清華在線GCT數(shù)學(xué)必知公式

1、數(shù)學(xué)解題必知公式第一章 算 術(shù)【備考要點(diǎn)】算術(shù)部分重點(diǎn)考查的是數(shù)的概念和性質(zhì)，四則運(yùn)算及運(yùn)用，比和比例。這部分看似簡(jiǎn)單，但往往有考生在簡(jiǎn)單題目上出錯(cuò)，所以在解題過(guò)程中要比其它題目更加細(xì)心?！窘忸}技巧】（一）必知公式數(shù)的概念與性質(zhì)自然數(shù)：0，1，2，整數(shù)：，2，1，0，1，2， 分?jǐn)?shù)：將單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。 百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)，通常用“”來(lái)表示。 數(shù)的整除：當(dāng)整數(shù)a除以非零整數(shù)b，商正好是整數(shù)而無(wú)余數(shù)時(shí)，則成 a能被b整除或b能整除a。 倍數(shù)，約數(shù)：當(dāng)a能被b整除時(shí)，稱a是b的倍數(shù)，b是a的約數(shù)。 素?cái)?shù)：只有1和它本身兩個(gè)

2、約數(shù)的數(shù)。 合數(shù)：除了1和它本身還有其它約數(shù)的數(shù)； 互質(zhì)數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)稱為互質(zhì)數(shù)。數(shù)的四則運(yùn)算數(shù)的加、減、乘、除法運(yùn)算定律：加法交換律 加法結(jié)合律 乘法交換律 乘法結(jié)合律 乘法分配律 運(yùn)算性質(zhì)：交換性質(zhì) 結(jié)合性質(zhì) 比和比例比的定義：兩個(gè)數(shù)相除，又稱為這兩個(gè)數(shù)的比，即；比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同乘（除）以同一個(gè)非零的數(shù)，其比值不變。比例的定義：兩個(gè)比相等時(shí)，稱為比例，用字母表示為或比例的性質(zhì)：（外項(xiàng)積內(nèi)項(xiàng)積）或（互換外項(xiàng)或內(nèi)項(xiàng)）（合比定理）（分比定理）（合分比定理）第二章 初等代數(shù) 這部分主要考查代數(shù)等式和不等式的變換和計(jì)算。包括：實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)；乘方和開方；代數(shù)式的運(yùn)算和因式分解；方程和

3、不等式的解法；數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)列；二項(xiàng)式定理，排列，組合和概率及統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)等。第一節(jié) 數(shù)和代數(shù)式【備考要點(diǎn)】 數(shù)與代數(shù)式部分主要考察實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的概念和簡(jiǎn)單的性質(zhì)，以及它們的四則運(yùn)算與運(yùn)用，來(lái)培養(yǎng)數(shù)學(xué)的運(yùn)算能力。根據(jù)數(shù)的概念、公式、原理、法則，進(jìn)行數(shù)、式、方程的正確運(yùn)算和變形；通過(guò)已知條件分析，尋求與設(shè)計(jì)合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑。【解題技巧】（一）必知公式實(shí)數(shù)的運(yùn)算乘方與開方（乘積與分式的方根、根式的乘方與化簡(jiǎn)） ， ， ， .絕對(duì)值的性質(zhì) ，.復(fù)數(shù)基本概念：虛數(shù)單位是；對(duì)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)是，幅角，其中；它的實(shí)部是，虛部是。它的共軛復(fù)數(shù)是?；拘问酱鷶?shù)形式：，三角形式：，指數(shù)形式：復(fù)數(shù)的運(yùn)算及其幾何意義

4、加法：，數(shù)乘：，乘法：， ，除法：代數(shù)式（單項(xiàng)式、多項(xiàng)式）幾個(gè)常用公式（和與差的平方，和與差的立方，平方差，立方和，立方差等）簡(jiǎn)單代數(shù)式的因式分解多項(xiàng)式的除法第二節(jié) 集合、映射和函數(shù)【備考要點(diǎn)】集合、映射和函數(shù)主要考察集合的概念，集合的子交并補(bǔ)的性質(zhì)；函數(shù)的概念，及函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性的判斷和應(yīng)用；冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的初等性質(zhì)。以此來(lái)培養(yǎng)數(shù)學(xué)的邏輯推理能力：對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括；能用演繹、歸納和類比進(jìn)行推理?！窘忸}技巧】（一）必知公式1集合（1）概念空集；集合的表示法：；幾個(gè)常用的集合：N，Z，Q，R，C。（2）包含關(guān)系子集；真子集；兩個(gè)集合

