工程力學(xué)第8章課件

1、第8章 彎 曲 內(nèi) 力8.1對(duì)稱彎曲的概念梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖 在工程中常遇到這樣的直桿,其所受的外力是作用線垂直于桿軸線的橫向力(包括力偶)所組成的平衡力系。在這樣的受力情況下桿的任意兩橫截面繞垂直于桿軸線的橫向軸作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng),同時(shí)桿的軸線彎成曲線。桿件的這種變形形式稱為彎曲。以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。8.1.1對(duì)稱彎曲的概念工程中常見(jiàn)的梁,例如車軸(圖8-1)、起重機(jī)大梁(圖8-2)等,它們具有共同的特點(diǎn),梁的橫截面至少具有一個(gè)對(duì)稱軸,即梁有一個(gè)縱向?qū)ΨQ面,梁上外力都在此對(duì)稱面內(nèi)(圖8-3)。梁變形時(shí),其軸線彎成在此對(duì)稱面內(nèi)的平面曲線。這種彎曲稱為對(duì)稱彎曲。圖8-1圖8-3圖8-2在對(duì)梁進(jìn)行計(jì)算

2、前,需將實(shí)際的梁及其載荷、支座進(jìn)行簡(jiǎn)化。通常用梁的軸線代表梁;梁上的載荷一般可簡(jiǎn)化成三種類型:集中載荷(圖8-4a),集中力偶(圖8-4b)及分布載荷(圖8-4c、d);對(duì)于梁的支座則應(yīng)根據(jù)它對(duì)支座處梁的橫截面的約束情況加以簡(jiǎn)化。8.1.2梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖圖8-4a)集中載荷b)集中力偶c)均布載荷d)線性分布載荷當(dāng)載荷是平面力系時(shí),通常將支座簡(jiǎn)化成以下三種基本形式:圖8-51)固定鉸支座 如圖8-5a所示。它能阻止梁在支座處的截面沿任何方向的線位移,但不能阻止其繞橫向軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。因此,這種約束可以用兩個(gè)約束力表示,如沿梁軸線方向和垂直于軸線的兩個(gè)約束力。2)活動(dòng)鉸支座 如圖8-5b所示。它只能阻止

3、梁在支座處的截面沿梁的橫向移動(dòng),但不能阻止其沿縱向的移動(dòng)和繞橫向軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。因此,這種約束只有一個(gè)橫向約束力。3)固定端 如圖8-5c所示,它使梁在固定端的截面既不能作任何移動(dòng),又不能作轉(zhuǎn)動(dòng)。因此,這種約束有三個(gè)約束力,即沿縱向和橫向的兩個(gè)約束力和一個(gè)約束力偶。 根據(jù)上述分析,車軸和起重機(jī)大梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖分別如圖8-1b、圖8-2b所示。 工程中常見(jiàn)的靜定梁如圖8-6a、b、c所示,它們分別稱為簡(jiǎn)支梁、外伸梁和懸臂梁。它們都可用平面力系的三個(gè)平衡方程求出其三個(gè)未知約束力。圖8-6 有時(shí)為了工程上的需要,可設(shè)置較多的支座(圖8-6d、e),從而使梁的約束力數(shù)目多于獨(dú)立的平衡方程數(shù)目,這樣就不能單憑靜

4、力平衡方程求出全部約束力。這種梁稱為超靜定梁。 梁在兩支座間的部分稱為跨,其長(zhǎng)度稱為梁的跨度。8.2剪力和彎矩現(xiàn)以受集中載荷作用的簡(jiǎn)支梁(圖8-7a)為例,來(lái)說(shuō)明梁在外力作用下所產(chǎn)生的內(nèi)力和內(nèi)力的計(jì)算。先用平衡方程 和 分別求得約束力為和其指向如圖8-7a中所示。圖8-7計(jì)算梁的內(nèi)力時(shí),仍用截面法。例如在求距離左支座A為x的橫截面mm上的內(nèi)力時(shí),沿該截面假想地將梁截分為、兩段(圖8-7b、c)?，F(xiàn)先研究段梁(圖8-7b)的平衡。由平衡方程可得這種沿著橫截面的內(nèi)力稱為剪力。由于剪力FS與外力FA構(gòu)成力偶,顯然,為了使此段梁保持平衡,在截面mm上必然還有一內(nèi)力偶,此內(nèi)力偶的矩用M表示。以截面mm的

