通信原理：第二章 信號(hào)

1、1第2章 信號(hào)2本章主要內(nèi)容信號(hào)分類信號(hào)的性質(zhì)傅立葉變換隨機(jī)信號(hào)的性質(zhì)概率隨機(jī)過程信號(hào)通過線性系統(tǒng)3目標(biāo)要求 重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)是： 正態(tài)分布、瑞利分布、萊斯分布、均勻分布特性的理解和掌握，平穩(wěn)隨機(jī)過程及其數(shù)字特征的理解和掌握。 難點(diǎn)是： 高斯過程、窄帶隨機(jī)過程、正弦波加窄帶高斯過程的理解、分析和掌握。4主要內(nèi)容 2.1 信號(hào)的類型 2.2 確知信號(hào)的性質(zhì) 2.3 隨機(jī)信號(hào)的性質(zhì) 2.4 常見隨機(jī)變量舉例 2.5 隨機(jī)變量的數(shù)字期望 2.6 隨機(jī)過程5主要內(nèi)容 2.7 高斯過程 2.8 窄帶隨機(jī)過程 2.9 正弦波加窄帶隨機(jī)過程 2.10 信號(hào)通過線性系統(tǒng) 小結(jié) 思考題、習(xí)題62.1 信號(hào)的類型

2、 確知信號(hào)和隨機(jī)信號(hào) 什么是確知信號(hào)? 什么是隨機(jī)信號(hào)?72.1 信號(hào)的類型信號(hào)的功率:設(shè) R = 1, 則 P = V2/R = I2R = V2 = I2信號(hào)的能量：設(shè)S代表V或I，若S隨時(shí)間變化，則寫為s(t)，于是，信號(hào)的能量 E = s2(t)dt能量信號(hào)：滿足 平均功率： ，故能量信號(hào)的P = 0。功率信號(hào)：P 0 的信號(hào)，即持續(xù)時(shí)間無窮的信號(hào)。能量信號(hào)和功率信號(hào)82.1 信號(hào)的類型能量信號(hào)和功率信號(hào) 能量信號(hào)的能量有限，但平均功率為0。 功率信號(hào)的平均功率有限，但能量為無窮大。92.2 確知信號(hào)性質(zhì) 矩形脈沖函數(shù)：tT0-/ 2/ 2g(t)102.2 確知信號(hào)性質(zhì) 階躍函數(shù)：t

3、10u(t)112.2 確知信號(hào)性質(zhì)2.2.1頻域性質(zhì) 功率信號(hào)的頻譜： 設(shè)s(t)為周期性功率信號(hào)，T0為周期，則有式中，0 = 2 / T0 = 2f0 C(jn0)是復(fù)數(shù)，式中，|Cn| 頻率為nf0的分量的振幅； n 頻率為nf0的分量的相位。信號(hào)s(t)的傅里葉級(jí)數(shù)表示法：頻譜是離散的，包含各次諧波的振幅和相位12【例2.1】 試求周期性方波的頻譜。 解：設(shè)一周期性方波的周期為T，寬度為，幅度為V 求頻譜： tV0-/ 2/ 2T-Tf(t)13例2.1 頻譜圖2.2 確知信號(hào)性質(zhì)2.2.1頻域性質(zhì)14【例2.2】試求全波整流后的正弦波的頻譜。解：設(shè)此信號(hào)的表示式為： 1f(t)t2

4、.2 確知信號(hào)性質(zhì)2.2.1頻域性質(zhì)15 求頻譜： 信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)形式2.2 確知信號(hào)性質(zhì)2.2.1頻域性質(zhì)162.2 確知信號(hào)性質(zhì)2.2.1頻域性質(zhì)例2.2 頻譜圖17設(shè)一能量信號(hào)為s(t)，則其頻譜密度為：S()的逆變換為原信號(hào)：2.2 確知信號(hào)性質(zhì)2.2.1頻域性質(zhì) 能量信號(hào)的頻譜密度18【例2.3】試求一個(gè)矩形脈沖的頻譜密度。 解：設(shè)此矩形脈沖的表示式為：則它的頻譜密度就是它的傅里葉變換2.2 確知信號(hào)性質(zhì)2.2.1頻域性質(zhì)t10-/ 2/ 2g(t) 02/ -2/ -4/ 4/ G( )19【例2.4】試求抽樣函數(shù)的波形和頻譜密度。解：抽樣函數(shù)的定義是 而Sa(t)的頻譜密度為：