5、相等的條件且；子集的個(gè)數(shù)的計(jì)算。（3）運(yùn)算交集、并集、補(bǔ)集、全集、運(yùn)算律、摩根律：， 2函數(shù)（1）概念函數(shù)的兩個(gè)要素是：定義域和對(duì)應(yīng)法則。反函數(shù)的概念，若在原函數(shù)的圖像上，則在它的反函數(shù)圖像上。（2）簡(jiǎn)單性質(zhì)函數(shù)的四個(gè)性質(zhì)：有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性的定義和判斷的方法。有界性：； 奇偶性：奇函數(shù)：， 偶函數(shù)：；周期性：。一個(gè)關(guān)于周期函數(shù)的重要的變換：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖像和常用公式。，第三節(jié) 代數(shù)方程和簡(jiǎn)單的超越方程【備考要點(diǎn)】 代數(shù)方程和簡(jiǎn)單的超越方程主要考察方程的求解，函數(shù)性質(zhì)在方程中的應(yīng)用。來(lái)培養(yǎng)數(shù)學(xué)的綜合解決問(wèn)題的能力：理解和分析用數(shù)學(xué)語(yǔ)言所表述的問(wèn)題，列出方

6、程；綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)的知識(shí)和思想方法解出方程?！窘忸}技巧】（一）必知公式1一元一次方程、二元一次方程一元一次方程的形式是 ，其中，它的根為.二元一次方程組的形式是，如果，則方程組有唯一解. 一元二次方程 一元二次方程的形式是判別式：求根公式：根與系數(shù)的關(guān)系：，二次函數(shù)的圖像以為對(duì)稱軸，為頂點(diǎn)的拋物線。簡(jiǎn)單的指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程例如：等，像這樣的方程可用換元法化為代數(shù)方程來(lái)求解。第四節(jié) 不等式【備考要點(diǎn)】 不等式主要考察不等式的解法和不等式的應(yīng)用。來(lái)培養(yǎng)數(shù)學(xué)的計(jì)算能力和綜合解決問(wèn)題的能力。【解題技巧】（一）必知公式1. 不等式的基本性質(zhì)及基本不等式：算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)、絕對(duì)值不等式。幾種常見的不等

7、式解法絕對(duì)值不等式、一元二次不等式、分式不等式、指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式等。(二)真題例解特殊值法通過(guò)選取合適的特殊值，將正確選項(xiàng)找出是處理選擇題的最有效方法之一。求導(dǎo)數(shù)法這種方法在處理不等式問(wèn)題時(shí)很可行，在第一章節(jié)我們也用到了這種方法。第五節(jié) 數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法【備考要點(diǎn)】 數(shù)列主要考察數(shù)列的概念，等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和及應(yīng)用。數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的證明關(guān)于自然數(shù)問(wèn)題的方法。以此來(lái)培養(yǎng)綜合解決問(wèn)題的能力。【解題技巧】（一）必知公式1. 數(shù)列的概念數(shù)列的形式： 通項(xiàng)為，前n項(xiàng)和為 ，2.等差數(shù)列概念 定義：，通項(xiàng)：，前n項(xiàng)和：簡(jiǎn)單性質(zhì)：中項(xiàng)公式、平均值 ， 3.等比數(shù)列概念 定義：，通項(xiàng)：，前n

8、項(xiàng)和：簡(jiǎn)單性質(zhì)：中項(xiàng)公式： 4.數(shù)學(xué)歸納法證明：第六節(jié) 排列、組合、二項(xiàng)式定理和古典概率【備考要點(diǎn)】 排列、組合、二項(xiàng)式定理主要是為概率論來(lái)服務(wù)的，主要考察排列和組合的定義。古典概率是現(xiàn)代概率的基礎(chǔ)，主要考察等可能事件概率的計(jì)算。以此來(lái)培養(yǎng)理解實(shí)際問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力?！窘忸}技巧】（一）必知公式加法原理如果完成一件事可以有n類辦法，在第i類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。乘法原理如果完成一件事需要分成n個(gè)步驟，做第i步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。排列與排列數(shù)定義：從n個(gè)不同的元素中任取m個(gè)，按照一定的順序排成一列，稱為從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列

