高考數(shù)學(理)真題專題匯編：空間立體幾何

1、高考數(shù)學（理）真題專題匯編：空間立體幾何一、選擇題（本題共9道小題，每小題。分，共。分）L【來源】2019年高考真題一一數(shù)學（浙江卷） 設三棱錐人處的底面是正三角形，側棱長均相等，產是棱上的點（不含端點），記直 線所與直線月。所成角為。，直線所與平面月5。所成角為尸，二面角尸月廿5的平面角為A. 13y,ayC. Ba,yaD. a0,yB2【來源】2019年高考真題一一數(shù)學（浙江卷） 祖陽是我國南北朝時代的偉大科學家.他提出的“基勢既同，則積不容異”稱為祖昭原理, 利用該原理可以得到柱體的體積公式匕怫=S，其中s是柱體的底而積，方是柱體的高,若某柱體的三視圖如圖所示，則該柱體的體枳（cm，）

2、是（但視圖C.182B.162D.3243.【來源】2019年高考真題一一理科數(shù)學（全國卷II）明 為兩個平而，則的充要條件是A.Q內有無數(shù)條直線與平行B. 內有兩條相交直線與月平行C.”,月平行于同一條直線D. a, 垂直于同一平而4.【來源】2019年高考真題一一理科數(shù)學（全國卷HD 如圖，點N為正方形H56P的中心，為正三角形，平面反為_平面/15儀?，必是線段也 的中點，則 #M.BmEN,且直線3從EV是相交直線B*EN,且直線EV.是相交直線B歸EN,且直線從EV是異而直線B*EN,且直線的A EV.是異而直線.【來源】0 TOC o 1-5 h z （08年全國卷2）已知球的半徑

3、為2,相互垂直的兩個平面分別截球而得兩個圓.若兩圓 的公共弦長為2,則兩圓的圓心距等于（）A. 1B.也C.6D. 2.【來源】0（08年四川卷文）若三棱柱的一個側面是邊長為2的正方形，另外兩個側而都是有一個內角 為80的菱形，則該棱柱的體枳等于（）（A ）點（B ） ?及（C ）.【來源】0（08年北京卷）如圖，動點F在正方體抽,衛(wèi)-481G0的對角線員Q上.過點F作垂直于平而方穌4的直線，與正方體表面相交于，n.設加方二兒 則函數(shù) 幻的圖象大致是（）.【來源】20n年高考數(shù)學理（安徽）一個空間幾何體得三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 (A)48(B)32 +8717(C)48 +871

4、7(D)50C左）杈信視圖第（X）懣圖.【來源】2011年高考數(shù)學理（全國新課標）在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如右圖所示，則相應的側視圖可以為(C)二、填空題.【來源】2019年高考真題一一理科數(shù)學（北京卷）已知乙s是平而。外的兩條不同直線.給出下列三個論斷：】_L a：以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題:1L【來源】2019年高考真題一一理科數(shù)學（北京卷）某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網格紙上小正方形的邊長為1,那么該幾何體的體積為.【來源】2019年高考真題一一理科數(shù)學（天津卷） 已知四棱錐的底而是邊長為的正方形

5、，側棱長均為蓬.若圓柱的一個底面的圓周經過 四棱錐四條側棱的中點，另一個底而的圓心為四棱錐底而的中心，則該圓柱的體積 為.【來源】2019年高考真題一一理科數(shù)學（全國卷H）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.E|1信的形狀多為長方體、正方體或圓 柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多而體”（圖1） .半正多面體是由 兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多而體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.圖2是一個棱 數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有 個而，其棱長為.（本題第一空2分，第二空3分.）.【來源】2019年高考真

6、題一一理科數(shù)學（全國卷HI）學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型.如圖，該模型為長方體皿國4挖 去四棱錐0萌后所得幾何體，其中0為長方體的中心，E,尸，G、，分別為所在棱的中 點，AB=BC = 6cm, A4, = 4cm , 3D打印所用原料密度為0.9 g/cm不考慮打印損 耗，制作該模型所需原料的質量為.【來源】（07年浙江卷文）已知點0在二而角a-AB-B的棱上，點P在。內，且/ P0B=45 .若對于B內異于0的任意一點Q,都有NP0Q245。，則二面角。一AB-B的 取值范圍是.【來源】2011年高考數(shù)學理（全國新課標）已知矩形4BCZ）的頂點都在半徑為4的球。的球而上，

