4升5~8第八講：容斥原理

1、第八講：容斥原理之重疊問題_、導(dǎo)入?文氏圖文氏圖，也叫“維恩圖”，是由英國著名數(shù)學家Venn發(fā)明的.維恩（公元1834年8月4日一公元1923年4月4日）十九世紀英國著名的數(shù)學家和哲 學家，生于英國赫爾.他1883年獲得理學博士學位，同年被選為英國皇家學會會員.J 維恩最主要的成就是系統(tǒng)解釋并發(fā)展了幾何表示的方法，也就是發(fā)明了文氏圖.他作出一系列 簡單閉曲線（圓或更復(fù)雜的圖形），將平面分為許多間隔.利用這種圖表，維恩闡明了演繹推 理的基本原理.為了進一步明確起見，他還引入了一些數(shù)學難題作為實例.雖然在維恩之前，燧,河 萊布尼茨（Leibniz）已系統(tǒng)地運用過這類邏輯圖，但今天這種邏輯圖仍稱作“

2、維恩圖”另外， 維恩在概率論和邏輯學方面也有很大貢獻，他的著作一一機會邏輯和符號邏輯，在 19世紀末20世紀初曾享有很高的聲譽.除了數(shù)學以外，維恩還有一項較為特別的技能一一制作機器.他曾制作過一部板球發(fā)球機， 當澳洲板球隊在1909年到訪劍橋大學時，維恩的機器依然運作正常，并使他們其中一位成 員打空四次.什么是容斥原理？這一講我們主要學習和“包含”與“排除”有關(guān)的問題，這樣的問題在生活中就有不少，比如吃瓜子.我們說吃掉了一斤瓜子，指的是帶殼的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因為這 一斤中還“包含著瓜子殼.如果要計算到底吃了多少，最簡單的方法就是稱一稱瓜子殼，用 原來的一斤“排除”掉瓜子殼的重量.

3、瓜子的例子相對簡單，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另 一部分就是瓜子殼，兩者各不相關(guān).但本講要學習的包含與排除問題要復(fù)雜一些，各部分之間 會有重疊.比如一個辦公室中每個人都至少愛喝茶或咖啡中的一種，已知有7個人愛喝茶，10個人愛喝咖啡，那能不能就說辦公室里有17個人呢？顯然不能，因為可能有一些人既愛喝茶也愛喝咖 啡，如果直接將喝茶的人數(shù)和喝咖啡的人數(shù)相加，會把既愛喝茶又愛喝咖啡的人計算2次， 計算人數(shù)的時候要把這一部分減去才行.比如，如果有3個人既愛喝茶又愛喝咖啡，那總的人數(shù)就應(yīng)該是7+10?3=14人.這就是我們今天要來研究的問題一一有重疊的計數(shù)問題，即包含與排除問題.研究這種問題 通常需要畫出

4、示意圖，這樣的示意圖又叫做文氏圖，下面我們就用文氏圖推導(dǎo)兩個對象的容斥 原理公式.兩個量之間的重疊例1、某班有34名同學參加了學校的運動會，其中有17名參加了跳繩，有20名參加了拔 河，問：及參加了跳繩又參加了拔河的又多少人？ TOC o 1-5 h z 如右圖所示，如果要計算三個部分的總數(shù)，直接計算A+B,就會算多了，而多算的正好是共同部分，只要把多算的減掉就可以()了.上述分析總結(jié)成公式就是：k這個公式就是兩個對象的容斥原理.17+20-34=37-34=3 (人)答：即參加跳繩又參加拔河的同學有3人。練一練1、五年級有122名學生參加語文、數(shù)學考試，每人至少有一門功課的成績是優(yōu)秀，其中語

5、文成績優(yōu)秀的有65人，數(shù)學優(yōu)秀的有87人.語文、數(shù)學都優(yōu)秀的有多少人？2、在一次數(shù)學測試中有兩道題全班同學都至少答對一題，答對第一題的有33人，答對第二題的又38人，兩題都答對的又15人，問全班又多少人？3、學校文藝組每人至少會演奏一種樂器。已知會拉手風琴的有24人，會彈電子琴的有17人，其中兩種樂器都會的有8人，這個文藝組一共有多少人？挑戰(zhàn)思維1、為了參加一次競賽，某班46人中，每人至少參加一項。其中有20人參加語文興趣小組，參加語文同時又參加數(shù)學興趣小組的有2人，兩項都沒有報的有10人，那么參加數(shù)學興趣 小組的有多少人？三個量之間的重疊換個思路想一想至少報一項的有多少人?1、某單位元旦期間

