高一數(shù)學(xué)函數(shù)基礎(chǔ)知識

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載函數(shù)一章基礎(chǔ)知識一、映射與函數(shù)：（1）映射的概念：（2）一一映射：（3）函數(shù)的概念：如：若A1,2,3,4，Ba,b,c；問：A到B的映射有個，B到A的映射有個；A到B的函數(shù)有個，若A1,2,3，則A到B的一一映射有個。函數(shù)y(x)的圖象與直線xa交點(diǎn)的個數(shù)為個。二、函數(shù)的三要素：，。相同函數(shù)的判斷方法：；(兩點(diǎn)必須同時具備)（1）函數(shù)解析式的求法：定義法（拼湊）：換元法：待定系數(shù)法：賦值法：（2）函數(shù)定義域的求法：yf(x)g(x)，則；y2nf(x)(nN*)則；yf(x)0，則；如：ylogf(x)g(x)，則；含參問題的定義域要分類討論；如：已知函數(shù)yf(x)的定義域是

2、0,1，求(x)f(xa)f(xa)的定義域。對于實(shí)際問題，在求出函數(shù)解析式后；必須求出其定義域，此時的定義域要根據(jù)實(shí)際意義來確定。如：已知扇形的周長為20，半徑為r，扇形面積為S，則S（3）函數(shù)值域的求法：f(r)；定義域?yàn)?。配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；常轉(zhuǎn)化為型如：f的形式；(x)ax2bxc,x(m,n)逆求法（反求法）：通過反解，用y來表示x，再由x的取值范圍，通過解不等式，得出y的取值范圍；常用來解，型如：yaxb,x(m,n)；cxd換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來求值域；基本不等

3、式法：轉(zhuǎn)化成型如：yxk(k0)，利用平均值不等式公式來求值域；x單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。求下列函數(shù)的值域：yabx(a0,b0,ab,x1,1)（2種方法）；abxyx2x3x2x3,x(,0)（2種方法）；yxx1；,x(,0)（2種方法）三、函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性學(xué)習(xí)必備歡迎下載單調(diào)性：定義：注意定義是相對與某個具體的區(qū)間而言。判定方法有：定義法（作差比較和作商比較）導(dǎo)數(shù)法（適用于多項(xiàng)式函數(shù)）復(fù)合函數(shù)法和圖像法。應(yīng)用：比較大小，證明不等式，解不等式。奇偶性：定義：注意區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)對

4、稱，比較f(x)與f(-x)的關(guān)系。f(x)f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)為偶函數(shù)；f(x)+f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)為奇函數(shù)。判別方法：定義法，圖像法，復(fù)合函數(shù)法應(yīng)用：把函數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解。周期性：定義：若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+T)=f(x),則T為函數(shù)f(x)的周期。其他：若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+a)=f(xa),則2a為函數(shù)f(x)的周期.應(yīng)用：求函數(shù)值和某個區(qū)間上的函數(shù)解析式。四、圖形變換：函數(shù)圖像變換：（重點(diǎn)）要求掌握常見基本函數(shù)的圖像，掌握函數(shù)圖像變換的一般規(guī)律。常見圖像變化規(guī)律：（注意平移變化能夠用向量的語

5、言解釋，和按向量平移聯(lián)系起來思考）平移變換y=f(x)y=f(x+a),y=f(x)+b注意：（）有系數(shù)，要先提取系數(shù)。如：把函數(shù)()經(jīng)過平移得到函數(shù)()的圖象。（）會結(jié)合向量的平移，理解按照向量a（，）平移的意義。對稱變換y=f(x)y=f(x),關(guān)于軸對稱y=f(x)y=f(x),關(guān)于軸對稱y=f(x)y=f|x|,把軸上方的圖象保留，軸下方的圖象關(guān)于軸對稱y=f(x)y=|f(x)|把軸右邊的圖象保留，然后將軸右邊部分關(guān)于軸對稱。（注意：它是一個偶函數(shù)）伸縮變換：y=f(x)y=f(x),y=f(x)y=Af(x+)具體參照三角函數(shù)的圖象變換。一個重要結(jié)論：若f(ax)f(a+x)，則函

