ch67多元函數(shù)微分學幾何應用

1、方向導數(shù)的概念 復習 二元函數(shù) 在點 可微，則 二元函數(shù) 在點處的梯度為方向導數(shù)存在偏導數(shù)存在 可微 連續(xù)方向：f ( x , y ) 變化率最大的方向模 : f ( x , y ) 的最大變化率之值 二元函數(shù) 在點處的梯度為方向導數(shù)存在偏導數(shù)存在 可微 連續(xù)方向：f ( x , y ) 變化率最大的方向模 : f ( x , y ) 的最大變化率之值第七節(jié) 多元函數(shù)微分學的幾何應用一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線三、全微分的幾何意義五、梯度在場論中的意義 第六章 四、曲面z=f(x,y)在點M處的法向量 的方向余弦一、空間曲線的切線與法平面空間曲線切線：割線的極限位置.設空間

2、曲線 的方程為：(1)式中的三個函數(shù)均可導.法平面：過切點且垂直于過該點切線的平面.01. 曲線方程為參數(shù)方程的情況 考察割線趨近于極限位置切線的過程 故上式分母同除以 得 割線 的方程為曲線 在M0 處的切線方程此處要求如個別為0, 則理解為分子為 0 .不全為0, 切線的方向向量:稱為曲線的切向量 .因此得法平面方程 也是法平面的法向量,切線方程法平面方程參數(shù)式情況:空間光滑曲線切向量若空間曲線方程為法平面方程為特殊地：參數(shù)式情況:空間光滑曲線切向量2. 曲線為一般式的情況光滑曲線當, 且有時, 可表示為 (即 書P104 情形2)曲線 的切向量為 在點處在點處的切向量為 曲線 空間曲線方

3、程為切線方程為法平面方程為(一般式的情況)則在點有結論：解1(直接利用公式 )切線方程為得法平面方程為由切向量將所給方程的兩邊對x求導并移項,得 解2 采用推導法所求切線方程為法平面方程為二、曲面的切平面與法線 若 有光滑曲面通過其上定點對應點 M,切線方程為不全為0 . 則 在且點 M 的切向量為任意引一條光滑曲線這里，此平面稱為 在該點的切平面. 上過點 M 的任何曲線在該點的切線都在同一平面上. 1. 切平面：法線方程（通過M點并垂直于切平面的直線）切平面方程此時, 為函數(shù)F(x,y,z)在點 M處的梯度曲面 在點 M 的法向量2.曲面在M處的 (一個)法向量:M處切平面的法向量解令切平

4、面方程法線方程曲面時, 則在點故當函數(shù) 法線方程令3.特別, 當光滑曲面 的方程為顯式 在點有連續(xù)偏導數(shù)時, 切平面方程解切平面方程為法線方程為 (即 書P100 例2)解設 為曲面上的切點, 切平面方程為 依題意，切平面方程平行于已知平面，得 因為 是曲面上的切點， 所求切點為滿足方程 因為 是曲面上的切點， 所求切點為滿足方程 切平面方程(1) 切平面方程(2) 在點處的切向量為 曲線 補充*三、全微分的幾何意義 切平面上點的豎坐標的增量曲面 在 處的切平面方程為：(書 P74-75 )四、曲面z=f(x,y)在點M處的法向量的方向余弦曲面在M處的(一個)法向量：M處切平面的法向量其中？1

5、. n方向向上(與Z軸正向夾角為銳角)，設其方向角為 ,則曲面或2. n方向向下(與Z軸正向夾角為鈍角)，設其方向角為 ,則其中？曲面或指向外側的法向量,指向內側的法向量,還如：書習題P107 6柱面內外五、梯度在場論中的意義： 等量面與等高線1.三元函數(shù) 確定空間的數(shù)量場表示等量面.函數(shù)在一點的梯度垂直于該點等量面(或等量線) ,稱為函數(shù) f 的等量線(等高線) . 則L*上點P 處的法向量為 同樣, 對應函數(shù) 有等值面(等量面) 當各偏導數(shù)不同時為零時, 其上 點P處的法向量為指向函數(shù)增大的方向.2. 梯度的幾何意義等高線的畫法播放例如, 注： 如果每兩條等高線的高差均相等，則xoy面上等

6、高線越密的地方對應的那部分曲面就越“陡” 二、曲面的切平面與法線（求法向量的方向余弦時注意符號）提示一、空間曲線的切線與法平面（當空間曲線方程為一般式時，求切向量注意采用推導法）1. 空間曲線的切線與法平面 切線方程法平面方程1) 參數(shù)式情況.空間光滑曲線切向量 內容小結2.空間曲線方程為切線方程為法平面方程為(一般式的情況)則在點有空間光滑曲面曲面 在點法線方程1) 隱式情況 .的法向量切平面方程3. 曲面的切平面與法線空間光滑曲面切平面方程法線方程2) 顯式情況.法線的方向余弦法向量思考題思考題解答設切點依題意知 n/切點滿足曲面和平面方程確定正數(shù) 使曲面在點解: 二曲面在 M 點的法向量分別為二曲面在點 M 相切, 故又點