離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)的頻域全面分析

1、離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)的頻域全面分析2分析(2.1.2)式，由于式中n取整數(shù)，因此一定滿足下式: M取整數(shù)(1)序列的傅里葉變換是W的周期函數(shù)，周期為 。(2)定義(2.1.2)式是 的傅里葉級(jí)數(shù)形式 。 的傅里葉反變換為 (2.1.3) (2.1.2)式和(2.1.3)式則組成了序列的傅里葉變換對(duì)。3例2.1.1 設(shè) ，求x(n)的頻率響應(yīng) 。解： (2.1.4) 將 寫成幅度與相角關(guān)系： =4當(dāng)N=4時(shí)的幅度和相位隨w頻率變化曲線如圖所示。圖2.1.1 的幅頻特性與相位特性5例2.1.2 一個(gè)理想低通濾波器的頻率響應(yīng)是 為截止頻率。如圖2.1.2所示。試求該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。圖2.1.2 理

2、想低通濾波器的頻率響應(yīng)6解： 由式(2.1.3)可得該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為：圖表示了截止頻率 時(shí)的單位沖激響應(yīng)。圖2.1.3 時(shí)，理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng) 因?yàn)槔硐氲屯V波器的單位沖激響應(yīng)，在時(shí)不為零，所以它是非因果的，并且可以證明其是無界的，因此理想低通濾波器不是因果穩(wěn)定系統(tǒng)。72.1.2 序列傅里葉變換的性質(zhì) 線性設(shè) ，則 (2.1.5) 式中a,b為常數(shù)。2. 時(shí)移與頻移設(shè) 則 (2.1.6) (2.1.7)83. 帕塞瓦（Parseval）定理設(shè) 則 (2.1.8) 該定理說明信號(hào)在時(shí)域的能量與在頻域表現(xiàn)的能量相等。4. 傅里葉變換的對(duì)稱性先介紹共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列設(shè)序列

3、滿足下式： （） 則稱 為共軛對(duì)稱序列。9類似地，可定義滿足下式的序列稱為共軛反對(duì)稱序列： （） 一般序列可用共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列之和表示，即（） 式中， 和 可以分別用原序列求出，將（）式中的n用-n代替，再取共軛得到（） 利用（）和（）兩式，得到（） （） 10對(duì)于頻域函數(shù) ，也有和上面類似的概念和結(jié)論：（） 式中， 和 分別稱為 的共軛對(duì)稱部分和共軛反對(duì)稱部分，它們滿足：（） （） 11下面從兩個(gè)方面來討論FT的對(duì)稱性:將序列x(n)分成實(shí)部和虛部，即 式中 與 分別是序列的實(shí)部與虛部。將x(n)進(jìn)行傅里葉變換得到式中 12 結(jié)論：序列分成實(shí)部和虛部?jī)刹糠?，其?shí)部對(duì)應(yīng)的傅里葉變換

4、具有共軛對(duì)稱性，其虛部(包括j)對(duì)應(yīng)的傅里葉變換具有共軛反對(duì)稱性。 (2) 將序列x(n)表示為共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量之和，即式中 ,因?yàn)?13因此，如果 ，相應(yīng)的傅里葉變換為（） 可見，序列的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量的傅里葉變換分別等于序列傅里葉變換的實(shí)部和j乘虛部。 145. 序列卷積的傅里葉變換設(shè) 序列x(n),h(n),y(n)的傅里葉變換分別為 、 、 。則 (2.1.19) 證明：略15表2.1.1 序列傅里葉變換的性質(zhì)16172.2 Z變換2.2.1 變換的定義 序列x(n)的z變換的定義為(2.2.1) 式中z是一個(gè)復(fù)變量，它所在的復(fù)平面稱為z平面。亦可將 x(n)的