7、且A4 = 6,8C = 2 ,則棱錐O ABCQ的體枳為 0.【來源】2012年高考真題一一理科數(shù)學（天津卷）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：3）,則該幾何體的體積為三、解答題18.【來源】2019年高考真題一一數(shù)學（浙江卷）如圖，已知三棱柱 華4耳圓 平而4月GCJ_平而抽C/A8C = 90,N8AC = 30, A A = A, = AC. E,F 分別是 AC, A 瓜的中點.（I）證明：EFLBC；（ID求直線與平面46。所成角的余弦值.19.【來源】2019年高考真題一一理科數(shù)學（北京卷）如圖，在四棱錐F-（力中，R1L平而限力，ADA.CD. AD/BC. PQAICH2,

8、BO3. E為PF 1劃的中點，點尸在尸。上，且PC 3（I ）求證：J平面PAD；（II ）求二面角尸-花的余弦值；PG 2（IH）設點G在所上，且=判斷直線月G是否在平面月牙內，說明理由.20.【來源】2019年高考真題一一理科數(shù)學（天津卷）CF / AE. AD/BC（本小題滿分13分）如 圖 ， AEL 平 面 ABCDAD AB, AB = AD = i. AE = BC = 2（I ）求證：M/平而ADE；（II）求直線終與平而姓所成角的正弦值；（IH）若二面角七一%一廠的余弦值為3,求線段紡的長.B2L【來源】2019年高考真題一一理科數(shù)學（全國卷H）（12 分）如圖，長方體膽力

9、一月出，的底面抽是正方形，點少在棱山：上，BE LEG.（1）證明：龍LL平面即G；若通AE 求二面角6-笈-G的正弦值.22.【來源】2019年高考真題一一理科數(shù)學（全國卷HI）（12 分）圖1是由矩形ADEB,址嫉 和菱形區(qū)防。組成的一個平面圖形，其中 止1,夠區(qū)之2, NFEU60： 將其沿6。折起使得瓦與才重合，連結加，如圖2.（1）證明：圖2中的4 C, G, 四點共而，且平面月SUL平面用研:（2）求圖2中的二面角5-CGT的大小.23.【來源】2019年高考真題一一理科數(shù)學（全國卷I ）（12 分）如圖，直四棱柱月反刀-月心4的底而是菱形，A4尸4,傷2, /陰廬60 , , M

10、 N分別是 BC, B&,兒。的中點.（1）證明：MV平面CDE；（2）求二面角月-MJ：7.的正弦值.【來源】0（08年湖北卷理）（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱中，平面ABC，側面4月3穌（I）求證：圈“C；（II ）若直線AC與平面AtBC所成的角為0 ,二面角A-BC-A的大小為力的大小關系，并予 以證明.【來源】0（02年全國卷文）（本小題滿分12分，附加題滿分4分）（I）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1,圖2）,要求用其中一塊剪拼成一個三棱錐 模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請設 計一種剪拼方法，分別用虛線標示在圖1、圖2中，并作簡要

11、說明：（II）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大??；（III）（本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過150分）如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3）,要求剪耕成一個直三棱柱，使它的全面 積與給出的三角形的而積相等。請設計一種剪拼方法，用虛線標示在圖3中，并作簡要說 明。.【來源】2011年高考試題數(shù)學理（陜西理）（本小題滿分12分）如圖，在 AABC 中，NA8C = 60,NBAC = 90,A 是 上的高，沿 4。把AA3C 折起，使 NBCD = 90 0（I ）證明：平面A D B_L平而B D C ：（II）設E為BC的中點，求荏與而夾角的余弦值。.【來

12、源】2011年高考試題數(shù)學（江蘇卷）如圖，在四棱錐P A3co中，平而PADJ_平而ABCD, AB=AD, NBAD=60 , E、F分別是AP、AD的中點求證：（1）直線EF平面PCD：（2）平面BEF_L平而PAD.【來源】2011年高考試題數(shù)學（江蘇卷）22.（本小題滿分10分）如圖，在正四棱柱前一怦田中，M=2, = l,點N是BC的中點，點M 在上，設二面角的大小為巴（1）當8 = 9。時，求AM的長;cos 0 =(2)當 6時，求CM的長。第22題圖29.【來源】2011年高考數(shù)學理(安徽)如圖，A3EQ尸C為多而體，平面A8EO與平而ACFD垂直，點。在線段AO上, OA =