5、 和上例比較可知，Sa(t)的波形和上例中的G()曲線相同，而Sa(t)的頻譜密度Sa()的曲線和上例中的g(t)波形相同。2.2 確知信號(hào)性質(zhì)2.2.1頻域性質(zhì)20【例2.5】單位沖激函數(shù)及其頻譜密度。 解：?jiǎn)挝粵_激函數(shù)常簡(jiǎn)稱為函數(shù)，其定義是： (t)的頻譜密度：2.2 確知信號(hào)性質(zhì)2.2.1頻域性質(zhì)21(t)及其頻譜密度的曲線： 函數(shù)的物理意義： 高度為無窮大，寬度為無窮小，面積為1的脈沖。f(f)10t(t)02.2 確知信號(hào)性質(zhì)2.2.1頻域性質(zhì)22 用抽樣函數(shù)Sa(t)表示函數(shù)： Sa(t)有如下性質(zhì)： 當(dāng) k 時(shí)，振幅 ，波形的零點(diǎn)間隔 0， 故有：2.2 確知信號(hào)性質(zhì)2.2.1頻

6、域性質(zhì)ttt23 函數(shù)的性質(zhì)對(duì)f(t)的抽樣：函數(shù)是偶函數(shù)：函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：u(t) = (t) t10圖2.2.6 單位階躍函數(shù)2.2 確知信號(hào)性質(zhì)2.2.1頻域性質(zhì)24 能量信號(hào)的頻譜密度S(f)和功率信號(hào)的頻譜C(jn0)的區(qū)別: S(f) 連續(xù)譜； C(jn0) 離散譜 S(f)的單位：V/Hz； C(jn0) 的單位：V S(f)在一頻率點(diǎn)上的幅度無窮小。2.2 確知信號(hào)性質(zhì)2.2.1頻域性質(zhì)25傅立葉變換性質(zhì)時(shí)域頻域周期信號(hào)頻譜離散非周期信號(hào)頻譜連續(xù)離散信號(hào)（數(shù)字信號(hào)）頻譜周期連續(xù)信號(hào)頻譜非周期周期 離散非周期 連續(xù)26【例2.6】試求無限長余弦波的頻譜密度。 解：設(shè)一個(gè)

7、余弦波的表示式為f (t) = cos0t，則其頻譜密度F()按式(2.2-10)計(jì)算，可以寫為上式可以改寫為2.2 確知信號(hào)性質(zhì)2.2.1頻域性質(zhì)272.2 確知信號(hào)性質(zhì)2.2.1頻域性質(zhì)t000(b) 頻譜密度(a) 波形28須掌握的傅氏變換對(duì)1. 單位沖激2. 單位階躍3. 單邊指數(shù)函數(shù)4. 雙邊指數(shù)函數(shù)5. 門函數(shù)6. 正弦函數(shù)（余弦函數(shù)）29 信號(hào)與線性系統(tǒng)中講的一些變換有什么作用？30能量譜密度設(shè)一個(gè)能量信號(hào)s(t)的能量為E，則其能量由下式?jīng)Q定： 若此信號(hào)的頻譜密度為S(f)，則由巴塞伐爾（Parseval）定理得知： 上式中|S(f)|2稱為能量譜密度，也可以看作是單位頻帶內(nèi)的

