三角形內(nèi)角和 (11)

1、從三角形內(nèi)角和談起奧數(shù)輔導(dǎo)系列三角形的內(nèi)角和等于180(也稱一個平角)是三角形的一個基本性質(zhì)從它出發(fā)可引出下面兩個事實：(1)三角形的外角等于此三角形中與它不相鄰的兩個內(nèi)角和 (2)n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)180例1 如圖137所示平面上六個點(diǎn)A，B， C，D，E，F(xiàn)構(gòu)成一個封閉折線圖形求：A+B+C+D+E+F解: 在PAB，RCD，QEF中，A+B+APB=180， C+D+CRD=180， E+F+EQF=180 又在PQR中QPR+PRQ+PQR=180又 APB=QPR，CRD=PRQ，EQF=PQR(對頂角相等)+-得A+B+C+D+E+F=360例2 求如圖2所示,圖形中A+

2、B+C+D+E的大小 DCBEAO圖2解法1 連接BE在COD中， C+D+COD=180 在ABE中， A+ABE+AEB=180 由+得 (A+C+D)+COD+ABE+AEB=360 又 ABE=ABO(即為B)+OBE， AEB=AEO(即為E)+OEB故式可化 (A+B+C+D+E) +(COD+OBE+OEB)=360由于 COD=BOE(對頂角相等)，在BOE中 ,COD+OBE+OEB =BOE+OBE+OEB =180由得 A+B+C+D+E=180解法2 如果我們注意到三角形外角的性質(zhì)，結(jié)合圖形(圖139)會發(fā)現(xiàn):在OCD中有1=C+D，在APE中2=A+E，在BOP中1+

3、2+B=180，從而A+B+C+D+E=180例2 求如圖1-39所示,圖形中A+B+C+D+E的大小 例3 如圖140所示在ABC中，B的平分線與C的外角平分線交于D，且D=30求A的度數(shù)解 :由已知，D=30在BCD中，CBD+BCD=180-30=150因為BD是ABC的平分線，所以CBD=12ABC, 又因為CD是ACE的平分線，所以ACD=12ACE,從而BCD=ACB+12ACE =ACB+1 2(A+ABC) 由，得 12ABC+ACB+12(A+ABC)=150即12A+ABC+ACB =12A+ABC+ACB=150所以(A+ABC+ACB)-12A=150,12A=180-

4、150所以 A=60例4 如圖1-41所示A=10，ABC=90，ACB=DCE，ADC=EDF，CED=FEG求F的度數(shù) 解 :在ABC中，A=10，ABC=90， 所以ACB80因為 DCE=ACB=80， 在ACD中，DCE是它的一個外角，所以DCE=A+ADC， 80=10+ADC，所以 ADC=70，EDF=ADC=70在ADE中，EDF是它的一個外角，所以 EDF=A+AED， 70=10+AED，所以 AED=60，F(xiàn)EG=AED=60在AEF中，F(xiàn)EG是它的一個外角，所以 FEG=A+F，所以 F=FEG-A=60-10=50例5 如圖142所示ABC的邊BA延長線與外角ACE

5、的平分線交D求證：BACB證 明:BAC是ACD的一個外角，因為BAC=1+D，所以2BAC=21+2D=ACE+2DACE (因為CD是ACE的平分線)又ACE是ABC的一個外角，所以 ACE=B+BAC 由， 2BACB+BAC，所以 BACB例6. (第7屆希望杯)如圖,已知DO平分ADC,BO平分ABC,且A=27, O=33,求C的度數(shù).COADBQHG解:由已知, ABO=CBO, ADO=CDO.在ABG和ODG中,有A+ABG=O+ODG, 在OBH和CDH中,有C+CDH=O+OBH , + 得A+C=2O.C=233-27=39例7.（山東競賽）凸n邊形除去一個內(nèi)角外，其余

6、內(nèi)角和為2570，求n的值。解：設(shè)該內(nèi)角為x，則（n-2）180=x+2570，得n=（x+2570+360）180， X=130 此時n=17。1如圖146所示求:A+B+C+D+E的大小練一練2如圖 147所示求 A+B+C+D+E的大小3如圖148所示求A+B+C+D+E+F的大小4如圖所示ABC中，AE是A的平分線，CDAE于D求證：ACDBABCDE5.(2002年河南競賽)如圖,在ABC中, ACB=90D,E都在線段AB中,AC=AD,BC=BE,則DCE的大小是( )A.60 B.45 C.30D.隨A的大小而變化ACBEDB解:因為AC=AD, 所以ACD=ADC又BC=BE

7、, 故BCE=BEC因為BEC+ADC+DCE=180從而BCE+ACD+DCE=180即ACB+2DCE=180 , 因為ACB=90所以DCE=456.在ABC中,若AB=2BC, B=2A,則 ABC是( )A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不能確定BCAD解:如圖,ABBC,得ACBA.作ACD=A,CD與AB交于點(diǎn)D,則AD=CD, DCA=A,BDC=A+DCA=2A又B=2A, B=BDC CB=CD又AB=2BC, CD=BC=12AB.從而ABC為直角三角形.B7. （“信利杯”競賽題）A+B+C+D+E+F+G的度數(shù)等于（ ）A.360B.450C.540D

8、.720ABCDEFMNC提示:連結(jié)CD,BE.G8.（希望杯）如圖，1+2+3+4+5+6=_.1234563609.(17屆江蘇競賽)在一個多邊形中，除了兩個內(nèi)角外，其內(nèi)角之和為2002，則這個多邊形的邊數(shù)為（ ） A.12 B.12或13 C.14 D.14或15解:設(shè)這個多邊形為n邊形，由題意得 2002（n-2）1802002+360又 n是自然數(shù)，n=14或15D10.（安徽競賽）設(shè)有一個凸多邊形，除去一個內(nèi)角外，其余n-1個內(nèi)角的和為1993，則n的值（ ） A.12 B.13 C. 14 D.15C11.(2004年河南競賽)如圖,BP平分ABC交CD于F,DP平分ADC交AB于E,AB與CG相交于G,如果A=42, C=38,那么P的度數(shù)為_.ACBPDGEF解:由對頂三角形的性質(zhì)得 1+A=P+2 21+A=22+C 2-,得A=2P-C P=(A+C) 2=40124012.(第7屆希望杯）一個凸多邊形有且僅有4個內(nèi)角是鈍角,這樣的多邊形的邊數(shù)最多是_.解:設(shè)這個凸多邊形的邊數(shù)為n,則其中4個內(nèi)角為鈍角,(n-4)個內(nèi)角為直角或銳角.(n-2) 1804180+(n