高考大題專項(xiàng)(四)　立體幾何

1、 高考大題專項(xiàng)(四)立體幾何突破1空間中的平行與幾何體的體積1.(2020安徽合肥二模,文18)如圖1,在矩形ABCD中,E,F在邊CD上,BC=CE=EF=FD=1.沿BE,AF將CBE和DAF折起,使平面CBE和平面DAF都與平面ABEF垂直,連接DC,如圖2.(1)證明:CDAB;(2)求三棱錐D-BCE的體積.2.(2020河南焦作模擬)如圖,在多面體ABCA1B1C1中,四邊形ABB1A1是正方形,A1CB是等邊三角形,AC=AB=1,B1C1BC,BC=2B1C1.(1)求證:AB1平面A1C1C;(2)求多面體ABCA1B1C1的體積.3.如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是

2、矩形,PA底面ABCD,E,F分別是PC,PD的中點(diǎn),AD=AB=1.(1)若點(diǎn)G為線段BC的中點(diǎn),證明:平面EFG平面PAB;(2)在(1)的條件下,求以EFG為底面的三棱錐C-EFG的高.4.(2020廣東肇慶二模,文19)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD底面ABCD,且PD=CD=1,過棱PC的中點(diǎn)E,作EFPB交PB于點(diǎn)F.(1)證明:PA平面EDB;(2)求三棱錐B-DEF的體積.5.如圖,平面ABCD平面CDEF,且四邊形ABCD是梯形,四邊形CDEF是矩形,BAD=CDA=90,AB=AD=DE=12CD,M是線段DE上的動(dòng)點(diǎn).(1)試確定點(diǎn)M的位置,

3、使BE平面MAC,并說明理由;(2)在(1)的條件下,四面體E-MAC的體積為3,求線段AB的長.6.(2020全國2,文20)如圖,已知三棱柱ABC -A1B1C1的底面是正三角形,側(cè)面BB1C1C是矩形,M,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),P為AM上一點(diǎn).過B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)證明:AA1MN,且平面A1AMN平面EB1C1F;(2)設(shè)O為A1B1C1的中心.若AO=AB=6,AO平面EB1C1F,且MPN=3,求四棱錐B -EB1C1F的體積.7.如圖,多面體ABCDEF中,底面ABCD是菱形,BCD=60,四邊形BDEF是正方形且DE平面ABCD.(1)求證:

4、CF平面ADE;(2)若AE=2,求多面體ABCDEF的體積V.8.(2020四川棠湖中學(xué)月考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,BAD=120,PA=2,PB=PC=PD,E是PB的中點(diǎn).(1)證明:PD平面AEC;(2)設(shè)F是線段DC上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)E到平面PAF距離最大時(shí),求三棱錐P-AFE的體積.突破2空間中的垂直與幾何體的體積1.(2020山西長治一模,文18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,且PA=AD=2,AB=3,點(diǎn)E為線段PD的中點(diǎn).(1)求證:AEPC;(2)求三棱錐P-ACE的體積.2.(2020全國3,文19)

5、如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.證明:(1)當(dāng)AB=BC時(shí),EFAC;(2)點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi).3.(2020福建莆田一模,文19)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是菱形,AB=AC=2,PA=23,PB=PD.(1)證明:平面PAC平面ABCD;(2)若PAAC,M為PC的中點(diǎn),求三棱錐B-CDM的體積.4.(2020福建漳州二模,文18)已知四棱錐S-ABCD中,四邊形ABCD為梯形,BCD=ADC=SAD=90,平面SAD平面ABCD,E為線段AD的中點(diǎn),AD=2BC=2CD.(1)證明:BD平面SAB;(2