6、數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱；如：yf(x)的圖象如圖，作出下列函數(shù)圖象：（1）（yf(x)；2）yf(x)；yy=f(x)（9）(x)。（yf(|x|)；4）y|f(x)|；（3）（5）yf(2x)；6）yf(x1)；yf(x)1；（8）yf(x)；（7）1五、反函數(shù)：（1）定義：（2）函數(shù)存在反函數(shù)的條件：；（3）互為反函數(shù)的定義域與值域的關(guān)系：；O(2,0)(0,-1)x（4）求反函數(shù)的步驟：將yf(x)看成關(guān)于x的方程，解出xf1(y)，若有兩解，要注意解的選擇；將x,y互換，得yf1學(xué)習(xí)必備歡迎下載(x)；寫出反函數(shù)的定義域（即yf(x)的值域）。（5）互為反函數(shù)的圖象間的

7、關(guān)系：；（6）原函數(shù)與反函數(shù)具有相同的單調(diào)性；（7）原函數(shù)為奇函數(shù)，則其反函數(shù)仍為奇函數(shù)；原函數(shù)為偶函數(shù)，它一定不存在反函數(shù)。f(x)x22x3(x0)；f(x)2；f(x)log2(x0)如：求下列函數(shù)的反函數(shù)：七、常用的初等函數(shù)：xx2x12x1（1）一元一次函數(shù)：（2）一元二次函數(shù)：yaxb(a0)，當(dāng)a0時，是增函數(shù)；當(dāng)a0時，是減函數(shù)；一般式：兩點(diǎn)式：頂點(diǎn)式：yax2bxc(a0)；對稱軸方程是；頂點(diǎn)為；ya(xx)(xx)；對稱軸方程是；與x軸的交點(diǎn)為；12ya(xk)2h；對稱軸方程是；頂點(diǎn)為；一元二次函數(shù)的單調(diào)性：當(dāng)a0時：為增函數(shù)；為減函數(shù)；當(dāng)a0時：為增函數(shù)；為減函數(shù)；二次

8、函數(shù)求最值問題：首先要采用配方法，化為ya(xk)2h的形式，、若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在給定的區(qū)間上，則a0時：在頂點(diǎn)處取得最小值，最大值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得；a0時：在頂點(diǎn)處取得最大值，最小值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得；、若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不在給定的區(qū)間上，則a0時：最小值在距離對稱軸較近的端點(diǎn)處取得，最大值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得；a0時：最大值在距離對稱軸較近的端點(diǎn)處取得，最小值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得；有三個類型題型：(1)頂點(diǎn)固定，區(qū)間也固定。如：yx2x1,x1,1(2)頂點(diǎn)含參數(shù)(即頂點(diǎn)變動)，區(qū)間固定，這時要討論頂點(diǎn)橫坐標(biāo)何時在區(qū)間之內(nèi)，何時在區(qū)間之外。(3)頂點(diǎn)固定，區(qū)

9、間變動，這時要討論區(qū)間中的參數(shù)二次方程實(shí)數(shù)根的分布問題：設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程yx2x1,xa,a1f(x)ax2bxc0的兩根為x,x12；則：根的情況xxk12xxk12xkx12等價命題在區(qū)間(k,)上有兩根在區(qū)間(,k)上有兩根在區(qū)間(k,)或(,k)上有一根充要條件學(xué)習(xí)必備歡迎下載注意：若在閉區(qū)間m,n討論方程f(x)0有實(shí)數(shù)解的情況，可先利用在開區(qū)間(m,n)上實(shí)根分布的情況，得出結(jié)果，在令xn和xm檢查端點(diǎn)的情況。ac（3）反比例函數(shù)：y(x0)yaxxb（4）指數(shù)函數(shù)：yax(a0,a1)指數(shù)運(yùn)算法則：；。指數(shù)函數(shù)：y=ax(ao,a1)，圖象恒過點(diǎn)（0，1），單調(diào)性與a的值有關(guān)

