《畫法幾何及土木工程制圖》(第三版)2.2-直線的投影

1、畫法幾何及土木工程制圖(第三版)2.2-直線的投影HABbaCDcdEFe ( f ) 直線的投影特性： 一般來說，直線的投影仍然為直線。當(dāng)直線垂直于投影面時(shí)，直線的投影則積聚為一點(diǎn)。 直線對(duì)投影面的位置不同，直線可分為三類：一般位置直線投影面平行線投影面垂直線 直線與三個(gè)投影面均傾斜。 直線平行于其中的一個(gè)投影面，傾斜于另外兩個(gè)投影面。 直線垂直于某一投影面。1、直線的投影abbabaYHYWXZABabababZXY 一般線的投影特性： 一般位置線的任何一個(gè)投影，均不反映直線的真長(zhǎng)，也不反映直線與投影面的傾角。一 般 位 置 線 直線所平行的投影面不同，投影面平行線又可分為：水平線直線平行

2、于H面，傾斜于V、W面。正平線直線平行于V面，傾斜于H、W面。側(cè)平線直線平行于W面，傾斜于H、V面。投影面平行線投 影 面 平 行 線 水平線的投影特性：1.水平線的H投影反映真長(zhǎng)，真長(zhǎng)投影與OX夾角為；與OY軸的夾角為；= 0。2.水平線的V投影 abOX；W投影 a”b”O(jiān)Y；abb”aba 反映真長(zhǎng)TLYHYWXZaa”abBb”AbZXY水 平 線 正平線的投影特性：1、正平線的V投影反映真長(zhǎng)，真長(zhǎng)投影與OX夾角為； 與OZ軸的夾角為; = 0。2、正平線的H投影 a bOX；W投影 abOZ；abbaba反映真長(zhǎng)TLYHYWXZabAabBabZXY正 平 線abbaba反映真長(zhǎng)TL

3、YHYWXZabAabBabZXY 側(cè)平線的投影特性：1.側(cè)平線的W投影反映真長(zhǎng)，真長(zhǎng)投影與OY夾角為；與OZ軸的夾角為 ； = 0。2.側(cè)平線的V投影 abOZ；H投影 a bOY；側(cè) 平 線 按直線所垂直的投影面不同，投影面垂直線又可分為：鉛垂線直線垂直于H面，平行于V、W面。正垂線直線垂直于V面，平行于H、W面。側(cè)垂線直線垂直于W面，平行于H、V面。投影面垂直線投 影 面 垂 直 線abbab(a)YHYWXZabA(a)bBabZXY 鉛垂線投影特性：1、鉛垂線的H投影積聚為一點(diǎn)；2、鉛垂線的V、W投影反映直線的真長(zhǎng)，且平行于OZ軸。鉛 垂 線baa( b)baYHYWXZa( b)B

4、bAabaZXY 正垂線投影特性：1、正垂線的V投影積聚為一點(diǎn)；2、正垂線的H、W投影反映直線的真長(zhǎng)，且平行于OY軸。正 垂 線ab（b）abaYHYWXZabAabBa(b)ZXY 側(cè)垂線投影特性：1、側(cè)垂線的W投影積聚為一點(diǎn)；2、側(cè)垂線的V、H投影反映直線的真長(zhǎng)，且平行于OX軸。側(cè) 垂 線ABCa (b)EFDedf 直線上點(diǎn)的投影特性:1、直線上點(diǎn)的投影必定位于直線的同面投影上。2、直線上的點(diǎn)分割直線為兩段，則線段的空間之比等于它們的投影之比，即： ED:DF = e d:d f = ed: df=ed:df(c)2、直線上的點(diǎn)ababkkkabXZYHYWOK 點(diǎn)在直線 AB 上【例題

5、1】判定下題中，點(diǎn)K是否在直線AB上？ XYHYWZababkkabkK點(diǎn)不在直線AB上O【例題2】判斷點(diǎn)K是否在直線AB上。bXabaccaccbXOABbbaacCcHV【例題3】已知點(diǎn)C在線段AB上，求點(diǎn)C 的正面投影。ababC cXO【例題4】試在直線AB上確定一點(diǎn)C，使AC:CB=2:3，求C點(diǎn)的兩面投影。直角三角形法AB真長(zhǎng)AB真長(zhǎng)ababABabbabZXYaZAB量取ZABYAB量取YAB3、一般線的實(shí)長(zhǎng)與傾角 求解一般位置線段的實(shí)長(zhǎng)及其與投影面的夾角，是求解畫法幾何綜合題時(shí)經(jīng)常遇到的基本問題之一。也是工程中經(jīng)常遇到的問題。而用直解三角形法求解實(shí)長(zhǎng)、傾角又最為方便、簡(jiǎn)捷。 一

