2.2.2 橢圓的幾何性質(zhì)2

1、解析幾何中的最值問題（教學(xué)設(shè)計）教學(xué)目標：1. 掌握拋物線和橢圓的定義2. 通過對圖解析幾何中關(guān)于距離、面積等最值的求解，培養(yǎng)學(xué)生的“推理能力”和“等價轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法 HYPERLINK 3. 利用最值的求解培養(yǎng)學(xué)生注意探索、研究、揭示事物的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力。教學(xué)重點、難點：教學(xué)重點：解析幾何中關(guān)于距離、面積等最值的求解. HYPERLINK 教學(xué)難點：利用圓錐曲線的定義對所求距離進行轉(zhuǎn)化. HYPERLINK 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入，激發(fā)動機復(fù)習(xí)：已知平面內(nèi)兩定點A,B，動點P，當(dāng)點P在線段AB上時，PA+PB最小；當(dāng)點P在AB延長線或BA延長線上時PA-PB有最

2、大值或最小值，即當(dāng)三點共線時，和或差有最值。（設(shè)計意圖：分解難點，讓學(xué)生先回憶起重要結(jié)論，以便在應(yīng)用中能更好的解決問題）師：解析幾何中的最值問題就需要用到這個結(jié)論。二、典型例題題型一 利用圓錐曲線定義解決最值問題例1：若點A的坐標為（3,2），F(xiàn)為拋物線 的焦點，點P是拋物線上的一動點，則求PA+PF取得最小值時的點P的坐標。問題1：點A的位置？ （設(shè)計意圖：讓學(xué)生對圖形中點與線的位置關(guān)系有清楚的了解。）生：拋物線內(nèi)部。問題2：P能否落在線段AF上？生：不能。問題3：能否轉(zhuǎn)化？生：過點P作準線的垂線PQ，根據(jù)定義有PQ=PF 問題4：P能否落在線段QA上？生：能，此時PA+PF=PA+PQQA

3、師：小結(jié)：利用拋物線定義可使動點落在線段上，從而求出距離和的最小值。問題5：將問題改為PA-PF，可求最大值還是最小值？生：做出直線AF，與拋物線交于兩點，分別對應(yīng)取最大值和最小值時的點P。師：小結(jié)：當(dāng)動點落在線段延長線上時，動點到線段兩端點距離之差能取到最大最小值。求出最值及點P的坐標。 問題6：思考題1：若將點A的坐標改為（3,3），PA+PF，PA-PF的最值有什么變化？師：接下來，我們換個模型，看看橢圓中的類似問題。變式1：已知F是橢圓 的左焦點，P是橢圓上的動點，A（1,1）為一定點，求（1）PA+PF的最小值；（2）PA+PF的最大值和最小值。問題7：系數(shù) 怎么處理？生：利用橢圓的

4、第二定義進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為點P到左準線的距離。師;求出(1)中的最小值。問題8：（2）中點P不能落在線段AF上，怎么辦？生：利用橢圓第一定義進行轉(zhuǎn)化，PA+PF=PA+ 2 - 即可。師：求出最大最小值。師：思考題2：將題中點A的坐標改為（1,3），結(jié)論會發(fā)生變化嗎？自己出題并解答。師：小結(jié)：利用圓錐曲線的定義，可構(gòu)造三點共線，從而解決距離和或距離差的最值問題。題型二 利用性質(zhì)求最值例2（1）：已知雙曲線 的左頂點為 ,右焦點為 ，P為雙曲線右支上一點，則 的最小值為 變式1：P若為左支上一點，結(jié)果如何？變式2：橢圓， 分別為其左右頂點，則 的最小值為 變式3：橢圓C：，直線 ，點PC，求點P到

5、直線距離的最小值。小結(jié)：若所求值可化為關(guān)于x或y的二次函數(shù)，則設(shè)點P（x,y）,若所求值不能化為關(guān)于x或y的二次函數(shù)，這類模型可轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題來解決，也可以設(shè)P時用三角代換。師：如果把圓與圓錐曲線放在一起，問題會不會變得更為復(fù)雜呢？例2（2）：設(shè)P,Q分別為圓 和橢圓 上的點，則P,Q兩點間的最大距離是 （設(shè)計意圖：要把兩個動點間的距離問題轉(zhuǎn)化為一個動點到一個定點之間的距離，這就要用到圓的幾何性質(zhì)，對數(shù)形結(jié)合的思想進一步強化。）三、課堂小結(jié)：本節(jié)課復(fù)習(xí)了解析幾何中的三類最值問題：一是利用圓錐曲線的定義，可構(gòu)造三點共線，從而解決距離和或距離差的最值問題；二是若所求值可化為關(guān)于x或y的二次函數(shù)，則設(shè)點P（x,y）,若所求值不能化為關(guān)于x或y的二次函數(shù)，則設(shè)P時用三角代換