2022高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(人教A理一輪)1.1　集合的概念與運(yùn)算

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI1.1集合的概念與運(yùn)算第一章2022內(nèi)容索引010203必備知識(shí) 預(yù)案自診關(guān)鍵能力 學(xué)案突破素養(yǎng)提升微專(zhuān)題1運(yùn)用Venn圖解題的三個(gè)階梯必備知識(shí) 預(yù)案自診【知識(shí)梳理】 1.集合的含義與表示(1)集合元素的三個(gè)特征:、.(2)元素與集合的關(guān)系有或兩種,用符號(hào)或表示.(3)集合的表示方法:、.(4)常見(jiàn)數(shù)集的記法.集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào) 確定性互異性無(wú)序性屬于不屬于列舉法描述法Venn圖法NN* (或N+ ) ZQR2.集合間的基本關(guān)系 關(guān)系自然語(yǔ)言符號(hào)表示Venn圖子集對(duì)于兩個(gè)集合A,B,如

2、果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素,就稱(chēng)集合A為集合B的子集真子集如果集合AB,但存在元素xB,且xA,就稱(chēng)集合A是集合B的真子集 集合相等如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素,同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素,那么集合A與集合B相等 AB(或BA)AB(或BA)A=B3.集合的運(yùn)算 集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集Venn圖符號(hào)語(yǔ)言AB=AB=UA=x|xA,或xBx|xA,且xBx|xU,且xA常用結(jié)論1.并集的性質(zhì):A=A;AA=A;AB=BA;AB=ABA.2.交集的性質(zhì):A=;AA=A;AB=BA;AB=AAB.3.補(bǔ)集的性質(zhì):A(UA)=;A(UA)=U;U(UA)

3、=A;U(AB)=(UA)(UB);U(AB)=(UA)(UB).4.若集合A中含有n個(gè)元素,則它的子集個(gè)數(shù)為2n,真子集的個(gè)數(shù)為2n-1,非空真子集的個(gè)數(shù)為2n-2.常用結(jié)論5.如圖所示,用集合A,B表示圖中、四個(gè)部分所表示的集合分別是AB,A(UB),B(UA),U(AB).6.card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB).【考點(diǎn)自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“”,錯(cuò)誤的畫(huà)“”.(1)集合x(chóng)2+x,0中的實(shí)數(shù)x可取任意值.()(2)x|y=x2+1=y|y=x2+1=(x,y)|y=x2+1.()(3)對(duì)任意集合A,B,一定有ABAB.()(4)若AB=A

4、C,則B=C.()(5)直線y=x+3與y=-2x+6的交點(diǎn)組成的集合是1,4.()2.(2020廣東湛江測(cè)試,理1)已知集合A=1,2,3,4,B=y|y=2x-3,xA,則集合AB的子集個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.4D.8答案 C解析 因?yàn)锳=1,2,3,4,B=y|y=2x-3,xA,所以B=-1,1,3,5,所以AB=1,3,所以AB的子集個(gè)數(shù)為22=4.3.(2020山東濟(jì)南一模,1)已知全集U=R,集合A=x|x2x,則UA=()A.0,1B.(0,1)C.(-,1D.(-,1)答案 A解析 由x2x,得x1或x1,或x0,所以UA=x|0 x1=0,1.4.已知集合U=1,2,3,

5、4,5,6,7,A=2,3,4,5,B=2,3,6,7,則A(UB)=()A.1,4B.1,4,5C.4,5D.6,7答案 C解析 由題意得UB=1,4,5,又A=2,3,4,5,所以A(UB)=4,5,故選C.5.(2020江蘇南京六校5月聯(lián)考,1)已知集合A=x|x2-2x0,B=x|x1,則AB=.答案 (-,2)解析 集合A=x|x2-2x0=x|0 x2,且B=x|x1,AB=x|x0,則集合A的真子集個(gè)數(shù)為()A.3B.4C.7D.8(2)已知集合A=a,b,2,B=2,b2,2a,且AB=AB,則a=.思考求集合中元素的個(gè)數(shù)或求集合中某些元素的值應(yīng)注意什么?解題心得與集合中的元素

