第02講 絕對值(共6頁)

1、七年級數(shù)學競賽輔導講義 詹生樟 PAGE 7第二(d r)講 絕對值絕對值是初中代數(shù)中的一個(y )基本概念，在求代數(shù)式的值、化簡代數(shù)式、證明恒等式與不等式，以及求解方程與不等式時，經(jīng)常會遇到含有絕對值符號的問題，同學們要學會根據(jù)絕對值的定義來解決這些問題下面我們先復習一下有關絕對值的基本知識，然后進行例題(lt)分析一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零即絕對值的幾何意義可以借助于數(shù)軸來認識，它與距離的概念密切相關在數(shù)軸上表示一個數(shù)的點離開原點的距離叫這個數(shù)的絕對值結合相反數(shù)的概念可知，除零外，絕對值相等的數(shù)有兩個，它們恰好互為相反數(shù)反之，相反數(shù)的絕對值相

2、等也成立由此還可得到一個常用的結論：任何一個實數(shù)的絕對值是非負數(shù)例1 a，b為實數(shù)，下列各式對嗎？若不對，應附加什么條件？(1)a+b=a+b；(2)ab=ab；(3)a-b=b-a；(4)若a=b，則a=b；(5)若ab，則ab；(6)若ab，則ab解 (1)不對當a，b同號或其中一個為0時成立(2)對(3)對(4)不對當a0時成立(5)不對當b0時成立(6)不對當ab0時成立例2 設有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應點如圖1-1所示，化簡b-a+a+c+c-b解 由圖1-1可知(k zh)，a0，b0，c0，且有cab0根據(jù)有理數(shù)加減運算的符號(fho)法則，有b-a0，ac0，c-b0再根據(jù)

3、(gnj)絕對值的概念，得b-a=a-b，a+c=-(a+c)，c-b=b-c于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c例3 已知x-3，化簡：3+2-1+x分析 這是一個含有多層絕對值符號的問題，可從里往外一層一層地去絕對值符號解 原式=3+2+(1+x)(因為1+x0) =3+3+x =3-(3+x)(因為3+x0) =-x=-x解 因為 abc0，所以a0，b0，c0(1)當a，b，c均大于零時，原式=3；(2)當a，b，c均小于零時，原式=-3；(3)當a，b，c中有兩個大于零，一個小于零時，原式=1；(4)當a，b，c中有兩個小于零，一個大于零時，

4、原式=-1說明 本例的解法是采取把a，b，c中大于零與小于零的個數(shù)分情況加以解決的，這種解法叫作分類討論法，它在解決絕對值問題時很常用例5 若x=3，y=2，且x-y=y-x，求x+y的值解 因為x-y0，所以y-x0，yx由x=3，y=2可知，x0，即x=-3(1)當y=2時，x+y=-1；(2)當y=-2時，x+y=-5所以(suy)x+y的值為-1或-5例6 若a，b，c為整數(shù)(zhngsh)，且a-b19+c-a99=1，試計算(j sun)c-a+a-b+b-c的值解 a，b，c均為整數(shù)，則a-b，c-a也應為整數(shù)，且a-b19，c-a99為兩個非負整數(shù)，和為1，所以只能是 a-b1

5、9=0且c-a99=1， 或a-b19=1且c-a99=0 由有a=b且c=a1，于是b-c=c-a=1；由有c=a且a=b1，于是b-c=a-b=1無論或都有b-c=1且a-b+c-a=1，所以c-a+a-b+b-c=2解 依相反數(shù)的意義有x-y+3=-x+y-1999因為任何一個實數(shù)的絕對值是非負數(shù)，所以必有x-y+3=0且x+y-1999=0即由有x-y=-3，由有x+y=1999-得2y=2002， y=1001，所以例8 化簡：3x+1+2x-1分析 本題是兩個絕對值和的問題解題的關鍵是如何同時去掉兩個絕對值符號若分別去掉每個絕對值符號，則是很容易的事例如，化簡3x+1，只要考慮3x

6、+1的正負，即可去掉絕對值符號這里我們?yōu)槿齻€部分(b fen)(如圖12所示)，即這樣我們就可以分類(fn li)討論化簡了原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2； 原式=(3x+1)+(2x-1)=5x即說明(shumng) 解這類題目，可先求出使各個絕對值等于零的變數(shù)字母的值，即先求出各個分界點，然后在數(shù)軸上標出這些分界點，這樣就將數(shù)軸分成幾個部分，根據(jù)變數(shù)字母的這些取值范圍分類討論化簡，這種方法又稱為“零點分段法”例9 已知y=2x+6+x-1-4x+1，求y的最大值分析(fnx) 首先(shuxin)使用“零點(ln din)分段法”將y化簡

7、，然后在各個取值范圍內求出y的最大值，再加以比較，從中選出最大者解 有三個分界點：-3，1，-1(1)當x-3時，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x-3，所以y=x-1-4，y的最大值是-4(2)當-3x-1時， y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3x-1，所以-45x+116，y的最大值是6(3)當-1x1時， y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1x1，所以0-3x+36，y的最大值是6(4)當x1時， y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x1，所以1-x0，y的最大值是0綜上可知，當x=

8、-1時，y取得最大值為6例10 設abcd，求x-a+x-b+x-c+x-d的最小值分析 本題也可用“零點分段法”討論計算，但比較麻煩若能利用x-a，x-b，x-c，x-d的幾何意義來解題，將顯得更加簡捷便利解 設a，b，c，d，x在數(shù)軸上的對應點分別為A，B，C，D，X，則x-a表示線段AX之長，同理，x-b，x-c，x-d分別表示線段BX，CX，DX之長現(xiàn)要求x-a，x-b，x-c，x-d之和的值最小，就是要在數(shù)軸上找一點X，使該點到A，B，C，D四點距離之和最小因為abcd，所以A，B，C，D的排列應如圖13所示：所以當X在B，C之間時，距離和最小，這個最小值為AD+BC，即(d-a)+

9、(c-b)例11 若2x+4-5x+1-3x+4的值恒為常數(shù)，求x該滿足的條件及此常數(shù)的值分析與解 要使原式對任何數(shù)x恒為常數(shù)，則去掉絕對值符號，化簡合并時，必須使含x的項相加為零，即x的系數(shù)之和為零故本題只有2x-5x+3x=0一種情況因此必須有4-5x=4-5x且1-3x=3x-1 故x應滿足(mnz)的條件是此時(c sh)原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7練習(linx)二1x是什么實數(shù)時，下列等式成立：(1)(x-2)+(x-4)=x-2+x-4；(2)(7x+6)(3x-5)=(7x+6)(3x-5)2化簡下列各式： (2)x+5+x-7+x+103若ab0，化簡a+b-1-3-a-b4已知y=x+3+x-2-3x-9，求y的最大值5設T=x-p+x-15+x-p-15，其中0p15，對于滿足px15的x來說，T的最小值是多少？6已知ab，求x-a+x-b的最小值7不相等的有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應點分別為A，B，C，如果a-b+b-c=a-c，那么B點應為( )(1)在A，C點的右邊；(2)在A，C點的左邊；(3)在A，C點之間；(4)以上三種情況都有可能內容總結（1）第二講 絕對值絕對值是初中代數(shù)中