8、信號(hào)能量。2.2 確知信號(hào)性質(zhì)2.2.1頻域性質(zhì)31 上式可以改寫為： 式中，G(f)|S(f)|2 （J / Hz） 為能量譜密度。G(f)的性質(zhì)：因s(t)是實(shí)函數(shù)，故|S(f)|2 是偶函數(shù) 2.2 確知信號(hào)性質(zhì)2.2.1頻域性質(zhì)32功率譜密度令s(t)的截短信號(hào)為sT(t)，-T/2 t T/2，則有定義功率譜密度為：得到信號(hào)功率：2.2 確知信號(hào)性質(zhì)2.2.1頻域性質(zhì)33確知信號(hào)的頻域性質(zhì)頻譜函數(shù) 功率信號(hào)頻譜密度 能量信號(hào)能量譜密度 G(f)|S(f)|2 功率譜密度 34自相關(guān)函數(shù)能量信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)定義：功率信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)定義：性質(zhì)：R()只和 有關(guān)，和 t 無關(guān)當(dāng) = 0時(shí)

9、，能量信號(hào)的R()等于信號(hào)的能量； 功率信號(hào)的R()等于信號(hào)的平均功率。2.2 確知信號(hào)性質(zhì)2.2.2時(shí)域性質(zhì)35 互相關(guān)函數(shù) 能量信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)定義： 功率信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)定義： 性質(zhì)：R12()只和有關(guān)，和t無關(guān)：證：令x=t+，則 2.2 確知信號(hào)性質(zhì)2.2.2時(shí)域性質(zhì)362.3 隨機(jī)信號(hào)的性質(zhì)-2.3.1概率分布 隨機(jī)變量的概念： 若某種試驗(yàn)A的隨機(jī)結(jié)果用X表示，則稱此X為一個(gè)隨機(jī)變量，并設(shè)它的取值為x。 例如，在一定時(shí)間內(nèi)電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量。 372.3 隨機(jī)信號(hào)的性質(zhì)-2.3.1概率分布隨機(jī)變量的分布函數(shù)： 定義：隨機(jī)變量X取值不超過某個(gè)數(shù)x的概率P(X x)

10、 是取值x的函數(shù)，記為 FX(x) = P(X x) 函數(shù)FX(x) 即為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。 性質(zhì)： P(a X b) + P(X a) = P(X b),P(a X b) = P(X b) P(X a)， P(a X b) = FX(b) FX(a) 38 離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)：設(shè)X的取值為：x1 x2 xi xn，其取值的概率分別為p1, p2, , pi, , pn，則有P (X x1) = 0, P(X xn) = 1P(X xi) = P(X = x1) + P(X = x2) + + P(X = xi),性質(zhì)： FX(- ) = 0 FX(+) = 1 若x1 x2，則有:

11、FX(x1) FX(x2) ，為單調(diào)增函數(shù)。2.3 隨機(jī)信號(hào)的性質(zhì)-2.3.1概率分布39 連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)： 當(dāng)x連續(xù)時(shí)，由定義分布函數(shù)定義 FX(x) = P(X x) 可知， FX(x) 為一連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)：2.3 隨機(jī)信號(hào)的性質(zhì)-2.3.1概率分布40 連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度pX(x) pX (x)的定義： pX (x)的意義： pX (x)是FX (x)的導(dǎo)數(shù)，是FX (x)曲線的斜率 能夠從pX (x)求出P(a 0, a = 常數(shù) 概率密度曲線：43 均勻分布隨機(jī)變量 定義：概率密度 式中，a，b為常數(shù) 概率密度曲線：bax0pA(x)2.4 常見隨機(jī)變量舉例44 瑞利(

12、Rayleigh)分布隨機(jī)變量 定義：概率密度為 式中，a 0，為常數(shù)。 概率密度曲線：2.4 常見隨機(jī)變量舉例452.5 隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望 定義：對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望可以定義為： 式中，pX(x)為隨機(jī)變量X的概率密度。 數(shù)學(xué)期望又稱為統(tǒng)計(jì)平均值。 462.5 隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望 性質(zhì)： 若X和Y互相獨(dú)立，且E(X)和E(Y)存在。 47 方差 定義：隨機(jī)變量X的方差是隨機(jī)變量X與其數(shù)學(xué)期望之差的平方的數(shù)學(xué)期望式中方差還可改寫為： 對(duì)于離散隨機(jī)變量，對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量， 2.5 隨機(jī)變量的數(shù)字特征48 方差 性質(zhì)： 常量的方差等于0，即D( C ) = 0 設(shè)D(X)