6、有關(guān)問(wèn)題的求解策略:(1)確定集合中的代表元素是什么,即集合是數(shù)集、點(diǎn)集,還是其他類(lèi)型的集合.(2)看這些元素滿足什么限制條件.(3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù),但要注意檢驗(yàn)集合是否滿足元素的互異性.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2020河北唐山一模,理1)已知集合A=-1,0,1,2,B=y|y=2x,M=AB,則集合M的子集個(gè)數(shù)是()A.2B.3C.4D.8(2)已知集合A=m+2,2m2+m,若3A,則m的值為.考點(diǎn)2集合間的基本關(guān)系【例2】(1)(2020浙江鎮(zhèn)海中學(xué)摸底,1)設(shè)集合A.A=BB.ABC.BAD.AB=x|x1(2)(2020河北石家莊二中模擬,理2)設(shè)集合P

7、=x|x|3,Q=x|x24,則下列結(jié)論正確的是()A.QPB.PQC.P=QD.PQ=R則下列結(jié)論正確的是() 答案 (1)D(2)B AB=x|x1,故選D.(2)由題得,集合P=x|x|3=x|x3,Q=x|x24=x|x2,所以PQ,故選B.思考判定集合間的基本關(guān)系有哪些方法?解決集合間基本關(guān)系問(wèn)題的常用技巧有哪些?解題心得1.判定集合間的基本關(guān)系的方法有兩種:一是化簡(jiǎn)集合,從表達(dá)式中尋找集合間的關(guān)系;二是用列舉法(或圖示法等)表示各個(gè)集合,從元素(或圖形)中尋找集合間的關(guān)系.2.解決集合間基本關(guān)系問(wèn)題的常用技巧有:(1)若給定的集合是不等式的解集,則結(jié)合數(shù)軸求解;(2)若給定的集合是

8、點(diǎn)集,則用數(shù)形結(jié)合法求解;(3)若給定的集合是抽象集合,則用Venn圖求解.答案 (1)D(2)D 考點(diǎn)3集合的運(yùn)算(多考向探究)考向1利用集合運(yùn)算的定義進(jìn)行運(yùn)算【例3】 (1)(2020新高考全國(guó)1,1)設(shè)集合A=x|1x3,B=x|2x4,則AB=()A.x|2x3B.x|2x3C.x|1x4D.x|1x4(2)(2020全國(guó)3,理1)已知集合A=(x,y)|x,y N*,yx,B=(x,y)|x+y=8,則AB中元素的個(gè)數(shù)為()A.2B.3C.4D.6(3)(2020全國(guó)2,理1)已知集合U=-2,-1,0,1,2,3,A=-1,0,1,B=1,2,則U(AB)=()A.-2,3B.-2

9、,2,3C.-2,-1,0,3D.-2,-1,0,2,3答案 (1)C(2)C(3)A解析 (1)(數(shù)形結(jié)合)由數(shù)軸可知所以AB=x|1x0,B=x|x2-40,則AB=()A.-2,0B.(-,0)C.-2,0)D.-4,4(2)(2019全國(guó)1,文2)已知集合U=1,2,3,4,5,6,7,A=2,3,4,5,B=2,3,6,7,則B(UA)=()A.1,6B.1,7C.6,7D.1,6,7(3)(2020山東濰坊一模,1)設(shè)集合A=2,4,B=xN|x-30,則AB=()A.1,2,3,4B.0,1,2,3,4C.2D.x|x4答案 (1)C(2)C(3)B解析 (1)由題得A=x|x2

10、-4x0=x|x4,B=x|x2-40=x|-2x2,則AB=x|-2x0,則PQ=()A.0,1(4,+)B.0,1(2,+)C.1,4D.(4,+)答案 B解析 P=0,2,Q=(1,+),PQ=0,+),PQ=(1,2,因此PQ=0,1(2,+).思考求解集合新定義運(yùn)算的關(guān)鍵是什么?解題心得求解集合新定義運(yùn)算的關(guān)鍵是仔細(xì)分析新定義運(yùn)算法則的特點(diǎn),把新定義運(yùn)算法則所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚,并能夠應(yīng)用到具體的解題過(guò)程之中.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4定義A*B=x|x=x1+2x2,x1A,x2B,若A=1,2,3,B=1,2,則A*B=;(A(A*B)B=.答案 3,4,5,6,71,2,3解析 A=1,2