9、；所有這些排列的個(gè)數(shù)，稱為排列數(shù)，記為。排列數(shù)公式：注：階乘（全排列）組合與組合數(shù)定義：從n個(gè)不同的元素中任取m個(gè)并成一個(gè)組，稱為從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合；所有這些組合的個(gè)數(shù)，稱為組合數(shù)，記為。組合數(shù)公式：基本性質(zhì)：，二項(xiàng)式定理古典概率的基本概念樣本空間、樣本點(diǎn)、隨機(jī)事件、基本事件、必然事件、不可能事件、和事件、積事件、互不相容事件、對(duì)立事件。概率的概念與性質(zhì)定義（非負(fù)性、規(guī)范性、可加性）；性質(zhì):，7幾種特殊事件發(fā)生的概率（1）等可能事件（古典概型） （2）互不相容事件 對(duì)立事件 （3）相互獨(dú)立事件 （4）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這

10、個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為第三章 幾何與三角這部分主要考查三角形、四邊形、圓形以及多邊形等平面幾何圖形的角度、周長(zhǎng)、面積等計(jì)算和運(yùn)用；長(zhǎng)方體、正方體以及圓柱體等各種規(guī)范立體圖形的表面積和體積的計(jì)算和運(yùn)用；三角學(xué)；以及解析幾何方面的知識(shí)等。第一節(jié) 平面幾何圖形【備考要點(diǎn)】平面幾何部分重點(diǎn)考查的是三角形、四邊形、圓形以及（正）多邊形等平面幾何圖形的角度、周長(zhǎng)、面積等計(jì)算和運(yùn)用；【解題技巧】（一）必知公式1三角形（1）三角形內(nèi)角之和 三角形外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。（2）三角形面積公式，其中是邊上的高，C是邊所夾的角，為三角形的半周長(zhǎng)。（3）三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，即（4）幾種特殊三

11、角形（直角、等腰、等邊）勾股定理：等腰直角三角形的三邊之比：2四邊形（1）矩形（正方形）矩形兩邊長(zhǎng)為，面積為，周長(zhǎng)，對(duì)角線長(zhǎng)。（2）平行四邊形（菱形）平行四邊形兩邊長(zhǎng)是，以 為底邊的高為，面積為，周長(zhǎng)。（3）梯形 上底為，下底為，高為，中位線，面積為。3圓和扇形（1）圓 圓的圓心為O,半徑為r，直徑為d,則周長(zhǎng)為面積是。（2）扇形 扇形OAB中，圓心角為，則AB弧長(zhǎng)扇形面積 空間幾何體【備考要點(diǎn)】空間幾何體部分重點(diǎn)考查的是長(zhǎng)方體、正方體以及圓柱體等各種規(guī)范立體圖形的表面積和體積的計(jì)算和運(yùn)用，所以記牢一些基本立方體的體積及表面積很關(guān)鍵?！窘忸}技巧】必知公式長(zhǎng)方體 設(shè)長(zhǎng)方體的3條相鄰的棱邊長(zhǎng)是a,

12、b,c.體積：全面積：對(duì)角線長(zhǎng)：2圓柱體 設(shè)圓柱體的高為，底半徑為R.體積：側(cè)面積： 全面積： . 3正圓錐體設(shè)正圓錐體的高為，底半徑為R.體積：母線：側(cè)面積： ，其側(cè)面展開圖為一扇形，該扇形的圓心角為全面積： . 4球設(shè)球半徑為R體積： 面積： 三角學(xué)【備考要點(diǎn)】三角學(xué)部分重點(diǎn)考查的是三角函數(shù)的定義及，常用的三角函數(shù)恒等式，反三角函數(shù)的定義及性質(zhì)，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值也是很有必要的?！窘忸}技巧】必知公式1定義（符號(hào)、特殊角的三角函數(shù)值）2三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)3常用的三角函數(shù)恒等式，4反三角函數(shù)，； ，；，； ，5正弦定理和余弦定理（1）正弦定理（2）余弦定理；第四節(jié) 平面解析幾何【備考

