹竿的影長(zhǎng)（BC）為1.8米,求路燈離地面的高度.4.如圖，小華在晚上由路燈A走向路燈B，當(dāng)他走到點(diǎn)P時(shí)，發(fā)現(xiàn)他身后影子的頂部剛好接觸到路燈A的底部，當(dāng)他向前再步行12m到達(dá)點(diǎn)Q時(shí)，發(fā)現(xiàn)他身前影子的頂部剛好接觸到路燈B的底部，已知小華的身高是1.60m，兩個(gè)路燈的高度都是9.6m，設(shè)AP =x(m)。(1)求兩路燈之間的距離；(2)當(dāng)小華走到路燈B時(shí)，他在路燈下的影子是多少？（中考鏈接-浙江?。┤鐖D,小華家（點(diǎn)A處）和公路（L）之間豎立著一塊 35 m長(zhǎng)且平行于公路的巨型廣告牌（DE）廣告牌擋住了小華的視線，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出視點(diǎn)A的盲

13、區(qū)，并將盲區(qū)內(nèi)的那段公路設(shè)為BC一輛以60km/h勻速行駛的汽車經(jīng)過(guò)公路段BC的時(shí)間是3s，已知廣告牌和公路的距離是40m，求小華家到公路的距離（精確到1m）拓展提高BC挑戰(zhàn)自我如圖，ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？NMQPEDCBA解：設(shè)正方形PQMN是符合要求的ABC的高AD與PN相交于點(diǎn)E。設(shè)正方形PQMN的邊長(zhǎng)為x毫米。因?yàn)镻NBC，所以APN ABC所以AEAD=PNBC因此 ，得 x=48（毫米）。答：-。80 x80=x120如圖，要在底邊

14、BC=160cm，高AD=120cm，的ABC鐵皮余料上截取一個(gè)矩形EFGH，使點(diǎn)H在AB上，點(diǎn)G在AC上，點(diǎn)E、F在BC上，AD交HG于點(diǎn)M，此時(shí) 。（3）以面積最大的矩形EFGH為側(cè)面，圍成一個(gè)圓柱形的鐵桶，怎樣圍時(shí)，才能使鐵桶的體積最大？請(qǐng)說(shuō)明理由（注：圍鐵桶側(cè)面時(shí)，接縫無(wú)重疊，底面另用材料配備）。（1）設(shè)矩形EFGH的長(zhǎng)HG=y，寬HE=x，確定y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EFGH的面積S最大；9、如圖，有一路燈桿AB(底部B不能直接到達(dá))，在燈光下，小明在點(diǎn)D處測(cè)得自己的影長(zhǎng)DF3m，沿BD方向到達(dá)點(diǎn)F處再測(cè)得自己得影長(zhǎng)FG4m，如果小明得身高為1.6m，求路燈桿AB

15、的高度。DFBCEGA練習(xí)3.為了測(cè)量一池塘的寬AB,在岸邊找到了一點(diǎn)C,使ACAB，在AC上找到一點(diǎn)D，在BC上找到一點(diǎn)E,使DEAC，測(cè)出AD=35m，DC=35m，DE =30m,那么你能算出池塘的寬AB嗎?ABCDE6、如圖，已知零件的外徑a為25cm ，要求它的厚度x，需先求出內(nèi)孔的直徑AB，現(xiàn)用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長(zhǎng)AC和BD相等）去量，若OA:OC=OB:OD=3，且量得CD=7cm，求厚度x。O（分析：如圖，要想求厚度x，根據(jù)條件可知，首先得求出內(nèi)孔直徑AB。而在圖中可構(gòu)造出相似形，通過(guò)相似形的性質(zhì)，從而求出AB的長(zhǎng)度。）MH BH 5 151兩根電線桿 今年8月12日， “云

16、娜”臺(tái)風(fēng)肆虐我市，我市受災(zāi)較為嚴(yán)重，災(zāi)后，各部門(mén)組織人員進(jìn)行各方面搶修電力部門(mén)對(duì)刮斜的電線桿進(jìn)行加固，加固方法有多種，如圖是其中的一種：分別在高3米的處和米的處用鋼索將兩桿固定.（1）現(xiàn)測(cè)得兩桿相距15米，問(wèn)一般的人能否不彎腰不低頭地通過(guò)兩鋼索交叉點(diǎn)下方?ABCDM H3515MH DHAB BDMH BHCD BDMH DH 3 15MH MH 3 5 +=1 MH=MH BH 5 1兩根電線桿 刮斜的電線桿進(jìn)行加固，加固方法有多種，如圖是其中的一種：分別在高3米的處和米的處用鋼索將兩桿固定.（1）現(xiàn)測(cè)得兩桿相距15米，問(wèn)一般的人能否不彎腰不低頭地通過(guò)兩鋼索交叉點(diǎn)下方?ABCDM H3515

17、MH DHAB BDMH BHCD BDMH DH 3MH MH 3 5 +=1 MH=（）當(dāng)兩桿相距20米時(shí)，一般的人能否通過(guò)？ 今年8月12日， “云娜”臺(tái)風(fēng)肆虐我市，我市受災(zāi)較為嚴(yán)重，災(zāi)后，各部門(mén)組織人員進(jìn)行各方面搶修電力部門(mén)對(duì)2015152020c BHb BDc DHa BD1兩根電線桿 刮斜的電線桿進(jìn)行加固，加固方法有多種，如圖是其中的一種：分別在高3米的處和米的處用鋼索將兩桿固定.（1）現(xiàn)測(cè)得兩桿相距15米，問(wèn)一般的人能否不彎腰不低頭地通過(guò)兩鋼索交叉點(diǎn)下方?ABCDM H35MH DHAB BDMH BHCD BD c c a b +=1 （2）當(dāng)兩桿相距20米時(shí)，一般的人能否通

18、過(guò)？ （3）設(shè)鋼索的交點(diǎn)為M畫(huà)MHBD于H ，若a，CD=b，MH=c，寫(xiě)出a，b，c之間的關(guān)系式abc 1 1 a b +=1cMH BH 5 MH DH 3 20MH MH 3 5 +=1 MH=201兩根電線桿 (1)現(xiàn)測(cè)得兩桿相距米，問(wèn)身高為1.8米的人能否不彎腰不低頭地通過(guò)兩鋼索交叉點(diǎn)下方? (2)當(dāng)兩桿相距米時(shí)，這個(gè)人能否通過(guò)？ (3)設(shè)鋼索的交點(diǎn)為M畫(huà)MHBD于H ，若a，CD=b，MH=c，寫(xiě)出a，b，c之間的關(guān)系式 (4)如圖，將上題條件改為ABCDMH ，寫(xiě)出(3)中的abc的關(guān)系式.ABCDMHabc 1 1 a b +=1c(5)連結(jié)AC ，延長(zhǎng)HM交AC于F ，寫(xiě)出FH與ab的關(guān)系式F1兩根電線桿ABCDMHabcFABCDMab (1)現(xiàn)測(cè)得兩桿相距米，問(wèn)身高為1.8米的人能否不彎腰不低頭地通過(guò)兩鋼索交叉