13、存在，C為常量，則： D(X+C)=D(X)，D(CX)=C2D(X) 設(shè)D(X) 和D(X)都存在，且X和Y互相獨(dú)立，則： D(X+Y)=D(X)+D(Y) 同樣，對(duì)于多個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)變量：D(X1 + X2 + + Xn)=D(X1) + D(X2) + + D(Xn) 2.5 隨機(jī)變量的數(shù)字特征49矩定義：隨機(jī)變量X的k階矩定義為 k階原點(diǎn)矩：a = 0時(shí)的矩： k階中心矩： 時(shí)的矩：2.5 隨機(jī)變量的數(shù)字特征50矩 顯然， 一階原點(diǎn)矩為數(shù)學(xué)期望：二階中心矩為方差：2.5 隨機(jī)變量的數(shù)字特征512.6 隨機(jī)過程 1.定義：隨著時(shí)間t而變化的隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)過程。也就是說，隨機(jī)過程可以

14、看成是由一個(gè)事件A的全部可能“實(shí)現(xiàn)”構(gòu)成的總體，記為X(A,t)。 （1）幾種表示的意義： X(A,t)事件A的全部可能“實(shí)現(xiàn)”的總體； X(Ai,t)事件A的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，為確定的時(shí)間函數(shù)； X(A,tk)在給定時(shí)刻tk上的函數(shù)值。簡(jiǎn)記：X(A,t) X(t) X(Ai,t) Xi(t)一、基本概念522.6 隨機(jī)過程（2）舉例：接收機(jī)噪聲532. 隨機(jī)過程的數(shù)字特征：（1）統(tǒng)計(jì)平均值：（2）方差：（3）自相關(guān)函數(shù)：2.6 隨機(jī)過程在時(shí)刻ti觀察隨機(jī)過程得到的隨機(jī)變量 是X(ti)在時(shí)刻ti的概率密度函數(shù) 54二、平穩(wěn)隨機(jī)過程 1. 平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義： 統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)的隨機(jī)過程。（又稱

15、嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程） 2. 廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義： 平均值、方差和自相關(guān)函數(shù)等與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)的隨機(jī)過程。2.6 隨機(jī)過程55二、平穩(wěn)隨機(jī)過程 3. 廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程的性質(zhì)：（1） （2）（3） 嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程一定也是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。但是，廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程就不一定是嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程。 2.6 隨機(jī)過程56三、各態(tài)歷經(jīng)性 按照定義求一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的平均值和相關(guān)函數(shù)，需要對(duì)隨機(jī)過程的所有實(shí)現(xiàn)計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均。實(shí)際上做不到。 若一個(gè)隨機(jī)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性，它的統(tǒng)計(jì)平均就等于時(shí)間平均。 2.6 隨機(jī)過程572. 隨機(jī)過程的數(shù)字特征：（1）統(tǒng)計(jì)平均值：（2）方差：（3）自相關(guān)函數(shù)：2.6 隨機(jī)過

16、程58 時(shí)間平均 a. b. 2.6 隨機(jī)過程 -各態(tài)歷經(jīng)性59三、各態(tài)歷經(jīng)性 1. “各態(tài)歷經(jīng)”的含義：平穩(wěn)隨機(jī)過程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)能夠經(jīng)歷此過程的所有狀態(tài)。 2. 各態(tài)歷經(jīng)過程（遍歷性過程）的定義： （1） 如果一個(gè)隨機(jī)過程X(t)，它的各種時(shí)間平均（時(shí)間足夠長）依概率“1”收斂于相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)平均，則稱過程X(t)具有嚴(yán)格遍歷性，并稱此過程為嚴(yán)格遍歷性過程。 2.6 隨機(jī)過程60 （2）設(shè)X(t)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程， a. 如果 依概率1成立，則稱過程X(t)的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。 b. 如果 依概率1成立，則稱過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。若在 =0時(shí)，上式成立，則稱過程X(t)的均方