13、要點(diǎn)】平面解析幾何部分重點(diǎn)考查的是平面直線方程，直線之間的位置關(guān)系及點(diǎn)到直線的距離，常見圓錐曲線，如橢圓，拋物線和雙曲線的方程及性質(zhì)。【解題技巧】必知公式一、平面直線1直線方程點(diǎn)斜式：；斜截式：；截距式：；一般式：2兩條直線的位置關(guān)系（相交、平行、垂直、夾角）：； ：3點(diǎn)到直線的距離：，點(diǎn)到的距離為二、圓錐曲線1圓：到一定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合方程：2橢圓（1）定義：到兩點(diǎn)距離之和為一常數(shù)的點(diǎn)的集合。（2）方程：，其中， 為焦點(diǎn)；（3）離心率：（4）準(zhǔn)線： 3雙曲線（1）定義：到兩點(diǎn)距離之差為一常數(shù)的點(diǎn)的集合。（2）方程：， 為焦點(diǎn)；（3）離心率：（4）漸近線：（5）準(zhǔn)線： 4拋物線（1）定義：

14、到一定點(diǎn)與到一定直線的距離相等的點(diǎn)的集合。（2）方程：，焦點(diǎn)為， （3）離心率：（4）準(zhǔn)線：第四章 一元函數(shù)微積分 這部分主要考查極限與連續(xù)，導(dǎo)數(shù)的概念，求導(dǎo)法則及基本求導(dǎo)公式，高階導(dǎo)數(shù)，微分的概念即微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，不定積分和定積分的概念，牛頓-萊布尼茲公式，不定積分和定積分的計(jì)算，定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用等。第一節(jié) 極限與連續(xù)【備考要點(diǎn)】函數(shù)是數(shù)學(xué)研究中一個(gè)非常重要的對(duì)象， 為了清楚地了解函數(shù)，求極限是考察函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)基本的方法。因此要求考生學(xué)習(xí)和掌握一些常見函數(shù)的基本定義，極限的求法。同時(shí)掌握函數(shù)連續(xù)性的定義、熟練掌握極限的運(yùn)算法則并能夠求一些初等函數(shù)和數(shù)列的極限。【解題技巧】（一）必知

15、公式 1極限四則運(yùn)算法則。2兩個(gè)基本極限公式 ， 一元函數(shù)微分學(xué)【備考要點(diǎn)】這一節(jié)要求考生學(xué)習(xí)和掌握導(dǎo)數(shù)的基本概念和定義，求導(dǎo)法則及基本求導(dǎo)公式，高階導(dǎo)數(shù)，微分。同時(shí)還需要掌握微分中值定理與導(dǎo)數(shù)初等應(yīng)用?！窘忸}技巧】（一）必知公式1初等函數(shù)求導(dǎo)公式 2導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則（1）(“數(shù)乘”)對(duì)任意常數(shù)，。（2）（“加減法”）對(duì)任意常數(shù) , （3）（“乘積”）（4）（“除法”），（）。3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 已知 則。4微分的四則運(yùn)算法則（1）(“數(shù)乘”)對(duì)任意常數(shù)，。（2）（“加減法”）對(duì)任意常數(shù) , （3）（“乘積”）（4）（“除法”），（）。5 中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用： 拉格郎日中值定理： 一元函數(shù)積

16、分學(xué)【備考要點(diǎn)】這一節(jié)要求考生學(xué)習(xí)和掌握不定積分和定積分的概念，牛頓-萊布尼茲公式，不定積分和定積分的計(jì)算，定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用。【解題技巧】（一）必知公式1.常用不定積分公式 (1) (k是常數(shù))， (2)，(3)， (4)=arctanx+C，(5)， (6)(7) (8)2. 不定積分的運(yùn)算法則（1）(“數(shù)乘”)對(duì)任意常數(shù)，。（2）（“加減法”）對(duì)任意常數(shù) , 3.分部積分公式4.換元積分法（i）若 則 稱之為第一換元積分法。 （ = 2 * roman ii）“反過(guò)來(lái)”， 又若, 稱之為第二換元積分法.【注】 對(duì)于定積分有類似于上面的公式。5.牛頓-萊布尼茨公式如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的

