平穩(wěn)時間序列模型的性質概述1課件

1、第一節(jié) 自回歸過程的性質一、一階自回歸過程AR(1)的性質二、二階自回歸過程AR(2)的性質三、p階自回歸過程AR(p)的性質2022/7/181第四章 時間序列模型的性質一、一階自回歸過程AR(1)的性質一階自回歸模型的形式為：或2022/7/182第四章 時間序列模型的性質1、平穩(wěn)性和可逆性a.可逆性：一個有限階的自回歸模型總是可逆的，所以，ar(1)模型總是可逆的。B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性， 的根必須在單位圓外，即應有：2022/7/183第四章 時間序列模型的性質2.ar(1)過程的自相關函數2022/7/184第四章 時間序列模型的性質2022/7/185第四章 時間序列模型的性質2

2、022/7/186第四章 時間序列模型的性質2022/7/187第四章 時間序列模型的性質通過上述推導可看出，當過程平穩(wěn)即 時，AR(1)過程的自相關函數（ACF）呈指數衰減。如果 ，那么所有的自相關系數都為正，并逐漸衰減。如果 ， 自相關系數的符號以負號開始，并呈正、負交替逐漸衰減。2022/7/188第四章 時間序列模型的性質例1，下面兩圖表分別是模擬生成的249個數據如下AR(1)過程趨勢圖和自相關圖2022/7/189第四章 時間序列模型的性質-6-4-202482848688909294969800例1，模擬生成的AR(1)過程趨勢圖2022/7/1810第四章 時間序列模型的性質例

3、1：模擬生成的AR(1)過程自相關圖:呈指數衰減2022/7/1811第四章 時間序列模型的性質例2，下面兩圖表分別是模擬生成的249個數據如下AR(1)過程趨勢圖和自相關圖2022/7/1812第四章 時間序列模型的性質-6-4-2024682848688909294969800Y例2，模擬生成的AR(1)過程趨勢圖2022/7/1813第四章 時間序列模型的性質例2：模擬生成的AR(1)過程自相關圖:呈正負交替指數衰減2022/7/1814第四章 時間序列模型的性質3.AR(1)過程的偏自相關函數（PACF）A.偏自相關函數的一般公式2022/7/1815第四章 時間序列模型的性質2022

4、/7/1816第四章 時間序列模型的性質2022/7/1817第四章 時間序列模型的性質2022/7/1818第四章 時間序列模型的性質2022/7/1819第四章 時間序列模型的性質B.AR(1)過程的偏自相關函數2022/7/1820第四章 時間序列模型的性質上述結論說明：AR (1)過程的偏自相關函數(PACF)在滯后一階有一峰值，其符號取決于 。滯后一階以后PACF截尾。2022/7/1821第四章 時間序列模型的性質另一種思路：根據定義：偏自相關函數是指扣除Xt和Xt-k之間的隨機變量Xt-1,Xt-2, Xt-k-1等影響之后的Xt和Xt-k之間的相關性。對于p階自回歸過程，當sp

5、時，xt與xt-s有直接的相關性；而sp時，兩者沒有直接的相關性。因此，對于AR(p)過程，在模型的滯后階數以內，通常有非零的偏自相關系數；但在滯后階數以外，偏自相關系數則為零。2022/7/1822第四章 時間序列模型的性質例1：模擬生成的AR(1)過程自相關圖:滯后一階以后截尾2022/7/1823第四章 時間序列模型的性質例2：模擬生成的AR(1)過程自相關圖:滯后一階以后截尾2022/7/1824第四章 時間序列模型的性質4.AR(1)過程的傳遞形式和格林函數2022/7/1825第四章 時間序列模型的性質二、二階自回歸AR(2)過程的性質二階自回歸模型的形式為：或2022/7/182

6、6第四章 時間序列模型的性質B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性， 的根必須在單位圓外.1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：ar(2)模型總是可逆的。2022/7/1827第四章 時間序列模型的性質2.AR(2)過程的自相關函數2022/7/1828第四章 時間序列模型的性質2022/7/1829第四章 時間序列模型的性質2022/7/1830第四章 時間序列模型的性質2022/7/1831第四章 時間序列模型的性質通過上述推導可以如下結論，在AR(2)過程的平穩(wěn)性條件滿足時，如果特征方程的根為實根，即 時，AR(2)的自相關函數呈指數衰減。如果特征方程的根為復根，即 時，AR(2)的自相關函數呈阻尼正弦波衰減

7、。2022/7/1832第四章 時間序列模型的性質3.AR(2)過程的偏自相關函數2022/7/1833第四章 時間序列模型的性質2022/7/1834第四章 時間序列模型的性質另一種思路：直接根據定義2022/7/1835第四章 時間序列模型的性質通過上述證明可以得出如下結論：2022/7/1836第四章 時間序列模型的性質例1，下面兩圖表分別是模擬生成的250個數據如下AR(2)過程趨勢圖和自相關圖2022/7/1837第四章 時間序列模型的性質-4-202482848688909294969800例1.模擬生成的AR(2)過程趨勢圖2022/7/1838第四章 時間序列模型的性質例1.模