17、值具有各態(tài)歷經(jīng)性。2.6 隨機(jī)過程 -各態(tài)歷經(jīng)性61 （2）設(shè)X(t)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程， c. 如果過程X(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)都具有遍歷性，則稱X(t)是寬（廣義）遍歷性過程，簡(jiǎn)稱遍歷過程或各態(tài)歷經(jīng)過程。 推廣到一般情況，為求各態(tài)歷經(jīng)過程的每個(gè)數(shù)字特征，無需做無限多次的觀察，只需做一次推廣，用時(shí)間平均代替統(tǒng)計(jì)平均即可。大大簡(jiǎn)化了計(jì)算。2.6 隨機(jī)過程62（3）一個(gè)隨機(jī)過程若具有各態(tài)歷經(jīng)性，則它必定是嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程。但是，嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程就不一定具有各態(tài)歷經(jīng)性。2.6 隨機(jī)過程633. 穩(wěn)態(tài)通信系統(tǒng)的各態(tài)歷經(jīng)性： 假設(shè)信號(hào)和噪聲都是各態(tài)歷經(jīng)的。一階原點(diǎn)矩mX = EX(t) 是信號(hào)的直流

18、分量；一階原點(diǎn)矩的平方mX 2 是信號(hào)直流分量的歸一化功率；二階原點(diǎn)矩E X 2( t ) 是信號(hào)歸一化平均功率；二階中心矩X2 是信號(hào)交流分量的歸一化平均功率;2.6 隨機(jī)過程643. 穩(wěn)態(tài)通信系統(tǒng)的各態(tài)歷經(jīng)性： 假設(shè)信號(hào)和噪聲都是各態(tài)歷經(jīng)的。二階原點(diǎn)矩的平方根E X 2(t)1/2 是信號(hào)電流或電壓的均方根值（有效值）；若mX = mX 2 = 0，則X2 = E X 2( t ) ；標(biāo)準(zhǔn)偏差X 是信號(hào)交流分量的均方根值； 若mX = 0，則X就是信號(hào)的均方根值 。2.6 隨機(jī)過程652.6 隨機(jī)過程例2.7：設(shè)隨機(jī)過程 式中，a、0 皆為常數(shù)，是在（0,2）上均勻分布的隨機(jī)變量。試問：(

19、1) X(t)是否是平穩(wěn)隨機(jī)過程？為什么？ (2) X(t)是否具有遍歷性？662.6 隨機(jī)過程解：(1) 隨機(jī)變量的概率密度為因而，過程X(t)的均值、自相關(guān)函數(shù)和均方值分別為所以，X(t)是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。672.6 隨機(jī)過程 (2)因?yàn)閷?duì)照（1）和（2）的結(jié)果可知，X(t)具有寬遍歷性。682.6 隨機(jī)過程四、平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度 1. 自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)a.b.c.d.e.692.6 隨機(jī)過程2. 功率頻譜密度的性質(zhì) (1) 確知信號(hào)的功率譜密度： (2) 類似地，平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度為： (3) 平均功率703. 自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度的關(guān)系由式中， 令 =t t

20、，k =t + t，則上式可以化簡(jiǎn)成 于是有2.6 隨機(jī)過程71上式表明，PX(f )和R( )是一對(duì)傅里葉變換：4. PX(f )的性質(zhì)：a. PX(f ) 0, 并且PX(f )是實(shí)函數(shù)。b. PX(f ) PX(-f )，即PX(f )是偶函數(shù)。 2.6 隨機(jī)過程72【例2.8】設(shè)有一個(gè)二進(jìn)制數(shù)字信號(hào)x(t)，如圖所示，其振幅為+a或-a；在時(shí)間T 內(nèi)其符號(hào)改變的次數(shù)k服從泊松分布。式中，是單位時(shí)間內(nèi)振幅的符號(hào)改變的平均次數(shù)。試求其相關(guān)函數(shù)R()和功率譜密度P(f)。2.6 隨機(jī)過程+a-ax(t)tt0t-73解：將此二進(jìn)制數(shù)字信號(hào)看成是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，則自相關(guān)函數(shù)為： 由圖可以看出