6、)若SA=AD=2,求點(diǎn)E到平面SBD的距離.5.(2020廣東廣州一模,文19)如圖,三棱錐P-ABC中,PA=PC,AB=BC,APC=120,ABC=90,AC=3PB=2.(1)求證:ACPB;(2)求點(diǎn)C到平面PAB的距離.6.(2020陜西銅川二模,文19)如圖,ABC為邊長為2的正三角形,AECD,且AE平面ABC,2AE=CD=2.(1)求證:平面BDE平面BCD;(2)求三棱錐D-BCE的高.7.如圖,四面體ABCD中,O,E分別是BD,BC的中點(diǎn),AB=AD=2,CA=CB=CD=BD=2.(1)求證:AO平面BCD;(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值;(3)求點(diǎn)E到

7、平面ACD的距離.參考答案高考大題專項(xiàng)(四)立體幾何突破1空間中的平行與幾何體的體積1.(1)證明分別取AF,BE的中點(diǎn)M,N,連接DM,CN,MN.由圖可得,ADF與BCE都是等腰直角三角形,且ADF與BCE全等,DMAF,CNBE,DM=CN.平面ADF平面ABEF,交線為AF,DM平面ADF,DMAF,DM平面ABEF.同理,CN平面ABEF,DMCN.又DM=CN,四邊形CDMN為平行四邊形,CDMN.M,N分別是AF,BE的中點(diǎn),MNAB,CDAB.(2)解由圖可知,V三棱錐D-BCE=V三棱錐B-DCE,EF=1,AB=3,CD=MN=2,V三棱錐B-DCE=2V三棱錐B-EFC=

8、2V三棱錐C-EFB.由(1)知,CN平面BEF.CN=22,SBEF=12,V三棱錐C-EFB=212,V三棱錐D-BCE=26.2.(1)證明如圖,取BC的中點(diǎn)D,連接AD,B1D,C1D,B1C1BC,BC=2B1C1,BDB1C1,BD=B1C1,CDB1C1,CD=B1C1,四邊形BDC1B1,CDB1C1是平行四邊形,C1DB1B,C1D=B1B,CC1B1D,又B1D平面A1C1C,C1C平面A1C1C,B1D平面A1C1C.在正方形ABB1A1中,BB1AA1,BB1=AA1,C1DAA1,C1D=AA1,四邊形ADC1A1為平行四邊形,ADA1C1.又AD平面A1C1C,A1

9、C1平面A1C1C,AD平面A1C1C,B1DAD=D,平面ADB1平面A1C1C,又AB1平面ADB1,AB1平面A1C1C.(2)在正方形ABB1A1中,A1B=2,A1BC是等邊三角形,A1C=BC=2,AC2+AA12=A1C2,AB2+AC2=BC2,AA1AC,ACAB.又AA1AB,AA1平面ABC,AA1CD,易得CDAD,ADAA1=A,CD平面ADC1A1.易知多面體ABCA1B1C1是由直三棱柱ABD-A1B1C1和四棱錐C-ADC1A1組成的,直三棱柱ABD-A1B1C1的體積為1212111=14,四棱錐C-ADC1A1的體積為1322122=16,多面體ABCA1B

10、1C1的體積為14+16=512.3.(1)證明E,F分別是PC,PD的中點(diǎn),EFCD.底面ABCD是矩形,CDAB,EFAB.又AB平面PAB,EF平面PAB,EF平面PAB.同理EG平面PAB.EFEG=E,平面EFG平面PAB.(2)解PA底面ABCD,BC底面ABCD,PABC,BCAB,PAAB=A,BC平面PAB,C到平面PAB的距離為BC=1,以EFG為底面的三棱錐C-EFG的高為12.4.(1)證明連接AC交BD于點(diǎn)G,則G是AC的中點(diǎn),連接EG,則EG是PAC的中位線,所以PAEG,因?yàn)镻A平面EDB,EG平面EDB,所以PA平面EDB.(2)解因?yàn)镻D平面ABCD,BC平面