5、z變換表示為2.2.2 變換的收斂域(2.2.1)式變換存在的條件是級(jí)數(shù)收斂，要求級(jí)數(shù)絕對(duì)可和，即(2.2.2)18上式可寫成 在x(n)有界時(shí)，為滿足級(jí)數(shù)絕對(duì)可和，復(fù)數(shù)z的絕對(duì)值|z|必須限制在一定范圍之內(nèi)，這個(gè)范圍可表示成 (2.2.3) 圖2.2.1 環(huán)形收斂域192.2.3 幾種序列變換的收斂域有限長(zhǎng)序列 序列僅在n1n2區(qū)間內(nèi)具有非零值，它的z變換為（1）當(dāng) ， 時(shí)，僅當(dāng) 時(shí)才趨于 ，所以X(Z)的收斂域是除去原點(diǎn)以外的整個(gè)z平面，即 ；（2）當(dāng) ， 時(shí)，僅當(dāng) 時(shí)才趨于 ，所以收斂域是除去 以外的整個(gè)z平面，即 ；（3）當(dāng) ， 時(shí)， X(Z)的收斂域是前兩種情況的公共部分，即 。20

6、例2.2.1 求 的z變換 。解： X(Z)有一個(gè)極點(diǎn) ，也有 的一個(gè)零點(diǎn)，因此實(shí)際將 的極點(diǎn)對(duì)消。收斂域?yàn)?。212、右邊序列 序列x(n)的定義區(qū)間是 ，則 根據(jù)級(jí)數(shù)收斂性的根值判斷法可知，為使此級(jí)數(shù)收斂，必須滿足關(guān)系式即 所以 當(dāng) ，X(z)的收斂域?yàn)?。 當(dāng) ，X(z)的收斂域?yàn)?。 22例2.2.2 求 的z變換X(z) ， 。解： 收斂域 即 233. 左邊序列 序列x(n)的定義區(qū)間為 ，則當(dāng)滿足 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，X(z)存在。此時(shí)的收斂域?yàn)槿?，收斂域?yàn)?；若 ，收斂域?yàn)?。24例2.2.3 求 的z變換X(z)。解： 若 ，即 時(shí)級(jí)數(shù)收斂254. 雙邊序列 序列x(n)的定義區(qū)

7、間為 ，所以z變換為 最后等號(hào)右邊第一部分為左邊序列的z變換，第二部分為右邊序列的z變換，因此X(z)的收斂域是兩個(gè)級(jí)數(shù)收斂域的公共部分，即如果公共部分不存在，則X(z)也不存在。26例2.2.4 求序列 的z變換。其中a0，b0，ab，則無公共收斂域，因此X(z)不存在。 28現(xiàn)將一些常用序列的變換及其收斂域列于表2.2.1中。 29302.3 z反變換 已知X(z)和收斂域，求原序列x(n)的過程叫做z反變換，記作 (2.3.1) 2.3.1 冪級(jí)數(shù)展開法(長(zhǎng)除法)312.3.2 部分分式法 設(shè)序列x(n)的z變換用X(Z)表示 (2.3.3) 式中P(z)是M階多項(xiàng)式，Q(z) 是N階多

8、項(xiàng)式，對(duì)于因果序列，收斂域包含 處，因此必須滿足 。 如果X(z)只含一階極點(diǎn)，可將X(z)展開為 (2.3.4)32最好寫成 式中 是 的極點(diǎn)， 是 在極點(diǎn) 處的留數(shù)。(2.3.5) 如果X(z)中含有高階極點(diǎn)，設(shè)X(z)除含有l(wèi)個(gè)一階極點(diǎn) ，還有一個(gè)s階的極點(diǎn) ，X(z)就展成以下形式： (2.3.6)33例2.3.2 已知 ， ，求X(z)的原序列x(n)。解：式中 34因?yàn)閄(z)的收斂域?yàn)?，因此第一部取收斂域 ，第二部分收斂域取 ,分別對(duì)應(yīng)的序列為 ，所以352.3.3 圍線積分法 留數(shù)輔助定理 362.4 變換的基本性質(zhì)與定理2.4.1 線性 設(shè)序列x(n)和y(n)的z變換分別