21、，乘積x(t)x(t-)只有兩種可能取值：a2 或 -a2。因此，上式可以化簡(jiǎn)為：R() = a2 a2出現(xiàn)的概率 + (-a2) (-a2)出現(xiàn)的概率式中，“出現(xiàn)的概率”可以按上述泊松分布P(k)計(jì)算，若在 秒內(nèi)x(t)的符號(hào)有偶數(shù)次變化，則出現(xiàn)+a2; 若在 秒內(nèi)x(t)的符號(hào)有奇數(shù)次變化，則出現(xiàn)-a2。因此， 2.6 隨機(jī)過程742.6 隨機(jī)過程 用 代替泊松分布式中的T，得到 由于在泊松分布中 是時(shí)間間隔，所以它應(yīng)該是非負(fù)數(shù)。所以，上式中當(dāng) 取負(fù)值時(shí)，上式應(yīng)當(dāng)改寫成 將上兩式合并，最后得到：75 其功率譜密度P(f )可以由其自相關(guān)函數(shù)R()的傅里葉變換求出： P(f )和R()的曲線

22、：2.6 隨機(jī)過程76【例2.9】設(shè)一隨機(jī)過程的功率譜密度P( f )如圖所示。試求其自相關(guān)函數(shù)R()。2.6 隨機(jī)過程77解：功率譜密度P( f )已知， 式中， 自相關(guān)函數(shù)曲線：2.6 隨機(jī)過程78【例2.10】試求白噪聲的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。 解：白噪聲是指具有均勻功率譜密度Pn(f )的噪聲，即Pn(f ) n0/2，式中，n0為單邊功率譜密度（W/Hz），白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可以從它的功率譜密度求得: 由上式看出，白噪聲的任何兩個(gè)相鄰時(shí)間（即 0時(shí)）的抽樣值都是不相關(guān)的。2.6 隨機(jī)過程79 白噪聲的平均功率 : 上式表明，白噪聲的平均功率為無窮大。 Pn(f)n0/20fRn()

23、n0/202.6 隨機(jī)過程802.6 隨機(jī)過程【例2.11】帶限白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)。解：帶限白噪聲：帶寬受到限制的白噪聲 帶限白噪聲的功率譜密度： 設(shè)白噪聲的頻帶限制在(-fH, fH)之間，則有 其自相關(guān)函數(shù)為：812.6 隨機(jī)過程【例2.11】帶限白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)。 波形：n0/2Pn(f)0f-fHfHRn()01/2fH-1/2fH822.6 隨機(jī)過程【例2.11】求隨機(jī)相位正弦波 自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度。式中，0是常數(shù)；是在區(qū)間（0，2）上均勻分布的隨機(jī)變量。83842.7 高斯過程（正態(tài)隨機(jī)過程）一、定義：1. 一維高斯過程的概率密度：式中，a =EX(t

24、)為均值 2 =EX(t)-a2為方差 為標(biāo)準(zhǔn)偏差高斯過程是平穩(wěn)過程，故其概率密度pX (x,t1)與t1無關(guān)即，pX(x,t1)pX (x)pX (x)的曲線：852. 高斯過程的嚴(yán)格定義： 一個(gè)隨機(jī)過程的任意n維聯(lián)合概率密度滿足： 式中，ak為xk的數(shù)學(xué)期望（統(tǒng)計(jì)平均值）；k為xk的標(biāo)準(zhǔn)偏差；2.7 高斯過程862. 高斯過程的嚴(yán)格定義：|B|為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式; |B|jk為行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余子式；bjk為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即2.7 高斯過程873. n維高斯過程的性質(zhì)(1) pX (x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)僅由各個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望a

