課時(shí)規(guī)范練47　拋物線

1、 課時(shí)規(guī)范練47拋物線基礎(chǔ)鞏固組1.(2020福建廈門一模)若拋物線x2=ay的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1,則a=() A.2B.4C.2D.42.O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為拋物線C:y2=42x的焦點(diǎn),P為拋物線C上一點(diǎn),若|PF|=42,則POF的面積為()A.2B.22C.23D.43.(2020河北唐山一模,文8)拋物線x2=2py(p0)上一點(diǎn)A到其準(zhǔn)線和坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都為3,則p=()A.8B.6C.4D.24.F是拋物線y2=2x的焦點(diǎn),點(diǎn)P在拋物線上,點(diǎn)Q在拋物線的準(zhǔn)線上,若PF=2FQ,則|PQ|=()A.92B.4C.72D.35.(2020河北邯鄲一模)位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋

2、有“仙境之橋”之稱,它的橋形可近似地看成拋物線,該橋的高度為5 m,跨徑為12 m,則橋形對(duì)應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A.2512 mB.256 mC.95 mD.185 m6.已知拋物線E:y2=2px(p0)的準(zhǔn)線為l,圓C:x-p22+y2=4,l與圓C交于A,B兩點(diǎn),圓C與E交于M,N兩點(diǎn).若A,B,M,N為同一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn),則E的方程為()A.y2=xB.y2=3xC.y2=2xD.y2=23x7.(2020河南安陽三模)已知拋物線C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,l與x軸的交點(diǎn)為P,點(diǎn)A在拋物線C上,過點(diǎn)A作AAl,垂足為A.若四邊形AAPF的面積為14,且

3、cosFAA=35,則拋物線C的方程為()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x8.已知拋物線y2=4x,過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作y軸的垂線,垂足分別為C,D,則|AC|+|BD|的最小值為.9.(2020江西萍鄉(xiāng)一模)已知拋物線C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線l:x=-1,點(diǎn)M在拋物線C上,點(diǎn)M在準(zhǔn)線l上的射影為A,且直線AF的斜率為-3,則AMF的面積為.10.已知F為拋物線C:x2=2py(p0)的焦點(diǎn),曲線C1是以F為圓心,p4為半徑的圓,直線23x-6y+3p=0與曲線C,C1從左至右依次相交于P,Q,R,S,則|RS|PQ|=.綜

4、合提升組11.(2020廣東廣州一模)已知F為拋物線C:y2=6x的焦點(diǎn),過點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),且|AF|=3|BF|,則|AB|=()A.6B.8C.10D.1212.已知拋物線C1:y2=2px(p0)與圓C2:x2+y2-12x+11=0交于A,B,C,D四點(diǎn).若BCx軸,且線段BC恰為圓C2的一條直徑,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為()A.116B.3C.113D.613.(2020河北衡水中學(xué)三模,理14)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)M(1,1)的直線與C交于A,B兩點(diǎn),若M恰好為AB的中點(diǎn),則|AF|+|BF|=,直線AB的斜率為.14.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),

5、焦點(diǎn)F在y軸的正半軸上,點(diǎn)A是拋物線上的一點(diǎn),以A為圓心,2為半徑的圓與y軸相切,切點(diǎn)為F.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線m在y軸上的截距為6,且與拋物線交于P,Q兩點(diǎn),連接QF并延長交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)R,當(dāng)直線PR恰與拋物線相切時(shí),求直線m的方程.創(chuàng)新應(yīng)用組15.(2020江西九江二模)已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F,直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),連接AF并延長,交拋物線C于點(diǎn)D,若AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為|AB|-1,則當(dāng)AFB最大時(shí),|AD|=()A.4B.8C.16D.16316.(2020江西上饒三模,理20)已知拋物線C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,拋物線C上的點(diǎn)到準(zhǔn)線

6、的最小距離為1.(1)求拋物線C的方程;(2)若過點(diǎn)F作互相垂直的兩條直線l1,l2,l1與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),l2與拋物線C交于C,D兩點(diǎn),M,N分別為弦AB,CD的中點(diǎn),求|MF|NF|的最小值.參考答案課時(shí)規(guī)范練47拋物線1.Cx2=ay,p=a2=1,a=2.故選C.2.C利用|PF|=xP+2=42,可得xP=32.yP=26.SPOF=12|OF|yP|=23.故選C.3.C設(shè)A(x0,y0),由題意得y0+p2=3,即p=6-2y0,又因?yàn)閤02=2py0,所以x02=2(6-2y0)y0,化簡得x02+4y02=12.又因?yàn)辄c(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為3,所以x02+y02=9,解得

7、x02=8,y02=1.又由題可得y0=1,代入x02=2py0有p=4.故選C.4.A記拋物線的準(zhǔn)線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)為K.過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線,垂足為M,則|PF|=|PM|.由QFKQPM,得|FK|MP|=|QF|QP|,即1|MP|=13,所以|MP|=3.故|PF|=3,|QF|=32,所以|PQ|=|PF|+|QF|=92.故選A.5.D建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)拋物線的解析式為x2=-2py,p0,因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)(6,-5),所以36=10p,解得p=185.所以橋形對(duì)應(yīng)的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為185 m.故選D.6.C如圖,圓C:x-p22+y2=4的圓心Cp2,0是拋物線