5、形心C為矩心,由平衡方程可得這種位于與橫截面垂直的平面內(nèi)的內(nèi)力偶矩稱為彎矩。 由作用與反作用原理可知,段梁在截面mm上必然也存在有剪力和彎矩,其數(shù)值與前述相同,但其方向均相反(圖8-7c)。這一結(jié)論也可從段梁的平衡方程得到。 為了使從截開后的兩段梁所求得的同一截面上的剪力和彎矩具有相同的正、負(fù)號(hào),與拉、壓、扭轉(zhuǎn)類似,按變形情況來(lái)規(guī)定它們的正、負(fù)。為此,自梁內(nèi)取出dx微段,剪力以使微段發(fā)生左端向上和右端向下的錯(cuò)動(dòng)時(shí)為正(圖8-8a),反之為負(fù)(圖8-8b);彎矩以使微段發(fā)生上凹下凸的彎曲時(shí)為正(圖8-8c),反之為負(fù)(圖8-8d)。按照上述規(guī)定,圖8-7b、c中所示的剪力和彎矩都是正的。圖8-8

6、8.3剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖剪力和彎矩隨橫截面位置的變化情況可用函數(shù)來(lái)表示。FS=FS(x),M=M(x)分別稱為剪力方程和彎矩方程。 將上述方程用圖形來(lái)表示剪力和彎矩沿梁軸的變化最為方便。作圖時(shí)常按選定的比例尺,以橫截面沿梁軸線的位置為橫坐標(biāo),以剪力或彎矩為縱坐標(biāo)。這樣繪出的圖形分別稱為剪力圖和彎矩圖。通常將正值的剪力或彎矩畫在橫軸的上方,負(fù)值的畫在下方。8.4彎矩、剪力與分布載荷集度之間的關(guān)系圖8-15a所示的梁上作用有任意的分布載荷q(x),規(guī)定載荷向上時(shí)為正,并將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端,由梁中截取長(zhǎng)度為dx的微段(圖8-15b)來(lái)研究。圖8-15 此微段梁上的載荷集度q(x)可

7、認(rèn)為是不變的。設(shè)微段左邊截面上的剪力和彎矩分別為FS(x)和M(x),且均為正號(hào);則右邊截面上的剪力和彎矩將分別為FS(x)+dFS(x)和M(x)+dM(x),考慮dx段的平衡得略去二階微量后可得由式(8-1)和式(8-2)還可得到 上述三式即是直梁的彎矩、剪力與分布載荷集度之間普遍存在的關(guān)系。 從微分學(xué)可知以上各式所具有的幾何意義:式(8-1)說(shuō)明了剪力圖上某點(diǎn)處的斜率與梁上相應(yīng)截面處的載荷集度相等;式(8-2)說(shuō)明了彎矩圖上某點(diǎn)處的斜率與梁上相應(yīng)截面上的剪力相等;從式(8-3)可知,q(x)的正、負(fù)號(hào)與彎矩圖上曲率的正、負(fù)號(hào)相同。根據(jù)上述性質(zhì),可得出如下一些規(guī)律:(1)梁上某段無(wú)分布載荷時(shí),則該段剪力圖為水平線,彎矩圖為斜直線。如剪力圖是正號(hào),則彎矩圖遞增();如剪力圖是負(fù)號(hào),則彎矩圖遞減();如剪力圖為零,則彎矩圖為水平線。(2)梁上某段有向下的均布載荷時(shí),則該段剪力圖為遞減斜直線(),彎矩圖為向上凸的二次拋物線();當(dāng)有向上的均布載荷時(shí),則剪力圖為遞增斜直線(),彎矩圖為向下凸的二次拋物線()。(3)在集中力F作用處,剪力圖有突變(突變值等于集中力F),彎矩圖有折角。在集中力偶Me作用處,剪力圖無(wú)變