25、i、標(biāo)準(zhǔn)偏差i和歸一化協(xié)方差bjk決定，因此它是一個(gè)廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程 。(2) 若x1,x2, ,xn等兩兩之間互不相關(guān)，則有當(dāng)j k 時(shí)，bjk = 0。這時(shí)，即，此n 維聯(lián)合概率密度等于各個(gè)一維概率密度的乘積。2.7 高斯過程883. n維高斯過程的性質(zhì)注意： 若兩個(gè)隨機(jī)變量的互相關(guān)函數(shù)等于零，則稱為兩者互不相關(guān)；若兩個(gè)隨機(jī)變量的二維聯(lián)合概率密度等于其一維概率密度之積，則稱為兩者互相獨(dú)立?；ゲ幌嚓P(guān)的兩個(gè)隨機(jī)變量不一定互相獨(dú)立?；ハ嗒?dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量則一定互不相關(guān)。(3) 高斯過程的隨機(jī)變量之間既互不相關(guān)，又互相獨(dú)立。 2.7 高斯過程89二、正態(tài)概率密度的性質(zhì)1. p(x)對(duì)稱于直線x =

26、a，即有：2. p(x)在區(qū)間(-,a)內(nèi)單調(diào)上升，在區(qū)間(a, )內(nèi)單調(diào)下降，并且在點(diǎn)a處達(dá)到其極大值 3. 當(dāng)x -或 x +時(shí)，p(x) 0。 4. 5. 若a = 0, = 1，則稱這種分布為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布： 2.7 高斯過程90三、正態(tài)分布函數(shù)將正態(tài)概率密度函數(shù)的積分定義為正態(tài)分布函數(shù) ：式中，(x)稱為概率積分函數(shù) ：此積分不易計(jì)算，通常用查表方法計(jì)算。 2.7 高斯過程91四、用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布1. 誤差函數(shù)定義：2. 補(bǔ)誤差函數(shù)定義： 3. 正態(tài)分布表示法：2.7 高斯過程92頻率近似為fc2.8 窄帶隨機(jī)過程一、基本概念 1. 何謂窄帶? 設(shè)隨機(jī)過程的頻帶寬度為f，中心頻

27、率為fc。若f fc，則稱此隨機(jī)過程為窄帶隨機(jī)過程。 2. 窄帶隨機(jī)過程的波形和表示式（1）波形和頻譜：93（2）表示式 式中，aX(t)窄帶隨機(jī)過程的隨機(jī)包絡(luò)； X(t)窄帶隨機(jī)過程的隨機(jī)相位； 0正弦波的角頻率。 上式可以改寫為：式中， X (t)的同相分量 X (t)的正交分量 2.8 窄帶隨機(jī)過程頻率近似為fc94二、窄帶隨機(jī)過程的性質(zhì) 1. Xc(t)和Xs(t)的統(tǒng)計(jì)特性：設(shè)X(t)是一個(gè)均值為0的平穩(wěn)窄帶高斯過程，則a. Xc(t)和Xs(t)也是均值為0的平穩(wěn)高斯過程；b. Xc(t)和Xs(t)的方差相同，且等于X(t)的方差；c. 在同一時(shí)刻上得到的Xc和Xs是不相關(guān)的和統(tǒng)

28、計(jì)獨(dú)立的。2.8 窄帶隨機(jī)過程95 2. aX(t)和X(t)的統(tǒng)計(jì)特性：（1）窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程包絡(luò)aX(t)的概率密度等于： 比較： （2）窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程相位X(t)的概率密度等于： 2.8 窄帶隨機(jī)過程瑞利分布均勻分布962.9 正弦波加窄帶高斯過程1. 通信系統(tǒng)中存在的信號(hào)與噪聲之和可以看作正弦波加窄帶高斯過程2. 正弦波加噪聲的表示式： 式中，A正弦波的確知振幅；0正弦波的角頻率； 正弦波的隨機(jī)相位；n(t)窄帶高斯噪聲。 972.9 正弦波加窄帶高斯過程（1）r(t)的包絡(luò)的概率密度 ： 式中，2n(t)的方差；I0()零階修正貝塞爾函數(shù)。 pr(x)稱為廣義瑞利分布，或稱萊斯(R