17、一個(gè)原函數(shù)，則. 6.定積分的應(yīng)用平面圖形的面積求函數(shù)和與兩條直線所圍圖形的面積。第五章 線性代數(shù)【備考要點(diǎn)】線性代數(shù)部分的考點(diǎn)主要包括行列式，矩陣，向量，線性方程組和特征值問(wèn)題五個(gè)部分。其中行列式部分主要考查行列式的概念和性質(zhì)，行列式展開定理，行列式的計(jì)算；矩陣部分主要考查矩陣的概念，矩陣的運(yùn)算，逆矩陣，矩陣的初等變換；向量部分主要考查向量組的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)，向量組的秩和矩陣的秩；線性方程組主要考查線性方程組的克萊姆法則，線性方程組解的判別法則，齊次和非齊次線性方程組的求解；特征值問(wèn)題主要考查特征值和特征向量的概念，相似矩陣，特征值和特征向量的計(jì)算，n階矩陣可化為對(duì)角矩陣的條件和方法。行

18、列式行列式是線性代數(shù)的一個(gè)重要工具。線性代數(shù)中很多重要的問(wèn)題都可以用行列式來(lái)討論，例如，n階行列式可以用來(lái)判斷n元向量的線性相關(guān)性，判別矩陣是否可逆，判別系數(shù)矩陣為方陣的線性方程組的解是否唯一，當(dāng)有唯一解時(shí)還可以用克萊姆法則求線性方程組的解，還可以用來(lái)求矩陣的特征值。因此，就備考GCT考試來(lái)說(shuō)，掌握行列式是至關(guān)重要的第一站?！窘忸}技巧】【必知公式】行列式的定義： 一階行列式定義為 二階行列式定義為 在n階行列式中，劃去元素所在的第行和第列，剩余元素構(gòu)成n-1階行列式，成為元素的余子式，記做。 令，則稱為的代數(shù)余子式。 n階行列式的定義為+行列式的性質(zhì)： 行列式中行列互換，其值不變 行列式中兩行

19、（列）對(duì)換，其值變號(hào) 行列式中如果某行（列）元素有公因子，可以將公因子提到行列式外 行列式中如果有一行（列）每個(gè)元素都由兩個(gè)數(shù)之和組成，行列式可以拆成兩個(gè)行列式的和由以上四條性質(zhì)，還能推出下面幾條性質(zhì)： 行列式中如果有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)相等，則行列式的值為0 行列式中如果有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例，則行列式為 0 行列式中如果有一行（列）元素全為0，則行列式值為 0 行列式中某行（列）元素的倍加到另一行（列），則其值不變n階行列式的展開性質(zhì)：=等于它的任意一行的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積和，即+ 按列展開定理+ n階行列式的某一行的各元素與另一行對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積和等與零，即+0

20、 按列展開的性質(zhì) +0 特殊行列式 ； 上（下）三角行列式和上面的對(duì)角行列式的結(jié)果相同。第二節(jié) 矩 陣 矩陣是線性代數(shù)中最重要的研究對(duì)象，熟練掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、求逆和初等變換等運(yùn)算是學(xué)好線性代數(shù)的重要基礎(chǔ)。【解題技巧】【必知公式】 矩陣的概念和運(yùn)算矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、方陣的冪乘的定義及性質(zhì)。 矩陣乘法定義： 矩陣乘法不滿足交換律和消去律。滿足結(jié)合律和左（右）乘分配律。若A可逆，則B=C A，B是n階方陣，則 2逆矩陣 定義：對(duì)方陣A，若存在方陣B使得AB=BA=I A可逆 公式： , 3伴隨矩陣 定義： 基本關(guān)系式： 與逆矩陣的關(guān)系： 行列式：4矩陣方程 設(shè)A是n階方

21、陣，B是矩陣，若A可逆，則矩陣方程有解，其解為. 設(shè)A是n階方陣，B是矩陣，若A可逆，則矩陣方程有解，其解為.5矩陣的秩 在矩陣A中，任取k行k列，位于這k行k列交叉處的個(gè)元素按其原來(lái)的次序組成一個(gè)k階行列式，稱為A的一個(gè)k階子式。 若矩陣A中有一個(gè)r階子式不為零，而所有r1階子式全為零，則稱矩陣A的秩為r，記作r(A). 顯然有 ， ； A中有一個(gè)r階子式不為零； A中所有r1階子式全為零；對(duì)于n階方陣A，； 對(duì)于n階方陣A，若，則稱A是滿秩方陣。6矩陣的秩有以下一些常用的性質(zhì)： , ，（）； ； ，； ，其中n為矩陣A的列數(shù)；若，則。 若A可逆，則；若B可逆，則。 第三節(jié) 向 量【必知公式