13、 ,OD = 2OAB, OAC, &ODE, 。尸都是正三角形。(I )證明直線8C 放：(II)求棱錐尸一8紅的體積030.【來源】2011年高考數(shù)學理(全國新課標)如圖，四棱錐產T6Q?中，底而的?為平行四 邊形,NDAB=60 ,AB=29如_1_底而曲7Z (I )證明：PALBDx(H)若吩必求二面角依-。的余弦值。試卷答案1.B【分析】本題以三棱錐為載體，綜合考查異面直線所成的角、直線與平而所成的角、二面角的概 念，以及各種角的計算.解答的基本方法是通過明確各種角，應用三角函數(shù)知識求解，而后 比較大小.而充分利用圖形特征，則可事倍功半.【詳解】方法1：如圖6為4。中點，V在底面A

14、BC的投影為。，則夕在底而投影。在 線段AO上，過。作小垂直AE，易得PE/VG,過。作尸F(xiàn)AC交VG于尸，過。 作 DH/AC ,交 8G 于，則 a = /BPF, B = NPBDq = NPED ,則PF EG DH BDcos a = = = 尸，tan v = = tanB ,即ED BDYP綜上所述，答案為B.方法2：由最小角定理Qva,記V A3 C的平面角為7（顯然Y = y ）由最大角定理B sina =,sin B =，sin v =,故選 B.66 r 33【點睛】常規(guī)解法下易出現(xiàn)的錯誤有，不能正確作圖得出各種角.未能想到利用特殊位置 法”，尋求簡便解法.B【分析】本題

15、首先根據(jù)三視圖，還原得到幾何體一棱柱，根據(jù)題目給定的數(shù)據(jù)，計算幾何體的體積.常規(guī)題目.難度不大，注重了基礎知識、視圖用圖能力、基本計算能力的考查.【詳解】由三視圖得該棱柱的高為6,底而可以看作是由兩個直角梯形組合而成的，其中 一個上底為4,下底為6,高為3,另一個的上底為2,下底為6,高為3,則該棱柱的體積、f(2 + 64 + 6為 x3 +x3 x6 = 162.I 22)【點睛】易錯點有二，一是不能正確還原幾何體；二是計算體積有誤.為避免出錯，應注重 多觀察、細心算.B根據(jù)而面平行的判定定理易得答案.選B.B因為直線6K EV都是平而幽內的直線，且不平行，即直線笈從反丫是相交直線，設正方

16、 形相的邊長為2a,則由題意可得：密2a, a, DM貶a,小2a,根據(jù)余弦定 理可得：BM-DEDM - 2DB* 胞。sN區(qū)疥9a 4 & acosABDE , EN-DEDX 一 2DE, DNcos/BD斤6/一4 短cos/BDE, 所以笈斤七V,故選B.【解析】：C0與的公共弦為AB,球心為O, AB中點為C,則四邊形01002c為 矩形，所以I &6 H 0cL-l 0A= 2,1 AC 1= 1,AC JLOC.【解】：如圖在三棱柱期4片4中，設=乙6 = 60,由條件有“4*1 = 60,作月。，面于點0, TOC o 1-5 h z cos。與融3600_1則00/用4。

17、cc-s 30a/33sinZX49 =yAO = AAV sinZAO =竽故選B HYPERLINK l bookmark10 o Current Document ,Lc-AMd 二 %41V 月 = -x2x2xstn 60 2線【點評】：此題重點考察立體幾何中的最小角定理和柱體體積公式，同時考察空間想象能 力；【突破】：具有較強的空間想象能力，準確地畫出圖形是解決此題的前提，熟悉最小角定 理并能準確應用是解決此題的關鍵：.【標準答案】：B【試題分析】：取44】的中點E, CG的中點f連ef,則TV在平面4內平行移 動且皿即，當P移動到口的中心時，MN有唯一的最大值，排除答案A、C；當

