妙用圓錐曲線的定義

1、妙用圓錐曲線的定義胡貴平（甘肅省白銀市第九中學(xué) ，甘肅 白銀 730913）圓錐曲線的定義反映了圓錐曲線的本質(zhì)屬性, 靈活應(yīng)用定義解題，許多時(shí)候能化繁為簡(jiǎn).是提高綜合運(yùn)用知識(shí)能力的有效途徑.一、求軌跡例1. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡是 .解：由變形,得.所以點(diǎn)M的軌跡是以（0，2）為焦點(diǎn)為應(yīng)準(zhǔn)線的拋物線.點(diǎn)評(píng)：?jiǎn)l(fā)從等式兩端的式子入手，考慮通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃危D(zhuǎn)化為學(xué)生們熟知的兩個(gè)距離公式.練習(xí)：已知?jiǎng)狱c(diǎn) 滿(mǎn)足，則點(diǎn)M的軌跡是 .答案：過(guò)（0，2）和垂直的直線（幾何意義與代數(shù)化簡(jiǎn)比較）.二、求離心率例2. 雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為, 若為其上一點(diǎn)，且,則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）A、B、C、 D、解

2、：由雙曲線的定義，又，聯(lián)立解得， 再由可得, ，即,所以.故選B.點(diǎn)評(píng)：在求解有關(guān)圓錐曲線的離心率問(wèn)題時(shí), 若能根據(jù)題目的實(shí)際條件, 考慮用圓錐曲線的定義來(lái)求解, 就能起到出奇制勝的效果. 練習(xí)：設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,過(guò)作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn),若為等腰直角三角形,則橢圓的離心率是（）A、B、C、 D、答案：.三、求最值例3. 已知橢圓,是左右焦點(diǎn)，是橢圓上任一點(diǎn)，橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，求的最大值及最小值.解：延長(zhǎng)交橢圓于，由橢圓的定義，,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得等號(hào). 延長(zhǎng)交橢圓于，由橢圓的定義，,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得等號(hào).所以，,.點(diǎn)評(píng)：如何根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)并結(jié)合數(shù)學(xué)模型，自覺(jué)的去尋求解

3、決方案，所有這些方法的背后都有一個(gè)共同的核心“定義”，借助定義，快捷準(zhǔn)確. 練習(xí)：雙曲線右支上任一點(diǎn)，到右焦點(diǎn)的距離與右域內(nèi)一點(diǎn)的距離之和為,則的最小值為 .答案：由雙曲線的定義，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得等號(hào)，所以.四、求軌跡例4. 設(shè)點(diǎn)Q是圓C：上動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A（1，0）是圓內(nèi)一點(diǎn),AQ的垂直平分線與CQ交于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡方程. 解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由的垂直平分線交于，得.又,所以.依據(jù)橢圓的定義可得，點(diǎn)的軌跡是以 、為焦點(diǎn)的橢圓，且 ，.于是，.故所求軌跡方程為 .點(diǎn)評(píng)： 利用圓錐曲線的定義解題，是解決軌跡問(wèn)題的基本方法之一先根據(jù)平面幾何知識(shí)，列出條件，充分利用動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義是關(guān)鍵練習(xí)：已知兩圓，動(dòng)圓在圓內(nèi)部且和圓相內(nèi)切，和圓相外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程答案：設(shè)動(dòng)圓圓心,半徑為，由題意