6、、直角三角形法的作圖要領(lǐng)：用線段在某一投影面上的投影長(zhǎng)作為一條直角邊，再以線段的兩端點(diǎn)相對(duì)應(yīng)于投影面的坐標(biāo)差作為另一直角邊，所作直角三角形的斜邊即為線段的實(shí)長(zhǎng)，斜邊與投影長(zhǎng)間的夾角即為線段與該投影響面的夾角。 二、直角三角形的四個(gè)要素：實(shí)長(zhǎng)、投影長(zhǎng)、坐標(biāo)差及直線對(duì)投影面的傾角。已知四要素中的任意兩個(gè)，便可確定另外兩個(gè)。 三、解題時(shí)：直角三角形畫在任何位置，都不影響解題結(jié)果。但用哪個(gè)長(zhǎng)度來作直角邊不能搞錯(cuò)。 四、作圖 1 求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)水平投影面的夾角角 2 求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)正面投影面的夾角角 3 求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)側(cè)面投影面的夾角角 例題1一般位置線段的實(shí)長(zhǎng)及其與投影面夾角的求解 在直角三角形

7、中，一條直角邊為直線的投影長(zhǎng)，另一條直角邊為直線的坐標(biāo)差，則斜邊即為該直線的真長(zhǎng)；真長(zhǎng)與投影長(zhǎng)之間的夾角為直線與該投影面的傾角。真長(zhǎng)（TL)坐標(biāo)差Z、Y、XH、V、W投影長(zhǎng)、 直 角 三 角 形 法|zA-zB |AB1 求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)水平投影面的夾角角|zA-zB|ABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab2 求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)正面投影面的夾角 角|yA-yB|aXabbabABABab|yA-yB|yA-yB|AB|yA-yB|3 求直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)側(cè)面投影面的夾角 角ABbbabaa|xA-xB|xA-xB|a|zA-zB|abABab|zA-zB|【例題5】已知線段實(shí)長(zhǎng)AB，且A點(diǎn)在B

8、點(diǎn)前方，求它的水平投影?！纠}6】試在直線AB上其一點(diǎn)C，使AC=25 mm，求點(diǎn)C的投影 ababXOZAB=ZABC在AB上量取AC=25mmccBA【例題7】已知直線AB的V投影，且AB=40mm，求AB的H投影量取YABR=40mmYABabab【例題8】已知直線AB的V投影，且=30，求AB的H投影。ababYAB量取YAB【例題9】已知直線AB的V投影，且=30,求AB的 H 投影。ababzAB直線的H投影長(zhǎng)以直線的H投影長(zhǎng)為半徑，作圓弧直線AB真長(zhǎng)兩直線的相對(duì)位置兩直線交叉兩直線相交兩直線平行 4、兩直線的相對(duì)位置 兩直線平行的投影特性：兩直線平行，則兩直線的同面投影相互平行。

9、即ABCD，則：abcd ；abcd；abcd 。xobaadbbccxobaabdcdcABCD兩 直 線 平行abcdcabd 對(duì)于一般位置直線，只要有兩個(gè)同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB/CD【例題10】 判斷圖中兩條直線是否平行bdcacbaddbac 對(duì)于特殊位置直線，只有兩個(gè)同名投影互相平行，空間直線不一定平行。求出側(cè)面投影后可知：AB與CD不平行。求出側(cè)面投影如何判斷？【例題11】判斷圖中兩條直線是否平行obxaabkcddckxoBDACKbbaaccddkk兩直線相交的投影特性：兩直線相交，則兩直線的同面投影必定相交，且投影的交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律。兩 直 線 相 交c

10、abbacdkkd先作正面投影【例題12】過C點(diǎn)作水平線CD與AB相交ObXaabcddc11(2)2XOBDACbbaaccdd211(2)21 兩直線交叉的投影特性： 既不滿足兩直線平行的投影特性,也不滿足兩直線相交的投影特性，均屬于兩直線交叉.兩 直 線 交 叉dbaabcdc1(2)3(4 )投影特性： 同名投影可能相交，但 “交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。 “交點(diǎn)”是兩直線上的一 對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。、是面的重影點(diǎn)，、是H面的重影點(diǎn)。為什么？123 4兩直線相交嗎？交叉兩直線的投影特性：交叉兩直線重影點(diǎn)投影的可見性判斷(3)41(2)43341212【