9、為X(z)和Y(z)，即則 (2.4.1) 式中a,b為任意常數(shù)。372.4.2 序列的移位 如果 ,則 ,(2.4.2) 2.4.3 乘以指數(shù)序列如果 ,則38（） 可見序列x(n)乘以指數(shù)序列等效于z平面上的尺度展縮。2.4.4 序列乘以n如果 ,則 (2.4.4)392.4.5 初值定理如果x(n)為一因果序列，它的初始值可由下式求得 (2.4.5)初值定理表明，可直接由X(z)來求x(n)的初值x(0)，而不必進(jìn)行z反變換。2.4.6 終值定理 如果x(n)是因果序列， X(z)除在z=1處有一階極點(diǎn)外，其它極點(diǎn)均在單位圓以內(nèi)，則(2.4.6)402.4.7 共軛序列復(fù)序列x(n)的共

10、軛序列為如果 ,則 ,(2.4.7) 2.4.8 反轉(zhuǎn)序列如果 ,則 ,(2.4.8)412.4.9 卷積定理如果 ,則 (2.4.9) 422.4.10 復(fù)卷積定理如果 ,則 (2.4.10)W(z)的收斂域上式中v平面上，被積函數(shù)的收斂域?yàn)?32.4.11 帕塞瓦（Parseval）定理如果 ,且 則 (2.4.11) 44z變換的主要性質(zhì)匯集于表2.4.1中 45462.5 序列的z變換與連續(xù)信號(hào)的拉普拉斯變換、傅里葉變換的關(guān)系z(mì)變換與理想采樣信號(hào)的拉普拉斯變換的關(guān)系 設(shè)連續(xù)信號(hào)為 ，理想采樣后的采樣信號(hào)為 ，它們的拉普拉斯變換分別為則 而 47代入上式可得(2.5.1) 采樣序列 的z

11、變換為48 從上面看出，當(dāng) 時(shí)，采樣序列的z變換就等于其理想采樣信號(hào)的拉普拉斯變換。 (2.5.2) (2.5.3),復(fù)變量s平面到復(fù)變量z平面的映射關(guān)系為 492.5.2 x(n)的z變換X(z)和 的傅里葉變換 的關(guān)系將上面兩個(gè)關(guān)系代入到（）式可得 (2.5.6) 可以得到采樣序列在單位圓上的z變換，就等于其理想采樣信號(hào)的傅里葉變換。 502.6 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)2.6.1 系統(tǒng)函數(shù)的定義系統(tǒng)函數(shù) (2.6.1)它是單位沖激響應(yīng)的z變換， 即 (2.6.2) 在單位圓上( )的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 。512.6.2 系統(tǒng)函數(shù)的收斂域（1）一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是

12、其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓；（2） 一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)因果的充要條件是其系統(tǒng)函數(shù)H(z)在 處也收斂；（3） 一個(gè)穩(wěn)定的因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域應(yīng)包含 點(diǎn)和單位圓，則其收斂域表示為 ，也就是說系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。 522.6.3 系統(tǒng)函數(shù)與差分方程的關(guān)系一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)可以用常系數(shù)差分方程來描述，對(duì)上式取z變換可得到因而 (2.6.3)53將上式分解成： (2.6.4) 式中 是H(z)的零點(diǎn)， 是H(z)的極點(diǎn)，它們都由差分方程的系數(shù) 和 決定。因此，除了比例常數(shù)k外，系統(tǒng)函數(shù)完全由它的全部零點(diǎn)，極點(diǎn)來確定。 542.6.4 系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 對(duì)h(n)進(jìn)行傅里葉變換得到 (2.6.5) 稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，它表征了系統(tǒng)的頻率特性。552.7 全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)2.7.1 全通系統(tǒng) 若一個(gè)線性時(shí)不變穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的形式為（） 其頻率響應(yīng)可表示為（） 56在（2.7.