22、】1向量組的線性組合與線性表示 設(shè)是n維向量，是數(shù)，則稱為向量的一個(gè)線性組合。 若，則稱可由線性表出。2線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)定義：設(shè)是n維向量，若存在不全為零的數(shù)，使得0，則稱線性相關(guān)，否則稱為線性無(wú)關(guān)。定理：若線性無(wú)關(guān)，而，線性相關(guān)，則可由線性表出，且表示法唯一。判斷 設(shè)是n維向量，線性相關(guān)存在某個(gè)向量可被其余s1個(gè)向量線性表出。 n個(gè)n維向量線性相關(guān)。 n1個(gè)n維向量必線性相關(guān)。 增加向量組向量的個(gè)數(shù)，不改變向量組的線性相關(guān)性； 減少向量組向量的個(gè)數(shù)，不改變向量組的線性無(wú)關(guān)性。 增加向量組向量的維數(shù)，不改變向量組的線性無(wú)關(guān)性； 減少向量組向量的維數(shù)，不改變向量組的線性相關(guān)性。 含有零向量的向

23、量組必線性相關(guān)。 含有兩個(gè)相同向量的向量組必線性相關(guān)。3向量組的秩和極大線性無(wú)關(guān)組定義：設(shè)向量組是向量組的一個(gè)部分組，滿足（1）線性無(wú)關(guān)；（2）向量組的每一個(gè)向量都可以由向量組線性表示出，則稱是向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。向量組的極大線性無(wú)關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩。求法 任何矩陣都可以通過(guò)矩陣的行初等變換化作階梯形。 求極大線性無(wú)關(guān)組的步驟：（1）將向量依次按列寫成矩陣；（2）對(duì)矩陣施行行初等變換，化作階梯形；（3）主元所在列標(biāo)對(duì)應(yīng)到原向量構(gòu)成一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。例如（行初等變換）主元所在列是第1列、第2列、第4列，因此的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組是，且。4向量組的秩與矩陣的秩 設(shè)A是矩

24、陣，將矩陣的每個(gè)行看作行向量，矩陣m個(gè)行向量構(gòu)成一個(gè)向量組，該向量組的秩稱為矩陣的行秩。 將矩陣的每個(gè)列看作列向量，矩陣的n個(gè)列向量構(gòu)成一個(gè)向量組，該向量組的秩稱為矩陣的列秩。 矩陣的行秩矩陣的列秩矩陣的秩。（三秩相等）第四節(jié) 線性方程組【必知公式】1齊次線性方程組有非零解的判定條件 設(shè)，齊次線性方程組AX=O 有非零解r(A)n； AX=O只有零解 r(A)0，即系數(shù)矩陣滿秩。 設(shè)A是n階方陣，齊次方程組AX=O 有非零解；AX=O只有零解. 設(shè)，當(dāng)mn時(shí)，齊次線性方程組AX=O 必有非零解。2齊次線性方程組解的性質(zhì)若是齊次線性方程組AX=O的解，則和仍是AX=O的解；若是齊次線性方程組AX

25、=O的解，則的任意常數(shù)倍仍是AX=O的解。3齊次線性方程組AX=O解的結(jié)構(gòu) AX=O的一個(gè)基礎(chǔ)解系.其要點(diǎn)為：（1）都是AX=O的解；（2）它們是線性無(wú)關(guān)的；（3）AX=O的任何一個(gè)解都可以由它們線性表出。因此基礎(chǔ)解系往往不是唯一的。 若n元齊次線性方程組AX=O的系數(shù)矩陣A的秩r(A)=r，則基礎(chǔ)解系中含有nr個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量。（這一點(diǎn)和上面的（3）等價(jià)，即t=nr） 若是齊次線性方程組AX=O的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則齊次線性方程組AX=O的通解（一般解）是 其中是任意常數(shù)。 解齊次線性方程組AX=O的基本方法解齊次線性方程組AX=O的基本步驟：（1）對(duì)系數(shù)矩陣作矩陣的初等行變換，化作行階梯形；（2）假設(shè)有r個(gè)非