數(shù)學(xué)分析選講 考前輔導(dǎo)

1、考前輔導(dǎo) 主講 謝碧華講評(píng)模擬試卷（一） 一、（12分）選擇題（將符合要求的結(jié)論題號(hào)，填在題末的括號(hào)內(nèi)，每題至多選兩個(gè)題號(hào)）：1、若 不是無(wú)窮大量，則 A、必存在收斂子列； B、任一子列均不是無(wú)窮大量； C、任一子列均有界； D、必存在有界子列； 答：（ A、D ） 2、下列命題中正確的是： A、若 ，級(jí)數(shù) 收斂，則 收斂； B、若 ，級(jí)數(shù) 收斂，則 不一定收斂； C、若 是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且 有 則 收斂； D、若 ，則 發(fā)散。 答：（ B、D ）3、下列命題中錯(cuò)誤的是： B、若 皆存在，則 也存在； A、若二元函數(shù) 在 點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)，在 點(diǎn)連續(xù)； 則 C、若二元函數(shù) 在 點(diǎn)可微，則 在 連續(xù)；

2、D、若二元函數(shù) 在 連續(xù)，則 分別在 連續(xù)。 答：（ A、B ） 二、（40分）計(jì)算題1、求 解 由于 故原式 。 2、求 解 原式 3、設(shè) ，求 解 于是當(dāng) 時(shí)， 于是當(dāng) 時(shí)， 于是當(dāng) 時(shí)，由于 故 不 。 4、求 5、求冪級(jí)數(shù) 解（1）因?yàn)?又當(dāng) 時(shí)，原級(jí)數(shù)為 發(fā)散。 當(dāng) 時(shí)，原級(jí)數(shù)為 發(fā)散。 故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。 并求其和函數(shù) 的收斂域，（2）設(shè) 則 又 于是有 三、（10分）從定義出發(fā)證明 在 上一致連續(xù)。 證明 對(duì) ，及 ，欲使 由于 于是只須 ，即 故對(duì) ，取 對(duì) 當(dāng) 時(shí)，就有 因此 在 上一致連續(xù)。 四、（10分）設(shè) ，試討論 在 上的一致收斂性。 證明 又 于是 從而 故 在

3、 上一致收斂。 五、（12分）設(shè) 1、證明 在 點(diǎn)連續(xù) 2、求 3、證明 在 點(diǎn)的不可微 1、證明 令 則 （因?yàn)?） 所以 在 點(diǎn)連續(xù)。 2、解 3、證明 由于 而 不存在。 故 在 點(diǎn)不可微。 六、（10分）設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，且 ，若有 使得 為有限數(shù)）。 證明：（1） 是有界數(shù)列 （2）存在點(diǎn) 使 證明 （1）用反證法，假設(shè) 為無(wú)界數(shù)列，則 中存在子列 使 又 ，于是由海涅定理知 這與 相矛盾，故 為有界數(shù)列。 （2）由 有界，則 中必有收斂子列 ，使 ，且 又 在 上連續(xù)，則 在 點(diǎn)連續(xù) 即 ，從而由海涅定理有 而由 知 ， 于是由極限的唯一性知 。 七、（6分）設(shè) 在 嚴(yán)格單調(diào)遞減

4、， 存在， 且 試證明 。 證明 令 ，則由題意有 講評(píng)第五章的部分作業(yè) 二、討論下列級(jí)數(shù)的收斂性： 2 解 由于 故原級(jí)數(shù)收斂 4 解 由 為萊布尼茲型級(jí)數(shù)，故其收斂，為單調(diào)上升數(shù)列，且 阿貝爾判別法知，原級(jí)數(shù)收斂。 又 故由三、討論下列函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性。 2 解 由于 則 從而 因此 故 在 上一致收斂于 。4 解 由于 而 收斂 （因?yàn)?） 故由M一判別法知原級(jí)數(shù)在 上一致收斂。 四、求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域。 1 解 令 （1） 因?yàn)?所以 當(dāng) 時(shí)，原級(jí)數(shù)為 發(fā)散，（因?yàn)?）， 故原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。 （2）當(dāng) 時(shí)，原級(jí)數(shù)為 （因?yàn)槠錇槿R布尼茲型級(jí)數(shù)） 收斂，2 解 由于 ，則 即當(dāng) 時(shí)其絕對(duì)收斂。 又當(dāng) 即 時(shí)，原級(jí)數(shù)為 發(fā)散。 當(dāng) 即 時(shí)，原級(jí)數(shù)為 收斂。 故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?。 五、（2）將 解 且由 知 展開(kāi)成 并指出其收斂域。 的冪級(jí)數(shù)，六、設(shè) ，試證 在 上連續(xù)。 證明 （1）對(duì)每個(gè) 在 上連續(xù) （2）由于 又 收斂，于是由M判別法知， 在 上一致收斂。從而由連續(xù)性定理在 上連續(xù)。 知 講評(píng)第六章的部分作業(yè)： 一. 求下列極限： 2. 解 令 則 原式 （因?yàn)?） 4. 解 由于 又 故原式 二. 求 的二次極限 及 ，并討論在原點(diǎn)的二重極限的存在性.解 又 故 不存在。 五. 設(shè) （1）用 方法證明 在 點(diǎn)的