5-1數(shù)學物理方程演示教學

1、第五章 貝塞爾函數(shù)本章討論瞬時狀態(tài)圓盤上的熱傳導問題，通過別離變量，導出貝塞爾方程。然后討論 Bessel 方程的解及解的性質，最后給出在有關問題中的應用.5.1 貝塞爾方程的引出設有半徑為 R 的薄圓盤，其側面絕緣，邊界上溫度始終保持為零，且初始溫度，求圓盤的溫度分布規(guī)律。這個問題可以歸結為求解如下定解問題：令 ，代入方程得 進而得齊次偏微分方程化為兩個微分方程:它的解為：(2) 亥姆霍茲方程(Helmholtz) 由邊界條件，可知：在極坐標系下，問題可以寫成再次別離變量,令代入方程得：特征值問題：特征值：特征函數(shù)：n 階貝塞爾方程. 將 代入另一方程得由條件 以及溫度是有限的, 原問題就轉

2、化為求貝塞爾方程在條件 下的特征值和特征函數(shù).自然邊界條件第一類邊界條件做代換 ,并記方程轉化為這是 n 階貝塞爾方程的最常見的形式.用 x 表示自變量, y=y(x) 表示未知函數(shù),那么 n 階貝塞爾方程為:其中n 為任意實數(shù)或者復數(shù), 僅討論 的情形.5.2 貝塞爾方程的求解Gamma函數(shù)代入方程確定系數(shù) 和 c ： 比較系數(shù)得暫取由于 , 可以得到 , 有代入到 2.代入到 3.，得暫取由于 , 可以得到 , 有代入到 2.代入到 3.，得, 由得選取, 由得選取這樣，得到方程的一個特解：稱 為 n 階第一類貝塞爾函數(shù). 取 類似推導可得方程的一個特解：方程的兩個特解：當 n 為整數(shù)時

3、與 是線性相關的。當 n 為整數(shù)時 與 是線性相關的。在級數(shù)解法中，總是自然地約定級數(shù)解的首項系數(shù)不為0，但是現(xiàn)在在導出 時，我們選取了所以方程的通解可以表示為：當 n 不為整數(shù)時, 和 線性無關，二階齊次線性方程n 不為整數(shù)如果選取方程的通解也可表示為得到另一個和 線性無關的特解：稱 為 n 階第二類貝塞爾函數(shù)或者牛曼函數(shù), n 不為整數(shù) 5.3 n為整數(shù)時貝塞爾方程的通解此時定義第二類貝塞爾函數(shù)為： 不為整數(shù).可以證明 和 線性無關，通解可寫為：當 n 為整數(shù)時 與 是線性相關的。n 為整數(shù)5.4 貝塞爾函數(shù)的遞推公式首先考慮零階和一階貝塞爾函數(shù)之間關系.分別令 n=0 及 n=1 得:建立不同階的貝塞爾函數(shù)之間遞推公式.n =0,1,2微分 的第 (k + 2) 項是 的 項系數(shù)的負值, 所以又有即一般的, 有上面兩式左邊的導數(shù)求出來, 并經過化簡,那么得兩式相加減分別消去 和 , 可以得到若知道 的值,就可以求出進而得到任意正整數(shù)階貝塞爾函數(shù)的值. 貝塞爾函數(shù)的遞推公式(1)-(6) 式為對于第二類貝塞爾函數(shù), 也有相應的遞推公式. 這里微分算子 表示算子 連續(xù)作用 m 次的縮寫. n 為半奇數(shù), 可以用初等函數(shù)來表示: 例例 求不定積分解 由 ，可得例 利用遞推公式證明P