8、擬生成的AR(2)過程自相關圖呈混合指數衰滯后二階以后截尾2022/7/1839第四章 時間序列模型的性質例2，下面兩圖表分別是模擬生成的250個數據如下AR(2)過程趨勢圖和自相關圖2022/7/1840第四章 時間序列模型的性質-6-4-2024682848688909294969800例2.模擬生成的AR(2)過程趨勢圖2022/7/1841第四章 時間序列模型的性質例2.模擬生成的AR(2)過程自相關圖呈混合指數衰減滯后二階以后截尾2022/7/1842第四章 時間序列模型的性質例3，下面兩圖表分別是模擬生成的250個數據如下AR(2)過程趨勢圖和自相關圖2022/7/1843第四章

9、時間序列模型的性質-4-202482848688909294969800模擬生成的AR(2)過程趨勢圖2022/7/1844第四章 時間序列模型的性質模擬生成的AR(2)過程自相關圖呈阻尼正弦波衰減滯后二階以后截尾2022/7/1845第四章 時間序列模型的性質4.AR(2)過程的傳遞形式和格林函數（1）傳遞形式（2）格林函數2022/7/1846第四章 時間序列模型的性質三、p階自回歸過程AR(p)的性質二階自回歸模型的形式為：或2022/7/1847第四章 時間序列模型的性質B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性， 的根必須在單位圓外.1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：ar(p)模型總是可逆的。2022/7

10、/1848第四章 時間序列模型的性質對于高階的自回歸過程，其平穩(wěn)性條件用其模型參數表示雖比較復雜，但都有最基本的一點：這是自回歸過程平穩(wěn)的必要條件之一。2022/7/1849第四章 時間序列模型的性質2.AR(p)的自相關函數ACF2022/7/1850第四章 時間序列模型的性質2022/7/1851第四章 時間序列模型的性質通過上述推導有如下結論：對于平穩(wěn)過程，有 |i|p時，上式分母行列式最后列是同一矩陣前面各列的線性組合。于是當kp時,有kk=0。所以， AR(p)過程的偏自相關函數(PACF)滯后p階截尾。2022/7/1854第四章 時間序列模型的性質4.AR(p)模型的傳遞形式和格

11、林函數(1)傳遞形式(2)格林函數2022/7/1855第四章 時間序列模型的性質例:考察如下AR模型的自相關和偏自相關2022/7/1856第四章 時間序列模型的性質ACFPACF2022/7/1857第四章 時間序列模型的性質ACFPACF2022/7/1858第四章 時間序列模型的性質ACFPACF2022/7/1859第四章 時間序列模型的性質ACFPACF2022/7/1860第四章 時間序列模型的性質第二節(jié) 移動平均過程的性質一、一階移動平均過程MA(1)的性質二、二階移動平均過程MA(2)的性質三、q階移動平均過程MA(q)的性質2022/7/1861第四章 時間序列模型的性質一

12、、一階移動平均過程MA(1)的性質一階移動平均模型MA(1)的形式為：其中：xt為零均值平穩(wěn)序列，t為零均值的白噪聲。 2022/7/1862第四章 時間序列模型的性質1.MA(1)過程的平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：AR(1)過程總是平穩(wěn)的。B.可逆性：為滿足可逆性，(B)=11B=0 的根必須在單位圓外，即有：2022/7/1863第四章 時間序列模型的性質注：以后對MA(1)過程性質的討論中，都假定可逆性條件滿足，即有：|1|0,那么PACF都為負，且呈指數衰減；如果10t為白噪聲滯后一階截尾呈負指數衰減2022/7/1874第四章 時間序列模型的性質例2：模擬產生的250個數據的如下MA(

13、1)過程的趨勢圖和自相關圖：2022/7/1875第四章 時間序列模型的性質2022/7/1876第四章 時間序列模型的性質Xt=t (0.85)t-1 =(1(0.85)B) t其中1=0.850呈正負交替指數衰減滯后一階截尾2022/7/1877第四章 時間序列模型的性質4.MA(1)過程的逆轉形式2022/7/1878第四章 時間序列模型的性質二、二階移動平均過程MA(2)的性質二階移動平均模型MA(2)的形式為：其中：xt為零均值平穩(wěn)序列，t為零均值的白噪聲。 2022/7/1879第四章 時間序列模型的性質1.MA(2)過程的平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：MA(2)過程總是平穩(wěn)的。B.可

14、逆性：為滿足可逆性, 的根必須在單位圓外。2022/7/1880第四章 時間序列模型的性質2.MA(2)過程的自相關函數ACF2022/7/1881第四章 時間序列模型的性質2022/7/1882第四章 時間序列模型的性質2022/7/1883第四章 時間序列模型的性質2.MA(2)過程的偏自相關函數(PACF)2022/7/1884第四章 時間序列模型的性質對于MA(2)過程，我們有如下結論：如果其特征方程:11B2B2=0 的根是實數，則kk是兩個衰減指數的和；如果其根是復數，則kk 是一衰減的正弦波。2022/7/1885第四章 時間序列模型的性質2022/7/1886第四章 時間序列模