11、,3,B=1,2,A*B=x|x=x1+2x2,x1A,x2B=3,4,5,6,7;(A(A*B)B=(1,2,33,4,5,6,7)1,2=31,2=1,2,3.考點(diǎn)4求集合中參數(shù)的值或取值范圍【例5】 (1)(2020湖南湘潭三模,理1)已知集合A=x|ax=x2,B=0,1,2,若AB,則實(shí)數(shù)a的值為()A.1或2B.0或1C.0或2D.0或1或2(2)(2020全國(guó)1,理2)設(shè)集合A=x|x2-40,B=x|2x+a0,且AB=x|-2x1,則a=()A.-4B.-2C.2D.4答案 (1)D(2)B解析 (1)因?yàn)楫?dāng)a=0時(shí),A=x|0=x2=0,滿足AB;當(dāng)a0時(shí),A=0,a,若A

12、B,所以a=1或2.綜上a的值為0或1或2.故選D.思考如何求集合表達(dá)式中參數(shù)的值或取值范圍?解題心得一般來(lái)講,若集合中的元素是離散的,則用Venn圖表示,根據(jù)Venn圖得到關(guān)于參數(shù)的一個(gè)或多個(gè)方程,求出參數(shù)后要驗(yàn)證是否與集合元素的互異性矛盾;若集合中的元素是連續(xù)的,則用數(shù)軸表示,根據(jù)數(shù)軸得到關(guān)于參數(shù)的不等式,解之得到參數(shù)的取值范圍,此時(shí)要注意端點(diǎn)的取舍.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(1)已知集合A=x|x2-3x+20,B=x|x+1a,若AB=R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.2,+)B.(-,2C.1,+)D.(-,1(2)已知集合A=x|x7,B=x|x2m-1,若BA,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.答案 (1)

13、B(2)(-,-1解析 (1)由題得集合A=x|x2-3x+20=x|x1,或x2,B=x|x+1a=x|xa-1,又AB=R,a-11,解得a2,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-,2.(2)由題意知2m-1-3,m-1,所以m的取值范圍是(-,-1.變式發(fā)散1將本題(2)中的B改為B=x|m+1x2m-1,其余條件不變,該如何求解?變式發(fā)散2將本題(2)中的A改為A=x|-3x7,B改為B=x|m+1x2m-1,其余條件不變,又該如何求解?素養(yǎng)提升微專(zhuān)題1運(yùn)用Venn圖解題的三個(gè)階梯 由于圖形簡(jiǎn)明、直觀,因此很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解往往借助于圖形來(lái)分析,下面例析運(yùn)用集合中Venn圖的三個(gè)階梯:識(shí)圖用圖構(gòu)圖.

14、階梯一識(shí)圖:用集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算表示給出的Venn圖【例1】 (2020山東泰安一模,1)已知全集U=R,集合M=x|-3x1,N=x|x|1,則陰影部分表示的集合是()A.-1,1B.(-3,1C.(-,-3)(-1,+)D.(-3,-1)答案 D解析 由圖可知,陰影部分表示的集合為M(UN).由U=R,N=x|x|1,可得UN=x|x1,又M=x|-3x1,所以M(UN)=x|-3x-1.故選D.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1如圖,I是全集,M,P,S是I的3個(gè)子集,則陰影部分所表示的集合是()A.(MP)SB.(MP)SC.(MP)(IS)答案 C解析陰影部分是集合M與P的公共部分,且在集合S的外部,即(

15、MP)(IS),故選C.階梯二用圖:借助Venn圖求集合或集合的交、并、補(bǔ)【例2】 設(shè)全集U=x|0 x10,x N*,若AB=3,A(UB)=1,5,7,(UA)(UB)=9,則A=,B=.答案 1,3,5,72,3,4,6,8解析 由題知U=1,2,3,9,根據(jù)題意,畫(huà)出Venn圖如右圖所示,由Venn圖易得A=1,3,5,7,B=2,3,4,6,8.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2已知M,N為集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N(IM)=,則MN=.答案 M解析 因?yàn)镸,N為集合I的非空真子集,且M,N不相等,N(IM)=,所以由Venn圖可知NM,所以MN=M.階梯三構(gòu)圖:構(gòu)造Venn圖解某些應(yīng)用題【例3】 (2020新高考全國(guó)1,5)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉,其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳,60%的學(xué)生喜歡足球,82%的學(xué)生喜歡游泳,則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是()A.62%B.56%C.46%D.42%答案 C解析 設(shè)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生比例數(shù)為x.由Venn圖可知,82%-x+60%=96%,解得x=46%,故選C.答案 3613 所以對(duì)A,B都贊成的學(xué)生人數(shù)為36人,對(duì)A,B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為13人.要點(diǎn)歸