18、P點移動 時，由于總保持也祝衛(wèi)工所以X與丁的關系是線性的（例如：取“4 = 1當= -f=少=2 冗xe(O,時, _ y同理，當讓（亍歷時, 排除答案D,故選B.是_正有T=片2線_2元） 【方法二】設正方體的棱長為1,顯然，當P移動到對角線即】的中點時，函數(shù)y = N = NC =舊取得最大值，所以排除A、C；又，分別過M、N、P作底面的垂線,J2D y = MN=圾陷=2BPX= 2-acosZZ? = 2-垂足分別為弧、此、與，則J3是一次函數(shù)排除C,故選B, TOC o 1-5 h z 24sn 7532 HYPERLINK l bookmark21 o Current Docume

19、nt y = r/ r12露衛(wèi)G xe絲忑事實上有31 2-【高考考點】函數(shù)與立體幾何的交匯【高考考點】：截而，線與而的位置關系。【易錯提醒】：找不到特殊點0,或者發(fā)現(xiàn)不了 o的特殊性。【備考提示】：加強空間想象力的訓練，加強觀察能力的訓練。8.C 本題主要考查直四棱柱的三視圖及表面積公式，屬于中等難度問題。由三視圖可知本題所 給的是一個底而為等腰梯形的放倒的直四棱柱，所以該直四棱柱的表面積為S = 2x-x(2 + 4)x4 + 4x4 +2x4 + 2x71 +16x4 = 48 + 87172.故選C.D本題主要考查了立體幾何中的空間想象能力，由三視圖能夠想象得到空間的立體圖為半個圓 錐

20、與一個三棱錐的組合體，再有線的實虛可知D正確，故選D.如果 O , m/ O ,則【分析】將所給論斷，分別作為條件、結論加以分析.【詳解】將所給論斷，分別作為條件、結論，得到如下三個命題：(1)如果IL O ,0 a ,則iLm,正確：(2)如果1_L a ,則mH a.不正確，有可能s在平面。內：(3)如果iLm. m/ a ,則21_ a .不正確，有可能與a斜交、1/(】.40【分析】畫出三視圖對應的幾何體，應用割補法求幾何體的體枳.【詳解】在正方體中還原該幾何體，如圖所示 幾何體的體積(2+4) X 2 X 4=40 2兀4由題意四棱錐的底而是邊長為近的正方形，側棱長均為 逐，借助勾股

21、定理，可知四棱錐的高為J= = 2,.若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，故圓柱的高為 1，一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，圓柱的底面半徑為L,故圓柱的體積為26： 72-1由圖2結合空間想象即可得到該正多面體有26個面；將該半正多而體補成正方體后，根據(jù) 對稱性列方程求解.118.8S 四邊形efg =4x6-4XX2x3 = 12,V = 6x6x4-1x12x3 = 1323cnf.3cm？ = pV/=O.9xl32 = 1188g15.答案:解析：若二而角。一AB-B的大小為銳角，則過點P向平而戶作垂線，設垂足為H. 過H作AB的垂線交于C,連PC、CH、OH,則8 就是

22、所求二面角的平面角.P根據(jù)題意得NPO百之45,由于對于B內異于0的任意一點Q,都有 NP0Q245。，/尸。方之45,設P0=2x,則R以之岳 又NP0B=45 ,，0C=PC二岳，而在必AF中應有POPH，顯然矛盾，故二面角a -AB- B的大小不可能為銳角。即二面角。-,人用的范圍是毗缺口若二而角a-AB-B的大小為直角或鈍角，則由于NP0B=45 ,結合圖形容易判斷對于B內異于0的任意一點Q,都有NP0Q245。即二面角。一川一戶的范圍是J明【高考考點】二面角的求法及簡單的推理判斷能力【易錯點】：畫不出相應的圖形，從而亂判斷。【備考提示】：無論解析幾何還是立體幾何，借助于圖形是我們解決

23、問題的一個重要的方 法，它可以將問題直觀化，從而有助于問題的解決。如圖，過球心。向AC作垂線0E由球的對稱性知一定垂直平分AC,由長方形AB=6,BC=26 ,得 AC=2AE= ,即 AE二，由勾 股 定 理 可 得 0E二Jca2A=J42(2Q)2=2,所以VAB8=36x2/x2 = 8/18 + 9 乃根據(jù)三視圖可知，這是一個上面為長方體，下而有兩個直徑為3的球構成的組合體，兩個2x7TX（y =94球的體積為32,長方體的體積為1x3x6 = 18,所以該幾何體的體積為18+9萬O方法一：（I）連接4E，因為4在4C,碗招向中點，所以4句_次.又平而平面四。，4EU平面447G,平

