5、北航理論力學(xué)生教學(xué)課件動(dòng)力學(xué)-5dn

1、1第五章 拉格朗日方程1. 動(dòng)力學(xué)普遍方程2. 拉格朗日方程 3. 拉格朗日方程的首次積分 25-4、拉格朗日方程的意義二、使得我們可以直接研究系統(tǒng)的定性性質(zhì)三、力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可由一個(gè)函數(shù)決定四、例：運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性一、將狀態(tài)變量與約束力解耦3穩(wěn)定性概念的來(lái)源：靜止(平衡)的穩(wěn)定性Torricelli(1644)：重力場(chǎng)中物體在重心取最低時(shí)才保持穩(wěn)定Lagrange(1788)：當(dāng)保守系統(tǒng)處于勢(shì)能的嚴(yán)格極小狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡。對(duì)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的系統(tǒng)研究始于Lagrange。例: 質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的自由振動(dòng)自由振動(dòng)：質(zhì)量塊受初始擾動(dòng)，僅在恢復(fù)力的作用下產(chǎn)生的振動(dòng)。運(yùn)動(dòng)方程：能量積分：能量積分：65-5

2、 第一類拉格朗日方程設(shè)：具有完整約束的非自由質(zhì)點(diǎn)系, 取m 個(gè)描述系統(tǒng)位置的參數(shù)(非廣義坐標(biāo))：即:但:取變分, 有:7由動(dòng)力學(xué)普遍方程:由于位置參數(shù)非獨(dú)立，因此 也非獨(dú)立. 所以 前的系數(shù)一般不為零. 8動(dòng)力學(xué)方程:從后一組方程解出 s 個(gè)變分, 代入前一個(gè)方程.9拉格朗日乘子法則等價(jià)于:10第一類拉格朗日方程11例：圖示機(jī)構(gòu)在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，均質(zhì)桿AB用光滑鉸鏈與滑塊連接。試用第一類拉格朗日方程建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。AB2L解：1、取 作為確定系統(tǒng)位置的參數(shù); 2、求系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì) 能 (拉格朗日函數(shù)) 12分別取:13運(yùn)動(dòng)方程:從第(2), (3)方程有:14考慮桿的受力:對(duì)桿應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)

3、定理:與前式比較得:15如果取:16動(dòng)力學(xué)方程的建立牛頓定律動(dòng)量定理動(dòng)量矩定理拉格朗日方程動(dòng)量定理運(yùn)動(dòng)規(guī)律+約束力運(yùn)動(dòng)規(guī)律+約束力17例：圖示機(jī)構(gòu)在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，均質(zhì)圓盤在地面上純滾動(dòng)，均質(zhì)桿AB用光滑鉸鏈與圓盤連接。求地面的約束力。AB=2lAB解：系統(tǒng)的主動(dòng)力均為有勢(shì)力拉格朗日函數(shù) 中不顯含廣義坐標(biāo)x和時(shí)間t系統(tǒng)的廣義動(dòng)量守恒研究整體：AB由動(dòng)量定理：拉格朗日方程 + 首次積分(循環(huán)積分+能量積分) + 初始條件19題5-23：代入拉格朗日方程:20兩式相加:兩式相減:21方程:的通解:方程:的特解:初條件:22本章總結(jié)動(dòng)力學(xué)普遍方程多用來(lái)求解系統(tǒng)在特殊位置時(shí)所具有的加速度拉格朗日方程建立系統(tǒng)在一般位