數(shù)學(xué)文化--培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維和創(chuàng)新能力的研究與實(shí)踐課件

1、融入數(shù)學(xué)文化，感受數(shù)學(xué)之美，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維方法和創(chuàng)新能力鄭連存北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院 我來自北京科技大學(xué)，一直從事高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析的教學(xué)工作， 我今天所探討的主要是如何在平時(shí)的數(shù)學(xué)課堂上，在講授數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，去滲透數(shù)學(xué)文化的教育，去傳播數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神，引導(dǎo)學(xué)生去感受數(shù)學(xué)之美，激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，熱愛數(shù)學(xué)，逐步培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維方法和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，學(xué)好數(shù)學(xué)。主要就兩個(gè)方面與大家進(jìn)行交流。一、追蹤溯源, 加強(qiáng)知識(shí)起源和背景的教學(xué) 客觀物質(zhì)世界為人類一切想象的數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造提供了不竭的源泉。數(shù)學(xué)中許多知識(shí)的產(chǎn)生都有其深刻的實(shí)際背景, 教師在教學(xué)工作中一定要時(shí)刻注意引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行追溯,

2、使學(xué)生了解相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的起源和發(fā)展，并運(yùn)用所掌握的知識(shí)能動(dòng)地作出發(fā)現(xiàn)。這個(gè)過程其實(shí)就是在向?qū)W生進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的教育。以格林公式教學(xué)來談自己的一點(diǎn)體會(huì)。 歷史上,流體力學(xué)為數(shù)學(xué)上很多發(fā)現(xiàn)提供了豐富的源泉。很多著名的科學(xué)家如歐拉、牛頓、高斯、拉格朗日、柯西、伯努利、付里葉、斯托克斯等都曾投身于流體力學(xué)的研究，數(shù)學(xué)中許多非常深邃、漂亮的結(jié)果都來源于流體力學(xué)，教師在教學(xué)工作中介紹一些知識(shí)的起源和背景對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很有幫助。 在講授格林公式時(shí)，不按傳統(tǒng)教科書直接給出公式，而是引導(dǎo)學(xué)生先研究流過平面上由簡(jiǎn)單閉曲線圍成的區(qū)域流量計(jì)算，在此基礎(chǔ)上引出格林公式并給出證明。 平面中存在不可壓縮流體的一個(gè)穩(wěn)態(tài)流動(dòng),

3、速度場(chǎng)為L(zhǎng) 是速度場(chǎng)中的一條(無重點(diǎn)) 光滑閉曲線, 都在L 圍成的閉區(qū)域 D 有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 流體面積單位時(shí)間流過曲線 L的流量：平面中流過某一閉區(qū)域的流量的計(jì)算流場(chǎng)內(nèi)每個(gè)微元x 軸方向左邊：右邊：凈：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)散發(fā)出去的流量y 軸方向流場(chǎng)內(nèi)每個(gè)微元比較兩種流量計(jì)算，得到公式可以得到流體力學(xué)中重要的流函數(shù)不可壓縮流體質(zhì)量守恒方程設(shè)二維穩(wěn)態(tài)不可壓縮流動(dòng)的速度場(chǎng)為改寫為 將描述還得到速度分量和流函數(shù)的關(guān)系： 由曲線積分的知識(shí), 上式可以看成:為某個(gè)函數(shù)全微分的充分必要條件，以得到流體力學(xué)中流函數(shù)：表示該函數(shù)，(1)將格林公式中流體流過有向閉曲線圍成的平面閉區(qū)域推廣到流體流過空間閉曲面圍成的空間

4、閉區(qū)域得到著名的高斯公式； 進(jìn)一步聯(lián)想、追溯和推廣(2)將格林公式中空間一片曲面上的曲面積分與沿著該曲面的邊界曲線積分建立聯(lián)系, 則得到著名的斯托克斯公式。二、引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維和創(chuàng)新能力 在課堂教學(xué)過程中始終注意創(chuàng)設(shè)能激起學(xué)生新異感的問題情景，引導(dǎo)學(xué)生能從一個(gè)問題出發(fā)，沿著各種不同的途徑去思考，發(fā)現(xiàn)多種關(guān)聯(lián)問題及尋求解決方法，感受數(shù)學(xué)之美，使學(xué)生的思維不斷上升到更高的階段，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維和創(chuàng)新能力. 從中值定理中一個(gè)導(dǎo)數(shù)值等式證明談體會(huì).中值定理羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理例：證明存在兩點(diǎn)使得在上可導(dǎo),分析：(1) 中值定理的選擇(2) 涉及兩個(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值(3)

5、 需要補(bǔ)充一個(gè)點(diǎn)函數(shù)值 設(shè)若尋找一值使得由介值定理，存在使得證明： 由Lagrange 中值定理，故 聯(lián)想 1（加權(quán)系數(shù)推廣，從特殊到一般 ）可以聯(lián)想到哪些問題？思考: 恒等變形 命題 1證明在內(nèi)存在兩點(diǎn)使得 對(duì)任意 在上可導(dǎo),設(shè)函數(shù)分析： 假設(shè)?聯(lián)想 2 （多個(gè)點(diǎn)的加權(quán)平均）分析：補(bǔ)充兩個(gè)點(diǎn)函數(shù)值，插入 兩 個(gè)點(diǎn)應(yīng)用 Lagrange 定理.在分別已知兩個(gè)點(diǎn)函數(shù)值需要幾何觀察 命題2由學(xué)生自己寫出 n 個(gè)點(diǎn)情況的命題并證明命題3 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，且，為n個(gè)不同正數(shù)，證明在n個(gè)不同的數(shù) ，使得 內(nèi)存在證明: 利用命題2， 令去掉會(huì)有什么結(jié)果？聯(lián)想3 若將條件思考聯(lián)想 4（函數(shù)值變化）會(huì)有如

6、何描述？類似分析，可以得到： 命題4 設(shè)在區(qū)間0, 1上可導(dǎo),內(nèi)存在兩點(diǎn)證明在使得 例題類似，取證明命題5（函數(shù)值變化拓展）：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，且，證明在內(nèi)存在兩點(diǎn)使得 聯(lián)想5：若將條件 改為會(huì)有什么結(jié)果？ 證明和例題完全類似，只要取聯(lián)想 6（拓展到復(fù)合函數(shù)）函數(shù)復(fù)合函數(shù)例：取 滿足命題2，有什么描述？命題6則在內(nèi)存在 n 個(gè)不同點(diǎn)使得為 n 個(gè)正數(shù)， 為定義在區(qū)間 上的正值可導(dǎo)函數(shù)， 設(shè)類似還可以做出很多聯(lián)想，例如： 若函數(shù)用參數(shù)形式表示，則推廣到柯西中值定理.命題7（復(fù)合函數(shù)拓展）： 設(shè)函數(shù)為定義在的非負(fù)可積函數(shù)，則在內(nèi)存在兩個(gè)不同的點(diǎn)使得其中考慮到用積分表達(dá)，可以得到如下命題 考慮到 n 個(gè)點(diǎn)，有：命題8 設(shè)函數(shù)為定義在區(qū)間上的非負(fù)可 積函數(shù)為 n 個(gè)不同