6、組織旅游，每人至少說出一個想去的地方。其中想去海南的有42人，想 去桂林的有44人，想去港澳的有36人，既想去海南又想去桂林的有12人，既想去桂林又 想去港澳的有8人，既想去海南又想去港澳的有10人，三個地方都想去的有4人。問這個 單位一共有多少人？（42=44+36） -12-8-10+4=122-（12+8+10）+4=122-30+4二96 （人） 答：這個單位一共有96人。方法總結(jié)：一練）三個量的重疊問題中，如果是全部參與，則總?cè)藬?shù)等于參加三項的人數(shù)和減去同 時參加兩項的人數(shù)和，再加上同時參加的三項人數(shù)。501、學校對個最的重疊問題關(guān)于果是部精與調(diào)查，人數(shù)等于至看參加的有的人數(shù)和，翥歡

7、項都沒有參加的人數(shù)和， 玩壬如果莪參加了，喜歡讀于三個I1的和減去喜歡看重疊又部歡玩球的有三個量重既喜歡玩球又 喜歡讀書的有世失，一既喜歡看電影麥喜歡讀書的有15人.問：三種都喜歡的有多少人?2、部校園藝術(shù)活動中，五（2）班的同學參加了美術(shù)和聲樂比賽。參加美術(shù)比賽的有25人，參加聲樂比賽的射!0人，兩項都參括的有瑯（人是兩項都沒有參參的的有）10人。五（2）班一共有多少人？挑戰(zhàn)競賽3、.學校舉行運動會。四年級共有60名同學，其中參加百米賽跑的有21人，參加投擲的有 26人，即參加百米有參加跳遠的有12人，即參加跳遠有參加投擲的有9人，即參加百米有參加投擲的有14人，三項都參加的有5人，三項都沒

8、有參加的有12人，問參加跳遠的有 多少人？重疊問題中的極值問題1、40人參加某次晚會，其中28人在晚會上唱了歌，25人在晚會上跳舞，那么即唱歌有換個思路想一想要使人數(shù)最多則重疊最多，怎么畫圖才 可以重疊最多呢？要使人數(shù)最少，可以 圖形不重疊嗎？跳舞的人最多有多少人，最少有多少人?最多：25人最少:(28+25)-40=13 人答：最多25人最少13人。方法總結(jié)： 兩個量的極值中，兩項都參加的人最多，就是較少的一項；兩項都參加的人數(shù)最少，就是求 練一練分。1、某校100名學生中，愛好音樂的有56人，愛好美術(shù)的有75人，那么即愛好音樂有愛好美術(shù)的最多有多少人？最少有多少人？2、某班30名同學。在一

9、項測試中，答對答對的最多有多少人？最少有多少人？挑戰(zhàn)思維題的有19人換個思路想題想14人，那么兩題都最多56人還是75人，最少是0人嗎？為什么？3、希望小學音樂興趣小組有37人，其中20人會手風琴，16人會鋼琴，24人會電子琴，即會手風琴又會鋼琴的8人，即會電子琴又會鋼琴的10人，即會手風琴又會電子琴的8人， 那么三種都不會的至少多少人？換個思路想一想方法總結(jié)：根據(jù)：:s=a+b+c-ab-bc-ac+abc+d若要d最大，兩個量的極值中，兩項都參加的人最多，就是較少的一項C必兩怎都參加的人數(shù)最少，就是求家庭作業(yè)分。I三個量的極值中，如果要不參加的最多，就要參加的盡量少。I.一.一二 _ _

10、.1、一個班有48-人，班主任在班會上問：誰做完語文作業(yè)請舉手!”有37-人舉手。又問：誰做完數(shù)學作業(yè)請舉手!”有42人舉手。最后問：“誰語文、數(shù)學作業(yè)沒有做完”沒有人舉手。求這個班語文、數(shù)學作業(yè)都完成的人數(shù) 人。2、某個班的全體學生進行了短跑、游泳、籃球三個項目的測試，有4名學生在這三個項目上都沒有達到優(yōu)秀，其余每人至少有一個項目達到優(yōu)秀，這部分學生達到優(yōu)秀的項目、人數(shù)如下表：短跑游泳籃球短跑、游泳游泳、籃球籃球、短跑短跑、游泳、籃球1718156652求這個班的學生數(shù)?3、某班共有30名男生，其中20人參加足球隊，12人參加藍球隊，10人參加排球隊。已知沒一個人同時參加3個隊，且每人至少參加一個隊，有6人既參加足球隊又參加藍球隊，有2人既參加藍球隊又參 加排球隊，那么既參加足球隊又參加排球隊的有多少人？4、班有46人其中會彈琴的有30人，會拉小提琴的有28人，則這個班級會彈琴又會拉小提琴的至少有多少人？5、某班同學中，有26人愛打籃球，17人愛打排球，19人愛踢足球，有9人既愛打籃球又愛踢足球，有4人既愛打排球又愛踢足球，有7人既愛打籃球又愛打排球，沒有一個人三種球都愛玩，也沒有一個人 三種球都不愛玩，問：這個班共有多少學生？6、某班有45名同學，其中22名同學參加科技興趣小組，27名同學參加數(shù)學興趣小