8、E:y2=2px(p0)的焦點(diǎn).圓C:x-p22+y2=4的半徑為2,|NC|=2,根據(jù)拋物線定義可得|NA|=|NC|=2.A,B,M,N為同一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)A,N關(guān)于直線x=p2對(duì)稱,即xN+xA=p22=p,xN=32p,|NA|=32p-p2=2,即2p=2,則E的方程為y2=2x.故選C.7.C過點(diǎn)F作FFAA,垂足為F.設(shè)|AF|=3x,因?yàn)閏osFAA=35,所以|AF|=5x,|FF|=4x.由拋物線的定義可知|AF|=|AA|=5x,則|AF|=2x=p,故x=p2.四邊形AAPF的面積S=(|PF|+|AA|)|FF|2=(p+52p)2p2=14,解得p=2,故拋物

9、線C的方程為y2=4x.8.2由題意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)|AB|取得最小值.依拋物線定義知當(dāng)|AB|為通徑,即|AB|=2p=4時(shí),為最小值,所以|AC|+|BD|的最小值為2.9.43設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)N,則|FN|=2.直線AF的斜率為-3,AFN=60,MAF=60,|AF|=4.由拋物線的定義可得|MA|=|MF|,AMF是邊長為4的等邊三角形.SAMF=3442=43.10.215x2=2py,23x-6y+3p=012y2-20py+3p2=0.因?yàn)橹本€23x-6y+3p=0與曲線C,C

10、1從左至右依次相交于P,Q,R,S,所以yP=p6,yS=32p.由直線23x-6y+3p=0過拋物線C:x2=2py(p0)的焦點(diǎn)F,所以|RS|=|SF|-p4=yS+p2-p4=yS+p4,|PQ|=|PF|-p4=yP+p2-p4=yP+p4,|RS|PQ|=|SF|-p4|PF|-p4=3p2+p4p6+p4=74512=215.11.B由已知得拋物線C:y2=6x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為32,0,準(zhǔn)線方程為x=-32.設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)閨AF|=3|BF|,所以x1+32=3x2+32,|y1|=3|y2|.所以x1=3x2+3,x1=9x2,所以x1=92,x2=1

11、2.所以|AB|=x1+32+x2+32=8.故選B.12.A圓C2:x2+y2-12x+11=0可化為(x-6)2+y2=52,故圓心為(6,0),半徑為5,由于BCx軸,且線段BC恰為圓C2的一條直徑,故B(6,-5),C(6,5).將B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程得25=12p,故p=2512,拋物線方程為y2=256x.聯(lián)立y2=256x,x2+y2-12x+11=0,消去y得x2-476x+11=0,解得x=116或x=6(舍去),故A點(diǎn)橫坐標(biāo)為116.故選A.13.42過點(diǎn)A,B,M分別作準(zhǔn)線x=-1的垂線,垂足分別為A1,B1,M1,則|MM1|=2.根據(jù)梯形中位線定理,得|AA1|+|

12、BB1|=4.根據(jù)拋物線的定義,得|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=4.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由y12=4x1,y22=4x2,得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),則直線AB的斜率為k=y1-y2x1-x2=4y1+y2=421=2.14.解(1)設(shè)拋物線方程為x2=2py(p0).以A為圓心,2為半徑的圓與y軸相切,切點(diǎn)為F,p=2,該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y.(2)由題知直線m的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+6,由y=kx+6,x2=4y消去y整理得x2-4kx-24=0,顯然,=16k2+960.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x

13、2=4k,x1x2=-24.由x2=4y,得y=x24,y=x2.拋物線在點(diǎn)Px1,x124處的切線方程為y-x124=x12(x-x1),令y=-1,得x=x12-42x1,可得點(diǎn)Rx12-42x1,-1,由Q,F,R三點(diǎn)共線得kQF=kFR,x224-1x2=-1-1x12-42x1,即(x12-4)(x22-4)+16x1x2=0,整理得(x1x2)2-4(x1+x2)2-2x1x2+16+16x1x2=0,(-24)2-4(4k)2-2(-24)+16+16(-24)=0,解得k2=14,即k=12,所求直線m的方程為y=12x+6或y=-12x+6.15.C設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(

14、x2,y2),D(x3,y3),由拋物線的定義得|AF|+|BF|=y1+y2+2,因?yàn)閥1+y22=|AB|-1,所以|AF|+|BF|=2|AB|,所以cosAFB=|AF|2+|BF|2-|AB|22|AF|BF|=3(|AF|2+|BF|2)-2|AF|BF|8|AF|BF|6|AF|BF|-2|AF|BF|8|AF|BF|=12,當(dāng)且僅當(dāng)|AF|=|BF|時(shí),等號(hào)成立.所以當(dāng)AFB最大時(shí),AFB為等邊三角形,ABx軸.不妨設(shè)此時(shí)直線AD的方程為y=3x+1,由y=3x+1,x2=4y,消去y,得x2-43x-4=0,所以x1+x3=43,所以y1+y3=3(x1+x3)+2=14.所以|AD|=16.故選C.16.解(1)拋物線C上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的最小距離為1,p2=1,解得p=2,拋物線C的方程為y2=4x.(2)由(1)可知焦點(diǎn)為F(1,0).由已知可得ABCD,兩直線AB,CD的斜率都存在且均不為0.設(shè)直線AB的斜率為k,則直線CD的斜率為-1k,直線AB的方程為y=k(x-1).聯(lián)立y2=4x,y=k(x-1),消去x得ky2-4