10、，在解題中，往往要對a分a1和0ao,a1)圖象恒過點(diǎn)（1，0），單調(diào)性與a的值有關(guān)，在解題中，往往要對a分a1和0a1兩種情況進(jìn)行討論，要能夠畫出函數(shù)圖象的簡圖。注意：（1）yax與ylogx的圖象關(guān)系是；a（2）比較兩個指數(shù)或?qū)?shù)的大小的基本方法是構(gòu)造相應(yīng)的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，若底數(shù)不相同時轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的指數(shù)或?qū)?shù)，還要注意與1比較或與0比較。（3）已知函數(shù)f(x)log(x2kx2)的定義域?yàn)镽，求k的取值范圍。12已知函數(shù)f(x)log(x2kx2)的值域?yàn)镽，求k的取值范圍。12六、yxk(k0)的圖象：x定義域：；值域：；奇偶性：；單調(diào)性：是增函數(shù)；是減函數(shù)。七、補(bǔ)充內(nèi)容：抽象函數(shù)的性

11、質(zhì)所對應(yīng)的一些具體特殊函數(shù)模型：xf(xx)f(x)f(x)正比例函數(shù)f(x)kx(k0)1212f(xx)f(x)f(x)；f(xx)f(x)f(x)；12121212f(xx)f(x)f(x)；f(x1)f(x)f(x)；1212122f(x)f(x)2f(xx2212xx12)f(12)；學(xué)習(xí)必備歡迎下載函數(shù)一章要注意的問題1函數(shù)的幾個重要性質(zhì)：如果函數(shù)yfx對于一切xR，都有faxfax，那么函數(shù)yfx的圖象關(guān)于直線xa對稱.函數(shù)yfx與函數(shù)yfx的圖象關(guān)于直線x0對稱；函數(shù)yfx與函數(shù)yfx的圖象關(guān)于直線y0對稱；函數(shù)yfx與函數(shù)yfx的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱.函數(shù)yfax與函數(shù)yfa

12、x的圖象關(guān)于直線x0對稱.若奇函數(shù)yfx在區(qū)間0,上是遞增函數(shù)，則yfx在區(qū)間,0上也是遞增函數(shù)若偶函數(shù)yfx在區(qū)間0,上是遞增函數(shù)，則yfx在區(qū)間,0上是遞減函數(shù)函數(shù)yfxa(a0)的圖象是把函數(shù)yfx的圖象沿x軸向左平移a個單位得到的；函數(shù)yfxa(a0)的圖象是把函數(shù)yfx的圖象沿x軸向右平移a個單位得到的；函數(shù)yfx+a(a0)的圖象是把函數(shù)yfx助圖象沿y軸向上平移a個單位得到的;函數(shù)yfx+a(a0)的圖象是把函數(shù)yfx助圖象沿y軸向下平移a個單位得到的.函數(shù)yfax(a0)的圖象是把函數(shù)yfx的圖象沿x軸伸縮為原來的1a得到的；函數(shù)yafx(a0)的圖象是把函數(shù)yfx的圖象沿y軸

13、伸縮為原來的a倍得到的.2求一個函數(shù)的解析式和一個函數(shù)的反函數(shù)時，你標(biāo)注了該函數(shù)的定義域了嗎？3函數(shù)與其反函數(shù)之間的一個有用的結(jié)論：f1abfba.14原函數(shù)yfx在區(qū)間a,a上單調(diào)遞增，則一定存在反函數(shù)，且反函數(shù)yfx也單調(diào)遞增；但一個函數(shù)存在反函數(shù)，此函數(shù)不一定單調(diào)5判斷一個函數(shù)的奇偶性時，你注意到函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱這個必要非充分條件了嗎？6根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性時，規(guī)范格式是什么？(取值,作差,判正負(fù).)學(xué)習(xí)必備歡迎下載10.你知道函數(shù)yaxba0,b0的單調(diào)區(qū)間嗎？（該函數(shù)在,ab或ab,x上單調(diào)遞增；在ab,0或0,ab上單調(diào)遞減）這可是一個應(yīng)用廣泛的函數(shù)！11.解對數(shù)函數(shù)問題時，你注意到真數(shù)與底數(shù)的限制條件了嗎？（真數(shù)大于零，底數(shù)大于零