函數(shù)矩陣和矩陣微分方程(2)

1、關(guān)于函數(shù)矩陣與矩陣微分方程 (2)第一張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月稱為函數(shù)矩陣，其中所有的元素都是定義在閉區(qū)間 上的實函數(shù)。函數(shù)矩陣與數(shù)字矩陣一樣也有加法，數(shù)乘，乘法，轉(zhuǎn)置等幾種運算，并且運算法則完全相同。例：已知第二張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月計算定義：設(shè) 為一個 階函數(shù)矩陣，如果存在 階函數(shù)矩陣 使得對于任何 都有那么我們稱 在區(qū)間 是可逆的。第三張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月稱 是 的逆矩陣，一般記為例 ：已知那么 在區(qū)間 上是可逆的，其逆為第四張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月函數(shù)矩陣可逆的充分必要條件定理 : 階矩陣 在區(qū)間 上可逆的充

2、分必要條件是 在 上處處不為零，并且其中 為矩陣 的伴隨矩陣。定義：區(qū)間 上的 型矩陣函數(shù)不恒等于零的子式的最高階數(shù)稱為 的秩。第五張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月特別地，設(shè) 為區(qū)間 上的 階矩陣函數(shù)，如果 的秩為 ，則稱 一個滿秩矩陣。注意：對于階矩陣函數(shù)而言，滿秩與可逆不是等價的。即：可逆的一定是滿秩的，但是滿秩的卻不一定是可逆的。例 ：已知第六張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月那么 。于是 在任何區(qū)間 上的秩都是2。即 是滿秩的。但是 在 上是否可逆，完全依賴于 的取值。當(dāng)區(qū)間 包含有原點時， 在 上有零點，從而 是不可逆的 。函數(shù)矩陣對純量的導(dǎo)數(shù)和積分 定義：如果 的

3、所有各元素 在 處有極限，即 第七張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月其中 為固定常數(shù)。則稱 在 處有極限，且記為其中第八張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月如果 的各元素 在 處連續(xù)，即則稱 在 處連續(xù)，且記為其中第九張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月容易驗證下面的等式是成立的：設(shè)則第十張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月定義：如果 的所有各元素 在點 處(或在區(qū)間 上)可導(dǎo)，便稱此函數(shù)矩陣 在點 處(或在區(qū)間 上)可導(dǎo)，并且記為第十一張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月第十二張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月函數(shù)矩陣的導(dǎo)數(shù)運算有下列性質(zhì)： 是常數(shù)矩陣

4、的充分必要條件是 設(shè)均可導(dǎo)，則 第十三張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月設(shè) 是 的純量函數(shù)， 是函數(shù)矩陣， 與 均可導(dǎo)，則特別地，當(dāng) 是常數(shù) 時有第十四張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月(4) 設(shè) 均可導(dǎo)，且 與 是可乘的，則因為矩陣沒有交換律，所以第十五張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月(5) 如果 與 均可導(dǎo)，則(6) 設(shè) 為矩陣函數(shù)， 是 的純量函數(shù)， 與 均可導(dǎo)，則第十六張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月定義： 如果函數(shù)矩陣 的所有各元素 在 上可積，則稱 在 上可積，且第十七張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月函數(shù)矩陣的定積分具有如下性質(zhì)：例1

5、：已知函數(shù)矩陣試計算第十八張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月證明：第十九張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月由于 ，所以下面求 。由伴隨矩陣公式可得 第二十張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月再求第二十一張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 ：已知函數(shù)矩陣第二十二張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月試求例3 ：已知函數(shù)矩陣試求證明：第二十三張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月同樣可以求得第二十四張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例4 ：已知函數(shù)矩陣試計算第二十五張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月函數(shù)向量的線性相關(guān)性定義：設(shè)有定義在區(qū)間

6、上的 個連續(xù)的函數(shù)向量如果存在一組不全為零的常實數(shù)使得對于所有的 等式成立，我們稱，在 上 線性相關(guān)。第二十六張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月否則就說 線性無關(guān)。即如果只有在 等式才成立，那么就說 線性無關(guān)。定義：設(shè) 是 個定義在區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù)向量記第二十七張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月以 為元素的常數(shù)矩陣稱為 的Gram矩陣， 稱為Gram行列式。定理：定義在區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù)向量 線性無關(guān)的充要條件是它的Gram矩陣為滿秩矩陣。 第二十八張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例 ： 設(shè)則于是 的Gram矩陣為第二十九張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月所

7、以故當(dāng) 時， 在 上是線性無關(guān)的。第三十張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月定義： 設(shè) 是 個定義在區(qū)間 上的 有 階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)向量，記那么稱矩陣第三十一張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十二張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月是 的Wronski矩陣。其中 分別是 的一階，二階， 階導(dǎo)數(shù)矩陣。定理： 設(shè) 是 的Wronski矩陣。如果在區(qū)間 上的某個點 ，常數(shù)矩陣 的秩等于 ，則向量 在 上線性無關(guān)。第三十三張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例 ： 設(shè)則因為 的秩為2，所以 與 線性無關(guān)。第三十四張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 函數(shù)矩陣在微分方程中

8、的應(yīng)用形如第三十五張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月的線性微分方程組在引進函數(shù)矩陣與函數(shù)向量以后可以表示成如下形式其中第三十六張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十七張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月上述方程組的初始條件為可以表示成定理：設(shè) 是一個 階常數(shù)矩陣，則微分方程組滿足初始條件 的解為第三十八張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月定理：設(shè) 是一個 階常數(shù)矩陣，則微分方程組滿足初始條件 的解為例1 ：設(shè)第三十九張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月求微分方程組 滿足初始條件 的解。解：首先計算出矩陣函數(shù)第四十張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月由前面的定理可知微分方程組滿足初始條件 的解為第四十一張，PPT共四十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 ：設(shè)求微分方程組 滿足初始條件 的解。解：由上述定理可知滿足所給初始條件的微分方