24、面4月M n平面月6GHC,所以，4反L平面C,則4及L5C又因為兒尸四，NABC=90 ,故5cL4人所以6aL平面4：因此&LL房.（II ）取況中點G,連接尾，GF,則萬凡是平行四邊形.由于月苕3_平而W,故四，尾，所以平行四邊形而以為矩形.由（I）得6UL平而上仃玲，則平面46UL平而反次打所以瓦唯平面4%上的射影在直線4G上.連接4G交牙子0,則/見確直線B與平而月及所成的角（或其補角）. 不妨設HU4,則在斤心兒頤中，4后26，由于。為兒m勺中點，故EO = OG =:1= 22所以 cosNEOG =EOrOGJEG?2EO OG3因此，直線團與平面4況所成角的余弦值是彳.方法二

25、：（I）連接4因為月片4。，虎水的中點，所以4瓦L月C又平面4月綏平而4EU平面&WC；,平面44X0平面月噲月0,所以，4瓦L平面J5c如圖，以點片為原點，分別以射線EG EA.為y, z軸的正半軸，建立空間直角坐標系匯-xyz.不妨設HU4,則4 (0, 0, 273 ) , 6(逐，1, 0)，用電3,2揚，/(W1,2拘，/3,1,0).2 2由三戶Be = O得EF LBC.(II)設直線所與平面46。所成的角為0.由(I)可得3e=(一 V,l,0), A J(o, 2, -26).設平而A.BC的法向量為F (8y, z).Jbc =0, 由aa=o,得-/Tt+y = 0, y

26、 /3z = 0.取 f(1, 6,1),故IE廣 I = 4sin ” cos而，3防川二53因此，直線“與平面46。所成的角的余弦值為弓.(I)見解析：(II)正； 3(III)見解析.【分析】(I )由題意利用線而垂直的判定定理即可證得題中的結論：(II)建立空間直角坐標系，結合兩個半平面的法向量即可求得二面角尸月無尸的余弦值： (IH)首先求得點G的坐標，然后結合平而的法向量和直線的方向向量可判斷直線 是否在平面內.【詳解】()由于R1L平而相.CDU平面ABCD,則以，由題意可知也n ,易知：A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),0(0,2,0), 1由PF二PC可得

27、點F的坐標為F 2勺333)1Z、由PE = P?？傻闷?0),設平面4配的法向量為：? = (x,y,z),則和女=(x).惇|本3=-=。33 3慶 AE = (x,y,z)(O1/)=y + z =。據(jù)此可得平而兒際的一個法向量為：? = (1,1, 一1), 很明顯平而的的一個法向量為 =(1,0,0),cos =m- n1 6-7x13 則AG =4 2 2 335；2 2353二面角Q上產的平面角為銳角，故二面角Q心尸的余弦值為正. 3/ 24(HD 易知P(0,0,2),3(2,1,0),由 PG = 7P8可得G ；,一3 3注意到平而郎的一個法向量為：6=(1,1,一1),

28、其正印5 = 0且點月在平面血尸內，故直線月G在平面月牙內.本小題主要考查直線與平面平行、二而角、直線與平面所成的角等基礎知識.考查用空間向 量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.滿分13分.依題意，可以建立以A為原點，分別以AB.AD,AE的方向為x軸,)軸,Z軸正方向的空間直角坐標系(如圖)，可得 40,0,0), 8(1,0,0), C(l,2,0), (0,1,0)E(0,0,2)設C/(0),則6(L2（I）證明：依題意，力8 = （1,。,0）是平面4OE的法向量，又8尸= （0,2/）,可得而,旃=0,又因為直線BEN平面40E,所以3/平面AO

29、E.(II)解：依題意,8。= (-1,1,0), BE = (-1,0,2), CE = (-L-2,2) BD = 0,設 = （x,y,Z）為平而8QE的法向量，則無=0,即、-x + y = 0,-工+ 2% = 0,不妨令2 = 1,cost CE. n 可得 =（2,2/）.因此有CEn 4CEn94所以，直線CE與平面8。七所成角的正弦值為5.m , BD = 0,（HI）解：設? =（%）為平面的法向量，則?出,=0,一+y = 0, = 一一 .Inllml2所以,二面角8 EC G的正弦值為22.解：（1）由已知得出?砥，CGHBE,所以?WCG,故AD, CG確定一個平而