15、型的性質滯后二階截尾指數衰減(拖尾)2022/7/1887第四章 時間序列模型的性質2022/7/1888第四章 時間序列模型的性質滯后二階截尾阻尼正弦波衰減(拖尾)2022/7/1889第四章 時間序列模型的性質4.MA(2)過程的逆轉形式2022/7/1890第四章 時間序列模型的性質三、q階移動平均過程MA(q)性質2022/7/1891第四章 時間序列模型的性質1.平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：有限階移動平均過程MA(q)總是平穩(wěn)的。 B.可逆性：為滿足可逆性，的根必須在單位圓外。2022/7/1892第四章 時間序列模型的性質對于高階的移動平均過程，其可逆性條件用其模型參數表示雖比較復雜

16、，但都有最基本的一點：這是移動平均過程可逆的必要條件之一。2022/7/1893第四章 時間序列模型的性質2.MA(q)過程的自相關函數(ACF)2022/7/1894第四章 時間序列模型的性質因而：MA(q)過程的自相關函數是滯后q階截尾的。2022/7/1895第四章 時間序列模型的性質3.MA(q)過程的偏自相關函數（PACF）要用明確的公式表示出MA(q)過程的自相關函數是很困難的，但是從前面我們對MA(1)、MA(2)的討論中，可以看出：MA(q)過程的偏自相關函數是由的根確定的，呈混合指數衰減或阻尼正弦波衰減。2022/7/1896第四章 時間序列模型的性質例:考察如下MA模型的相

17、關性質2022/7/1897第四章 時間序列模型的性質MA模型的自相關系數截尾 2022/7/1898第四章 時間序列模型的性質MA模型的自相關系數截尾 2022/7/1899第四章 時間序列模型的性質MA模型的偏自相關系數拖尾 2022/7/18100第四章 時間序列模型的性質MA模型的偏自相關系數拖尾 2022/7/18101第四章 時間序列模型的性質MA模型可逆性MA模型自相關系數的不唯一性例中不同的MA模型具有完全相同的自相關系數和偏自相關系數2022/7/18102第四章 時間序列模型的性質可逆概念的重要性一個自相關系數列唯一對應一個可逆MA模型。 2022/7/18103第四章 時

18、間序列模型的性質第三節(jié) 自回歸移動平均ARMA(p,q)過程一、 ARMA(1,1)的性質二、ARMA(p,q)過程的性質2022/7/18104第四章 時間序列模型的性質一、ARMA(1,1)的性質2022/7/18105第四章 時間序列模型的性質1.ARMA(1,1)過程的平穩(wěn)性和可逆性2022/7/18106第四章 時間序列模型的性質2.ARMA(1,1)過程的ACF2022/7/18107第四章 時間序列模型的性質2022/7/18108第四章 時間序列模型的性質2022/7/18109第四章 時間序列模型的性質通過上式可以看出，ARMA(1,1)過程的自相關函數具有AR(1)過程和M

19、A(1)過程的組合特性。當k=1時，自相關系數有一峰值，并且是由1和1共同決定，。當k2時，自相關系數僅取決于1即自回歸部分對應的差分方程的根，呈指數衰減。2022/7/18110第四章 時間序列模型的性質3.ARMA(1,1)過程的PACFARMA(1,1)過程的PACF和它的ACF一樣，也是滯后一階有一峰值，一階以后呈指數衰減，不過指數衰減的形態(tài)由1和1共同決定，因此指數衰減的形態(tài)比MA(1)過程PACF指數衰減形式更多2022/7/18111第四章 時間序列模型的性質例1：模擬產生的250個數據的如下ARMA(1,1)過程的樣本ACF和樣本PACF：2022/7/18112第四章 時間序

20、列模型的性質例1.模擬生成的ARMA(1,1)過程的樣本ACF和樣本PACF滯后一階有一峰值之后呈指數衰減滯后一階有一峰值之后呈指數衰減2022/7/18113第四章 時間序列模型的性質例2：模擬產生的250個數據的如下ARMA(1,1)過程的樣本ACF和樣本PACF：2022/7/18114第四章 時間序列模型的性質例2.模擬生成的ARMA(1,1)過程的樣本ACF和樣本PACF指數拖尾指數拖尾滯后一階有峰值2022/7/18115第四章 時間序列模型的性質4.ARMA(1,1)過程的傳遞形式和逆轉形式（1）傳遞形式和格林函數：xt=-1(B)(B)at（2）逆轉形式和逆函數-1(B) (B) xt =at2022/7/18116第四章 時間序列模型的性質二、ARMA(p,q)過程的性質2022/7/18117第四章 時間序列模型的性質1.ARMA(p,q)的平穩(wěn)性和可逆性2022/7/18118第四章 時間序列模型的性質2022/7/18119第四章 時間序列模型的性質2.ARMA(p,q)過程的ACF2022/7/18120第四章 時間序列模型的性質2022/7/18121第四章 時間序列模型的性質由上推導可以得出結論：ARMA(p,q)模型的自相關函