11、例題13】判斷兩直線的相對(duì)位置（方法一）XaacddcbbodcabYWYHZ兩直線交叉【例題14】判斷兩直線的相對(duì)位置(方法二）cboaacddbx11 =1d=1c兩直線交叉【例題15】作直線KL與AB、CD相交，且平行于EF直線。d e f fecaabcd(b)(k)l lk作kle f 作klef【例題16】已知水平線AB的兩面投影及點(diǎn)C的兩面投影，求作直線CD，使其與直線AB相交且與H面成30夾角。CabcabZCDCD水平投影長(zhǎng)CD真長(zhǎng)以CD水平投影長(zhǎng)為半徑作弧d有兩解dAHBCacbcOXba cba 直角投影規(guī)律： 空間兩直線互相垂直，當(dāng)其中一條直線為投影面的平行線時(shí)，則在該

12、直線所平行的投影面內(nèi)，兩直線的投影反映直角關(guān)系。 5、一邊平行于投影面的直角投影直角投影定理一、垂直相交的兩直線的投影 定理一垂直相交的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時(shí)，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。 定理二 相交兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。二、交叉垂直的兩直線的投影 定理三相互垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時(shí)，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。 定理四兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。兩 直 線 交 叉 垂 直O(jiān)XbabamnnmBHACcbaM

13、NnmZZ距離注意：距離直線只有平行于投舉例求作點(diǎn)到直線的距離【例題17】求點(diǎn)K到直線AB的距離 。kkababll垂線KL的實(shí)長(zhǎng)ZKLZKL【例題18】已知直角三角形ABC，其一直角邊BC在EF線上，長(zhǎng)30mm，試完成三角形ABC的投影。efefaabbcc量取bc=30mm【例題19】求兩直線AB、CD之間的距離。aabbcdc(d)nmm兩交叉線間距離(n)ffee 【例題20】過點(diǎn)E作線段AB、CD 公垂線EF 兩 平 行 直 線 的 距 離投影面垂直線badca(b)c(d)ef距離efabcda(b)c(d)ef投影面平行線 egfehgfhijkllkji距離實(shí)距兩 平 行 直

14、線 的 距 離（e）【例題21】 求直線AB和CD間的最短距離。 空間兩直線互相垂直，若其中有一條直線平行于某投影面 ，則兩直線在該投影面上的投影仍互相垂直。fef分析：ABCDEFabecdfH因?yàn)锳B H, EF AB,所以EF/H；又因?yàn)镋FCD,EF/H所以ef cd。Xcd（b）baacdo因?yàn)镋F/H, 所以ef/OX；EFAB,EFCDABab|yA-yB|bc=BCbbcnmaaXmnc【例題22】作三角形ABC，ABC為直角，使BC在MN上，且 BC AB = 2 3。dbbXOaccadABCD有ab bc分析： 空間兩直線互相垂直，若其中有一條直線平行于某投影面 ，則兩直

15、線在該投影面上的投影仍互相垂直。因?yàn)锳BBC,且ABH根據(jù)直角投影定理【例題23】已知長(zhǎng)方形ABCD中BC邊的兩投影和AB邊的面 投影（ab/OX)，求作長(zhǎng)方形的兩投影?！纠}24】已知正方形ABCD的對(duì)角線位于側(cè)平線EF上，試完成該正方形的正面、側(cè)面投影。afeefabcdbdcoo=XAOXAO半對(duì)角線長(zhǎng)f 0【例題25】已知菱形ABCD的對(duì)角線AB的兩投影，另一對(duì)角線CD 長(zhǎng)為2L,且知其正面投影的方向，求作菱形的兩投影。eef fZFEZFELc0ccddABCDEL L XaabbLo分析：因?yàn)锳B CD, 且AB /H所以ab cd；于是CD成為過E點(diǎn)且已知方向的直線；在CD線上取點(diǎn)C和D,使EC=ED=L,求投影c、d本章小結(jié) 直線的投影特性，尤其是特殊位置直線的投影特性。 直線及兩直線的相對(duì)位置的判斷方法及投影特性。 定比定理。 直角定理，即兩直線垂直時(shí)的投影特性。重點(diǎn)掌握：一、各種位置直線的投影特性 一般位置直線三個(gè)投影與各投影軸都傾斜。 投影面平行線 在其平行的投影面上的投影