30、，從而月，C, G,則點共面.由己知得？15,跖 ABLBC,故?15_L平而806瓦又因為月5U平面月60,所以平而平面瓜力及作EHLEC,垂足為“因為囪U平面5Q芯平而萬CG反L平面/歸G所以及LL平面月6c由已知，菱形6CGE的邊長為2, N5d60 ,可求得阱1,肝正.以4為坐標原點，C的方向為域由的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系月-*/， 乖= (O,OT)，4(2,0,0) ,4(2,0,4) ,(1,6,2) ,N(l,0,2) 麗=(_1,g,_2), 衲=(一1,0,-2), 而i = (Q-瓜0).m - A.M = 0設小=(x, y, 4)為平面4,財?shù)姆ㄏ蛄浚瑒t

31、( 一m - AA = 0 x + yfy - 2z =。，l所以, 可取5=(近,1,0).-4z = 0.n - MN = 0, 設 =(p, q, r)為平面的法向量，則一.4N = 0.所以6=可取 = (2,0,-1).一p _ 2r = 0.于是cos,，=幺L =上g =mn 2x5/55所以二面角A MR N的正弦值為嚴.24.【標準答案】（1）證明：如圖，過點工在平面4為內作/于。，則 由平而側而4月g，且平面4BCn側面4e骸=43 ,得平面 卒。又ECu平而 所以，及工因為三棱柱是748 c - 4與G直三棱柱，所以又4*門松二4從而如,側面4加用。又抽u側而4aA3,故

32、加_L3C.（2）解法1：連接口，則由（D知4co是直線c與平面48c所成的角,AASA 日 一居一BC-lu.ZACD = 0fZ.ABA=卬 個是一面角的平面角，即 i L.ADAD_ sin &=,sin 69=于是在火也47中， AC在&AAD8中， AB ,7T由 起,得血6一呼又0一.5,所以日 0。解法2：由（1）知，以點5為坐標原點，以BC、艮4、3片所在的直線分大軸、P軸、Z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設如&區(qū)C”工8二。， 則取0,0,0）,用040）。（柩匚7,0,0）,必（0,二。），F(xiàn) 是交二（J* 。，。,。）,珂（0,c,。）,宓二（收二c,0）,離二（0,

33、0,） 設平面的一個法向量為應二（ZMZ）,則可取4 = （0,一凡c）于是用月C = acaqc與用的夾角尸為銳角,則尸與日互為余角。sin 8= cos B = 所以卜卜 AC bja2 +c2BABA cC0S=p|=T7sin(p= J 所以aca， j于是由c5,得以+，,7T即sin6sinp,又。&b 2，所以, % .推理如下：設給出正三角形紙片的邊長為2,那么，正三棱錐與正三棱柱的底而都是邊長為1的正三在角形，其而積為4 .現(xiàn)在計算它們的高：備野邛,邛.所以% %.（III）如圖3,分別連結三角形的內心與各頂點，得三條線段，再以這三條線段的中點為 頂點作三角形.以新作的三角形

34、為直棱柱的底面，過新三角形的三個頂點向原三角形三邊 作垂線，沿六條垂線剪下三個四邊形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虛線折起， 成為一個缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱.26.解(I) .折起前A D是B C邊上的高，當 A B D折起后，AD_LDC, ADJ.D B,又 DBC DC = D,，A D 平面 B DC,VAD平面基,平而BDC. 二平而ABDL平面BD&（I【）由N B DC = 90。及（I ）知DA, D B, DC兩兩垂直，不防設1回二1,以D為坐標原點,DB.DC.DA所在直線軸建立如圖所示的空間直角坐標系,得 D (0,0,0) , B (1,0,0) , C (0,3,0) , A (0,0,DB 二(1, o, 0,),易屈與夾角的余弦值為_ _1iAEiiDr反一五- JCOS = 427.證明：（1）在aPAD中，因為E、F分別為 AP, AD的中點，所以EF/PD.又因為EFZ平面PCD, PDU平面PCD