29、ice)分布。 當(dāng)A = 0時(shí)， pr(x)變成瑞利概率密度。98（2）r(t)的相位的條件概率密度 ： 式中， r( t )的相位，包括正弦波的相位 和噪聲的相位； pr( / ) 給定 的條件下，r( t )的相位的條件概率密度。 所以，正弦信號(hào)相位的概率密度2.9 正弦波加窄帶高斯過程99（2）r(t)的相位的概率密度: 當(dāng) = 0時(shí)，2.9 正弦波加窄帶高斯過程100瑞利分布r概率密度包絡(luò)r(a) 萊斯分布包絡(luò)的概率密度均勻相位相 位概率密度(b) 萊斯分布相位的概率密度3. 萊斯分布的曲線當(dāng)A/ = 0時(shí)， 包絡(luò)瑞利分布 相位均勻分布當(dāng)A/很大時(shí)，包絡(luò)正態(tài)分布 相位沖激函數(shù)2.9 正

30、弦波加窄帶高斯過程1012.10 信號(hào)通過線性系統(tǒng)一、線性系統(tǒng)的基本概念 1.線性系統(tǒng)的特性 有一對(duì)輸入端和一對(duì)輸出端 無源 無記憶 非時(shí)變 有因果關(guān)系：先有輸入、后有輸出 有線性關(guān)系：滿足疊加原理 若當(dāng)輸入為xi(t)時(shí)，輸出為yi(t)，則當(dāng)輸入為 時(shí)，輸出為：式中，a1和a2均為任意常數(shù)。1022.線性系統(tǒng)的示意圖線性系統(tǒng)輸入輸出x(t)y(t)X(f)Y(f)h(t)H(f)t(t)h(t)t002.10 信號(hào)通過線性系統(tǒng)103二、確知信號(hào)通過線性系統(tǒng) 1. 時(shí)域分析法 設(shè)h(t)系統(tǒng)的沖激響應(yīng) x(t)輸入信號(hào)波形 y(t)輸出信號(hào)波形 則有：2.10 信號(hào)通過線性系統(tǒng)對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)

31、系統(tǒng)：1042.頻域分析法 （1）設(shè)：輸入為能量信號(hào)，令 x( t )輸入能量信號(hào) H( f )h( t )的傅里葉變換 X( f )x( t )的傅里葉變換 y( t )輸出信號(hào)則此系統(tǒng)的輸出信號(hào)y( t )的頻譜密度Y( f )：由Y( f )的逆傅里葉變換可以求出y( t )：2.10 信號(hào)通過線性系統(tǒng)105（2）設(shè)：輸入x(t)為周期性功率信號(hào)，則有 式中，0 = 2/T0 ；T0信號(hào)的周期 f0 = 0/2 是信號(hào)的基頻 輸出為： （3）設(shè)：輸入x(t)為非周期性功率信號(hào)，則當(dāng)作隨機(jī)信號(hào)處理。2.10 信號(hào)通過線性系統(tǒng)106【例2.11】若有一個(gè)RC低通濾波器，如圖所示。試求出其沖激響應(yīng)，以及當(dāng)有按指數(shù)衰減的輸入時(shí)其輸出信號(hào)表示式。 解: 設(shè)x(t)輸入能量信號(hào) y(t)輸出能量信號(hào) X(f)x(t)的頻譜密度 Y(f)y(t)的頻譜密度則此電路的傳輸函數(shù)為： 此濾波器的沖激響應(yīng)h(t)：2.10 信號(hào)通過線性系統(tǒng)RCx(t)y(t)1