Transformation(齊次坐標(biāo)變換)

1、PartHIHomogeneousTransformation（齊次坐標(biāo)變換）1-平移圖3.1平移變換如圖所示存在基坐標(biāo)系0和動坐標(biāo)系I,二者的姿態(tài)相同，原點(diǎn)不重合?？臻g-lr中和坐標(biāo)系I固聯(lián)的一質(zhì)點(diǎn)P在坐標(biāo)系o中的坐標(biāo)表示為P=pa。：，在坐標(biāo)系I中的坐標(biāo)表示為匕=p“I、plz,坐標(biāo)系I的原點(diǎn)Oi在坐標(biāo)系o中坐標(biāo)為比=dQXd0yd0:。根據(jù)矢量運(yùn)算規(guī)則有4=片+；(3.1.1)如果考慮到坐標(biāo)系I相對丁坐標(biāo)系0的姿態(tài)變化陣尺，則可以認(rèn)為二者之間的相對關(guān)系是原點(diǎn)間的平移運(yùn)動和繞原點(diǎn)的純轉(zhuǎn)動的合成，有：P。=+D；(3.1.2)同理有P嚴(yán)R；P+D：(3.1.3)2-平移+旋轉(zhuǎn)假設(shè)存在坐標(biāo)系0

2、,I和II,仿照(3.1.2)式可以寫出由II到I的坐標(biāo)變化關(guān)系P嚴(yán)R；P,+D：(3.2.1)消去中間變量后，可以得到p點(diǎn)在坐標(biāo)系0中的表示，P=R：R；P2+R；D；+D；(3.2.2)氏接考慮坐標(biāo)系0和I之間的關(guān)系可以寫成Po=R：P,+D：(323)對比以上二式得到：R：=&R；(3.2.4)D：=R：D；+D：(3.2.5)以上兩式說明：姿態(tài)變換矩陣在多級坐標(biāo)變換中可以進(jìn)行虛接的相乘而得到平移變換在多級坐標(biāo)變換中必須注意所用坐標(biāo)的相對坐標(biāo)系及坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換。3.3齊次變換01_(331)將(3.2.4)和(3.2.5)寫成矩陣的形式為:飛厲=尺用R；D：+D；_01口01由此可以定

3、義坐標(biāo)的齊次變換矩陣為:(332)由丁R是正交陣,R-10可以容易的獲得:-RlD1(333)(3.3.4)(335)相應(yīng)的進(jìn)行坐標(biāo)變換的坐標(biāo)也稱為齊次坐標(biāo):pxp=p、P:1由此式(3.2.2)和(3.2.3)可以寫成：h=日加稱作由坐標(biāo)系I到0的齊次坐標(biāo)變換。(345)H=久Rot,(3.4.4)3.4基本齊次變換(342)1-基本平移d.cT1(343)100a_100o-_100o-0100010b0100；Transvh=；Trans.e=001000100010000100010001TmnsW(341)2.基本旋轉(zhuǎn)_1000Rot=0cosa-sma0 x,a0S1116Zcos

4、a00001COS00S1H000100Rot.=-Sill00COS000001cos。一sin&00o0sm。cos。Rot.=o001000013.般形式其中n=nxnyn:r表示動作標(biāo)系I的x軸在固定坐標(biāo)系0中的坐標(biāo);5=5v5v5.z表示動作標(biāo)系I的y軸在固定坐標(biāo)系0中的坐標(biāo)；a=axaya:r表示動作標(biāo)系I的z軸在固定坐標(biāo)系0中的坐標(biāo)。與坐標(biāo)變換陣R一樣，齊次坐標(biāo)變換陣H可以由多個基本齊次變換矩陣按次序乘積求得?！纠孔鴺?biāo)系I由坐標(biāo)系0經(jīng)過繞X軸轉(zhuǎn)6Z角，然后沿X軸平移b,再沿Z軸平移d,最后繞z軸轉(zhuǎn)動&角后得到，求由坐標(biāo)系I到0的齊次坐標(biāo)變換矩陣H。解：齊次坐標(biāo)陣H可以表示成一下

5、4個子齊次坐標(biāo)變換矩陣依次積的形式，即:sinasinsinacos將基本變換矩陣帶入后得:j000100/1000cos8-sniO0o0cosa-sma001000100Slllcos*000SllltZcosa00010001d00100001000100010001JJJ1-Jcos8-sinQ0bH=sindcosaSillcosacos8-S1116Zcosdcosa補(bǔ)充如（332）式所描述的齊次坐標(biāo)變換是在Robotics中應(yīng)用的一種特例,其更一般的結(jié)構(gòu)是%】1X1RotationPerspectiveTranslationScalefactor(3.4.6)(345)H=久Rot,(3.4.4)其中ScaleFactor和Perspective將在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和視覺中起到重耍作用，在表示剛體運(yùn)動學(xué)的坐標(biāo)變換中將分別取1和0的最簡單情況。5.小結(jié)Robotics中的齊次坐