不變子空間、若當、最小多項式簡介

1、 7不變子空間本節(jié)重點：不變子空間的定義與“限制”.已知可對角化對應于對角矩陣，但是并不是每個都能對角化的.退一步，對應于準對角形也好；雖然比對角形復雜，但也算簡單.這個問題的研究需要用到不變子空間的概念.定義與例子.定義：L L L(Vn) , W是仃的不變子空間u W是V的子空間，且X/SW,有o(L)ww.簡稱仃-子空間.(注意：與線性變換有關).例子：設仃w L(Vn),則下列子空間W都是仃的不變子空間：1) W = 0 2 ) W =V 3 ) W =仃,(0) 4 ) W =a(V) 5 ) W =V8 =也 w V |。&)=九。匕 叵上線性變換A與B是可交換的，則B的核與值域都

2、是A -子空間.二、線性變換在不變子空間上的“限制”.定義：設W是仃wL(Vn)的不變子空間，可只在 W中考慮仃，記為仃|W.【意義】縮小了線性變換的范圍，從而簡化線性變換.因此，如果V可分解為若干仃-子空間W的直和，那么對V的線性變換仃的研究就歸結(jié)為對各個子空間 W的直和研究.區(qū)別：Q|W與仃的作用結(jié)果一樣，但作用范圍不同.即tWW= (Q|Wg=m ；七正W= (Q|W)已無意義.三、不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關系(意義)設V可分解為若干個仃-子空間的直和：V =W, W25母Ws ,在每個不變子空間Wi中取基氣，,， , i =1,2,S ,并把他們合并為V的一組基，則在這組基下

3、，仃的矩陣具有Ai7準對角形*.,其中A , i =1,2,s是A|W在對應基下的矩陣.As )進一步的，我們有：*四、不變子空間的直和分解定理12：設線性變換仃W L(Vn)的特征多項式f (九)可分解成一次因式：f (九)=(九Xjr1 (九一九2)r2(九-工一，則V可以分解成不變子空間的直和：V =V1 V2 份 Vs,其中 V =之 WV | ( -E)ri 0 =0. 8若當（Jordan）標準形介紹若當（Jordan）標準形是一類特殊的準對角矩陣、基本定義兒0 . 000、：1九. 000J (九,D = - - - -00 -.1九000 . 012.若當形矩陣=由若干個若當塊

4、（階數(shù)未必相同、1.若當塊（九是復數(shù)；注意對角元相同）九未必相同）組成（不計順序）的準對角矩陣.（若當形矩陣中包括對角矩陣） 【問題】若當形矩陣的特征值=?例1求所有的三階若當形矩陣.（若當塊不計排列順序）二、主要結(jié)論定理13: VbWL（Vn（C）,在V中必定存在一組基，使 仃在這組基下的矩陣式若當形矩陣.（這個若當形矩陣除去其中若當塊的排列次序外，是被仃唯一決定的，它稱為仃的若當標準形）若用矩陣來描述，即定理14:復數(shù)域上，每個方陣都相似于某個若當形矩陣.（好用的結(jié)論）三、若當標準形的求法 （第八章介紹）【特例】若A可對角化，則若當標準形就是相似的對角矩陣.|10 1030【第二屆中國大學

5、生數(shù)學競賽預賽 2010設B = |。0 2010 ,10 00證明X2 =B無解，這里X為三階復數(shù)矩陣.證法對復數(shù)矩陣，優(yōu)先考慮它相似于某個 Jordan矩陣這個性質(zhì)，并聯(lián)系特征值 9最小多項式介紹最小多項式有著良好的理論意義，特別是適用于對角化問題.已知HamHton Cayley定理：方陣A的特征多項式是A的零化多項式.要尋找其中次數(shù)最低的，這就是最小多項式的研究思路.基本定義定義：中(x)是方陣A的最小多項式=f(A) =0且邛(x)次數(shù)最低、首項系數(shù)為1.例 數(shù)量矩陣kE的最小多項式是 二、基本性質(zhì)引理1矩陣A的最小多項式必唯一.證法帶余除法引理2 f (x)是A的零化多項式仁f(x

6、)是A的最小多項式中(x)的倍式，即邛(x)|f(x).【特例】最小多項式是特征多項式的因式.證法帶余除法1 1、例求A=1 的最小多項式. (x-1)2【問題】相似矩陣有相同的最小多項式？1a 1a例k階若當塊J =.的最小多項式是 1 21 10 ；11 ，晨(直接計算，(x-a)k)三、主要結(jié)論定理 數(shù)域P上矩陣A可對角化的充要條件是 A的最小多項式是P上互素的一次因式的乘積.推論復數(shù)域上A可對角化的充要條件是A的最小多項式無重根.例 設A是n階幕等矩陣，且秩為r.試求A的相似標準形，并說明理由；求 2E-A.Er 00 0，解法：由A2 =人知八有最小多項式g(，。=九2-九=九(九-

7、1)且無重根，所以A相似于對角矩陣, 且特征值只能是1或0.又r(A)=r,故存在可逆矩陣P使P，AP =一一11 怎 0)從而 PA(2E -A)P = 2E-P-AP= r U 2E-A = 2n- 1。1 3go1 11 45A=的特征值為%2,對應的特征向量為10),2F1V5,1 ， P AP =L 2 J3.利用矩陣相似對角化線性方程組【例】(人口流動問題)設某國人口流動狀態(tài)的統(tǒng)計規(guī)律是每年有十分之一的城市人口流向農(nóng)村，十分之 二的農(nóng)村人口流入城市.假定人口總數(shù)不變，則經(jīng)過許多年以后，全國人口將會集中在城市嗎？解 設最初城市、農(nóng)村人口分別為 x0,y0,第k年末人口分別為xk,yk

