83同余關(guān)系與商代數(shù)

1、同余關(guān)系 同余關(guān)系是比較重要的關(guān)系，它建立在一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)和載體上的等價(jià)關(guān)系。同余關(guān)系：設(shè)V=是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，*是二元運(yùn)算，R是S上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。如果對(duì)任意的R，R ，(a1,a2，b1,b2S)，都有R，則稱(chēng)R為S上關(guān)于運(yùn)算*的同余關(guān)系。由這個(gè)同余關(guān)系將S劃分成的等價(jià)類(lèi)就稱(chēng)為同余類(lèi)。1推廣的同余關(guān)系的定義 設(shè)V=是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，*是n元運(yùn)算(n0)，R是S上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。如果對(duì)任意的R，R ,R ，都有R，則稱(chēng)R為S上關(guān)于運(yùn)算*的同余關(guān)系。由這個(gè)同余關(guān)系將S劃分成的等價(jià)類(lèi)就稱(chēng)為同余類(lèi)。2a1 a2 b1 b2 b1E a1Ea1b1E a1b1E3例1：代數(shù)系統(tǒng)，其中是普通的加法和乘法。假

2、設(shè)Z中有一個(gè)等價(jià)關(guān)系R：對(duì)任意的x,yZ，|x|=|y|xRy。 試分別討論對(duì)和運(yùn)算，等價(jià)關(guān)系R是否具有代換性質(zhì)。二元運(yùn)算的同余關(guān)系4例2 代數(shù)系統(tǒng)，其中是一元運(yùn)算,定義為:iZ, i=i2 (mod m) (mZ+) Z上的等價(jià)關(guān)系R=|i1 (mod m)=i2 (mod m),證明對(duì)而言，R是Z上的同余關(guān)系。一元運(yùn)算的同余關(guān)系5例3 (P191例定理8.3.1) ：設(shè)f是從到的同態(tài)映射，在A(yíng)上定義一個(gè)二元關(guān)系R：Rf(x)=f(y)， 那么R是A上的同余關(guān)系。 V1到V2的同態(tài)映射 V1載體上的同余關(guān)系6商代數(shù) 設(shè)V1=是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，E是S上的同余關(guān)系。構(gòu)造一個(gè)新的代數(shù)系統(tǒng)V2=， 其中S/E=xE | xS， 為：x,yS,xE yE=xyE則稱(chēng)V2是V1關(guān)于E的商代數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為商代數(shù)記為V2=V1/E。7同態(tài)、同余與商代數(shù)的聯(lián)系.V1到V2的同態(tài)映射V1上的同余關(guān)系。.V1上的同余關(guān)系EV1的商代數(shù)V2=V1/E.V1和其商代數(shù)V2=V1/E從V1到V2的滿(mǎn)同態(tài)（從V1到V2的自然同態(tài)）. 商代數(shù)同態(tài)基本定理8商代數(shù)同態(tài)基本定理U=V=f(滿(mǎn)同態(tài))已知：U到V的滿(mǎn)同態(tài)可得：1.U上的同余關(guān)系EU/E=2.U的商代數(shù)U/Eh(同構(gòu))4. U/E到V的同構(gòu)映