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1、最佳分?jǐn)?shù)近似值 在“怎樣計(jì)算Pi?”的實(shí)驗(yàn)中，我們看到，祖沖之將Pi計(jì)算到3.141596與3.1415927之間，但是實(shí)際上，祖沖之并沒有使用小數(shù)，他算出的圓周率是22/7（密率）、355/113（約率），看看這兩個(gè)分?jǐn)?shù)與圓周率的實(shí)際誤差有多大？ 可以看出，分?jǐn)?shù)355/113幾乎與Pi足夠接近，而22/7雖然差一些，但它所用的分?jǐn)?shù)卻更簡(jiǎn)單。 實(shí)際上，對(duì)任何一個(gè)無理數(shù)a，都可用一個(gè)分?jǐn)?shù)p/q來作為a的近似值，其近似計(jì)算的好壞可用=|a-p/q|的大小來衡量， 越小，說明這個(gè)近似值越高。 那么，什么是分?jǐn)?shù)對(duì)無理數(shù)的最佳分?jǐn)?shù)逼近呢？分?jǐn)?shù)對(duì)無理數(shù)的最佳分?jǐn)?shù)逼近定義如下：練習(xí)：讓分母q依次取遍1到10

2、00的所有自然數(shù)，對(duì)每個(gè)分母q，取p=q*Pi+0.5得到一個(gè)最接近Pi的分?jǐn)?shù)p/q，并將所有的這樣的分?jǐn)?shù)列出來，同時(shí)列出與Pi的誤差。Mathematica程序如下： 可見，在1到1000之內(nèi)，在給定的近似誤差下，最好的一個(gè)分?jǐn)?shù)近似值就是祖沖之所找到的密率355/113。實(shí)數(shù)的連分?jǐn)?shù)展開稱如下分?jǐn)?shù)：為連分?jǐn)?shù)。 那么，給定一個(gè)實(shí)數(shù)a，是否能夠?qū)表示成一個(gè)連分?jǐn)?shù)，如果能夠，那么從某一項(xiàng)i開始截?cái)啻诉B分?jǐn)?shù)則它可作為a的近似值下面是利用連分?jǐn)?shù)求Pi的近似值的例子： 因此，下面的分?jǐn)?shù)都是Pi在某個(gè)誤差下的最佳分?jǐn)?shù)近似值。 可以看出，利用連分?jǐn)?shù)的方法求最佳分?jǐn)?shù)逼近，很容易使用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，下面看看用mathematica怎樣編寫。下面是mathematica源程序

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