8、,則%169 0.2j選、Xk0.9 0.2、住二yU-0.1 0.8般/ 半 廠 1 0.8八y70.9 0.2,可得0.1 0.8；=AkX0U0J為計算A： 可考慮把 A相似對角化.特征多項式KE A =(九一 1)(九一0.7).k10P9 0.7；1 =1對應的特征向量為=(2,1)；九=0.7對應的特征向量為口2=(1,-1)仃2141 111取 P = (c( a2)=，得 P = -1-1J31-2；令 kT % 有 0.7k T 0,得 Ak T1 23di 0 yi i、i 仔 2、 -1X0 0 人1 _21312 1,XJ2Yk；31證1: A正定=特征值 0= A +

9、 E的特征值4 +1 1于是 A + E|=（A +1）（九2 +1）（4 +1） 11=1證 2: A 正定=T1AT = diag （九1，Kn）, % 0|A + E| = Tdiag（兀，Kn）T，+E|TTdiag& +1,4n +1）丁 =TG +1）（入2 +1）（兒 +1）T1ir=1期末總復習一、考試題型填空、計算、證明、討論或判斷二、復習依據(jù)作業(yè)（習題集）、例題、課外提高三、各章主線.線性空間線性空間1定義、線性運算、基、維數(shù)、坐標子空間兩個封閉性、基、維數(shù)、生成子空間、擴充基、維數(shù)公式、和、直和同構(gòu)構(gòu)造、判定、意義.線性變換線性變換驗證（定義）、運算、關于基的矩陣及變換問

10、題的轉(zhuǎn)化、不變子空間 特征值與特征同功證明、求法（可驗證）、結(jié)論、對角化判定及求可逆矩陣 C 值域與核基、維數(shù)、兩者維數(shù)關系. Jordan標準形不變因子初等因子 Jordan標準形.歐氏空間（注意：涉及的概念都與內(nèi)積有關）麗驗證（四條公理）、長度、夾角、標準正交基（求法，可驗證）正交變換判定、不變性、正交矩陣（ 可驗證）對稱變換判定、特征值、對角化（求正交矩陣 可驗證.區(qū)別第5章方法）四、注意事項.幾類矩陣的特點、區(qū)別與聯(lián)系：可逆矩陣、對稱矩陣、合同矩陣、相似矩陣、正定矩陣、正交矩陣.線性變換問題與矩陣問題的轉(zhuǎn)化線性空間（通過基）、歐氏空間（通過標準正交基）.可驗證的幾種計算類型特征值（跡）

11、、特征向量（代入方程組）、標準正交基（兩兩正交、長度為 1）、 正交矩陣（行或列向量組標準正交，或 A，A = E）二*小學少先隊組織機構(gòu)少先隊組織由少先隊大隊部及各中隊組成，其成員包括少先隊輔導員、大隊長、中隊長、 小隊長、少先隊員，為了健全完善我校少先隊組織，特制定以下方案： 一、成員的確定1、大隊長由紀律部門、衛(wèi)生部門、升旗手、鼓號隊四個組織各推薦一名優(yōu)秀學生擔任 （共四名），該部門就主要由大隊長負責部門內(nèi)的紀律。2、中、小隊長由暮從碧山下，山月隨人歸。卻顧所來徑，蒼蒼橫翠微。相攜及田家，童稚開荊扉。綠竹入幽徑，青蘿拂行衣。歡言得所憩，美酒聊共揮。長歌吟松風，曲盡河星稀。我醉君復樂，陶然

12、共忘機。【簡析】終南山，在今陜西西安市南，地近京城而又山林幽靜。斛斯山人想來是一位隱 士，同時是李白的好朋友。這首詩只寫一次很平常的作客經(jīng)過，但寫出了很淳樸的感情。各 班中隊公開、公平選舉產(chǎn)生，中隊長各班一名（共 11名），一般由班長擔任，也可以根據(jù)本 班的實際情況另行選舉。小隊長各班各小組先選舉出一名（共8個小組，就8名小隊長）然后各班可以根據(jù)需要添加小隊長幾名。3、在進行班級選舉中、小隊長時應注意，必須把衛(wèi)生、紀律部門的檢查學生先選舉在 中、小隊長之內(nèi)，剩余的中、小隊長名額由班級其他優(yōu)秀學生擔任。4、在班級公開、公平選舉出中、小隊長之后，由班主任老師授予中、小隊長標志，大 隊長由少先隊大隊部授予大隊長標志。二、成員的職責及任免1、大、中、小隊長屬于學校少先隊組織，各隊長不管是遇見該班的、外班的，不管是 否在值勤，只要發(fā)現(xiàn)任何人在學校內(nèi)出現(xiàn)說臟話、亂扔果皮紙屑、追逐打鬧、攀爬欄桿、亂 寫亂畫等等一些違紀現(xiàn)象，都可以站出來制止或者報告老師。2、班主任在各中隊要對中、小隊長提出具體的責任，如設置管衛(wèi)生的小隊長，管紀律 的小隊長，管文明禮貌的、管服裝整潔的等等，根據(jù)你班的需要自行定出若干相應職責，讓 各位隊長清楚自己的職權(quán)，有具體可操作的事情去管理，讓各位隊長成為班主任真正