11、ABCD,所以PDBC,又BCCD,CDPD=D,所以BC平面PCD,又DE平面PCD,所以DEBC.因?yàn)镻D=CD,E是PC的中點(diǎn),所以DEPC,BCPC=C,所以DE平面PBC,所以DE是三棱錐D-BEF的高.DE=22,BC=1,PC=2PE=2,PB=3,RtBCPRtEFP,所以PCPF=BPEP=BCEF,得PF=PCEPBP=33,EF=BCEPBP=66,BF=233,VB-DEF=VD-BEF=13SBEFDE=1312BFEFDE=118.5.解(1)當(dāng)EM=13DE時(shí),BE平面MAC.證明如下:連接BD,交AC于N,連接MN.由于AB=12CD,所以DNNB=2.當(dāng)EM=

12、13DE時(shí),DMME=2,所以MNBE.由于MN平面MAC,又BE平面MAC,所以BE平面MAC.(2)CDDA,CDDE,DADE=D,CD平面ADE.又平面ABCD平面CDEF,ADDC,AD平面CDEF,ADDE.設(shè)AB=a,則VE-MAC=VC-MAE=13CDSMAE=19a3.所以19a3=3,解得a=3.因此AB=3.6.(1)證明因?yàn)镸,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),所以MNCC1.又由已知得AA1CC1,故AA1MN.因?yàn)锳1B1C1是正三角形,所以B1C1A1N.又B1C1MN,故B1C1平面A1AMN.所以平面A1AMN平面EB1C1F.(2)解AO平面EB1C1F,AO

13、平面A1AMN,平面A1AMN平面EB1C1F=PN,故AOPN.又APON,故四邊形APNO是平行四邊形,所以PN=AO=6,AP=ON=13AM=3,PM=23AM=23,EF=13BC=2.因?yàn)锽C平面EB1C1F,所以四棱錐B -EB1C1F的頂點(diǎn)B到底面EB1C1F的距離等于點(diǎn)M到底面EB1C1F的距離.作MTPN,垂足為T,則由(1)知,MT平面EB1C1F,故MT=PMsinMPN=3.底面EB1C1F的面積為12(B1C1+EF)PN=12(6+2)6=24.所以四棱錐B -EB1C1F的體積為13243=24.7.(1)證明ABCD是菱形,BCAD.又BC平面ADE,AD平面

14、ADE,BC平面ADE.又BDEF是正方形,BFDE.BF平面ADE,DE平面ADE,BF平面ADE.BC平面BCF,BF平面BCF,BCBF=B,平面BCF平面AED,CF平面AED.(2)解連接AC,記ACBD=O,ABCD是菱形,ACBD,且AO=CO.由DE平面ABCD,AC平面ABCD,DEAC.DE平面BDEF,BD平面BDEF,DEBD=D,AC平面BDEF于O,即AO為四棱錐A-BDEF的高.由ABCD是菱形,BCD=60,則ABD為等邊三角形,由AE=2,則AD=DE=1,AO=32,S正方形BDEF=1,VA-BDEF=13S正方形BDEFAO=36,V=2VA-BDEF=

15、33.8.(1)證明連接DB與AC交于點(diǎn)O,連接OE,因?yàn)锳BCD是菱形,所以O(shè)為DB的中點(diǎn),又因?yàn)镋為PB的中點(diǎn),所以PDOE,因?yàn)镻D平面AEC,OE平面AEC,所以PD平面AEC.(2)解取BC中點(diǎn)M,連接AM,PM,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,BAD=120,且PC=PB,所以BCAM,BCPM,又AMPM=M,所以BC平面APM,又AP平面APM,所以BCPA.同理可得,DCPA,又BCDC=C,所以PA平面ABCD,所以平面PAF平面ABCD,又平面PAF平面ABCD=AF,所以點(diǎn)B到直線AF的距離即為點(diǎn)B到平面PAF的距離,過點(diǎn)B作直線AF的垂線段,在所有垂線段中長度最大為AB=2

16、,因?yàn)镋為PB的中點(diǎn),故點(diǎn)E到平面PAF的最大距離為1,此時(shí),F為DC的中點(diǎn),即AF=3,所以SPAF=12PAAF=1223=3,所以VP-AFE=VE-PAF=1331=33.突破2空間中的垂直與幾何體的體積1.(1)證明PA平面ABCD,PACD,又在矩形ABCD中,CDAD,CD平面PAD,AE平面PAD,CDAE,又PA=AD,E為PD中點(diǎn),AEPD,又CDPD=D,AE平面PCD.PC平面PCD,AEPC.(2)解點(diǎn)E為線段PD的中點(diǎn),VP-ACE=VE-PAC=12VP-ACD=121321223=1.2.證明(1)如圖,連接BD,B1D1.因?yàn)锳B=BC,所以四邊形ABCD為正

17、方形,故ACBD.又因?yàn)锽B1平面ABCD,于是ACBB1.所以AC平面BB1D1D.由于EF平面BB1D1D,所以EFAC.(2)如圖,在棱AA1上取點(diǎn)G,使得AG=2GA1,連接GD1,FC1,FG.因?yàn)镈1E=23DD1,AG=23AA1,DD1AA1,所以ED1AG,于是四邊形ED1GA為平行四邊形,故AEGD1.因?yàn)锽1F=13BB1,A1G=13AA1,BB1AA1,所以FGA1B1,FGC1D1,四邊形FGD1C1為平行四邊形,故GD1FC1.于是AEFC1.所以A,E,F,C1四點(diǎn)共面,即點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi).3.(1)證明設(shè)BD交AC于點(diǎn)O,連接PO,在菱形ABCD中,ACB

18、D,又PB=PD,O是BD的中點(diǎn),POBD,ACPO=O,AC平面PAC,PO平面PAC,BD平面PAC,又BD平面ABCD,故平面PAC平面ABCD.(2)解連接OM,M為PC的中點(diǎn),且O為AC的中點(diǎn),OMPA,由(1)知,BDPA,又PAAC,則BDOM,OMAC,又ACBD=O,OM平面ABCD.由題得OC=1,BD=23,則SBCD=12BDOC=12231=3,OM=12PA=3,VB-CDM=VM-BCD=13SBCDOM=1333=1.三棱錐B-CDM的體積為1.4.(1)證明由題意知BCD=ADC=90,BCED,且BC=CD=12AD=DE,所以四邊形BCDE是正方形,所以B

19、DCE,又因?yàn)锽CAE,BC=AE,所以四邊形ABCE是平行四邊形,所以CEAB,則BDAB.因?yàn)槠矫鍿AD平面ABCD,SAD=90,平面SAD平面ABCD=AD,故SA平面ABCD.所以SAAB=A,所以SABD,又因?yàn)镾AAB=A,則BD平面SAB.(2)解因?yàn)镾A=AD=2,BE=DE=1,所以BDE的面積為12,又由(1)知SA平面ABCD,則VS-BDE=13122=13,又在RtSAB中,SA=2,AB=DB=2,則SB=6,由(1)知BDSB,所以SBD的面積為1226=3,設(shè)點(diǎn)E到平面SBD的距離為h,則13SBDSh=13,即h=33.5.(1)證明取AC的中點(diǎn)為O,連接B

20、O,PO.在PAC中,PA=PC,O為AC的中點(diǎn),POAC,在BAC中,BA=BC,O為AC的中點(diǎn),BOAC,OPOB=O,OP平面OPB,OB平面OPB,AC平面OPB,PB平面POB,ACBP.(2)解在直角三角形ABC中,由AC=2,O為AC的中點(diǎn),得BO=1,在等腰三角形APC中,由APC=120,得PO=33,又PB=233,PO2+BO2=PB2,即POBO,又POAC,ACOB=O,PO平面ABC,由題可得PA=233,又AB=2,得SPAB=1222332-222=156.設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為h,由VP-ABC=VC-PAB,得13122232=13156h,解得h=355,故點(diǎn)C到平面PAB的距離為355.6.(1)證明如圖所示,取BD的中點(diǎn)F,BC的中點(diǎn)為G,連接AG,FG,EF,由題意可知,FG是BCD的中位線,所以FGAE,且FG=AE,即四邊形AEFG為平行四邊形,所以AGEF,又AE平面ABC,所以FG平面ABC,所以AGFG,又AGBC,BCFG=G,所以AG平面