一元時間序列分析方式教案

1、一元時間序列分析方式教案第四章 一元時間序列分析方法第一節(jié) 時間序列的相關(guān)概念第二節(jié) 隨機(jī)序列模型第三節(jié) 單整自回歸移動平均模型第四節(jié) 平穩(wěn)性與單位根檢驗時間序列的相關(guān)概念第一節(jié) 時間序列的相關(guān)概念一、平穩(wěn)性平穩(wěn)性是時間序列分析的基礎(chǔ)。判斷一個序列平穩(wěn)與否非常重要，因為一個序列是否平穩(wěn)會對它的行為及其性質(zhì)產(chǎn)生重要的影響。在時間序列平穩(wěn)性，一般包括下列兩類平穩(wěn)過程：1、嚴(yán)格平穩(wěn)過程（Strictly Stationary Process）如果對所有的t，任意正整數(shù)n和任意n個正整數(shù)( )， （ ）的聯(lián)合分布與( )的聯(lián)合分布是相同的, 即：時間序列的相關(guān)概念2、弱平穩(wěn)性過程（Weakly Sta

2、tionary Process）如果一個時間序列 的均值，方差在時間過程上保持是常數(shù)，并且在任何兩時期之間的協(xié)方差值僅依賴于該兩時期間的距離或滯后，而不依賴于計算這個協(xié)方差的實際時間，則稱時間序列 是弱平穩(wěn)的。弱平穩(wěn)的時間序列有如下性質(zhì)： 可見，如果一個時間序列概率分布的所有階矩都不隨時間變化，那它就是嚴(yán)格平穩(wěn)的；而如果僅僅是一階矩和二階矩（即均值和方差）不隨時間變化，那它就是弱平穩(wěn)的。 時間序列的相關(guān)概念二、自協(xié)方差（auto-covariance）決定 是如何與它自身的先前值相關(guān)的，對于一個平穩(wěn)的時間序列，它只依賴于 與 之差。其中，被稱為自協(xié)方差函數(shù)。另一種更為簡潔的方法使用自相關(guān)系數(shù)來

3、描述他們之間的關(guān)系?？紤]弱平穩(wěn)時間序列 ，當(dāng) 與它的過去值 線性相關(guān)時，可以把相關(guān)系數(shù)的概念推廣到自相關(guān)系數(shù)， 與 的相關(guān)系數(shù)稱為 的間隔為 的自相關(guān)系數(shù)，通常記為 ，在弱平穩(wěn)性的假定下它只是的函數(shù)，定義= 時間序列的相關(guān)概念三、白噪聲過程如果時間序列 是一個有有限均值和有限方差的、獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，則稱時間序列 為白噪聲。特別的，若時間序列還服從均值為0，方差為 的正態(tài)分布，則這個序列稱為高斯白噪聲。它是其它各類型時間序列的重要組成部分，在金融市場效率理論中具有重要的意義。對于白噪聲序列，自相關(guān)系數(shù)為零。在實際應(yīng)用中，如果所有樣本的自相關(guān)函數(shù)接近為零，則認(rèn)為這個序列為白噪聲序列。若一

4、個隨機(jī)過程滿足： 則我們稱之為白噪聲過程（white noise process）。隨機(jī)序列模型第二節(jié) 隨機(jī)序列模型若對每一個固定的t， 是一個隨機(jī)變量，則 ， ， ，為隨機(jī)時間序列。而揭示隨機(jī)時間序列自身變化規(guī)律和相關(guān)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式就是時間序列分析模型。隨機(jī)時間序列分析模型分為三類：自回歸模型（auto-regressive model, AR）、移動平均模型（moving-average model,MA）和自回歸移動平均模型（auto-regressive moving average model,ARMA）。對于任一個時間序列，怎樣判斷它是遵循純AR過程（若是的話，階數(shù)p取什么值），

5、純MA過程，（若是的話，階數(shù)q取什么值）或是ARMA模型，此時p和q各取多少。我們將遵循以下四個步驟對這三個模型做一詳細(xì)介紹： 隨機(jī)序列模型步驟一：識別。就是找出適當(dāng)?shù)膒和q值。我們即將說明怎樣借助相關(guān)圖和偏相關(guān)圖來解決此類問題。步驟二：估計。一旦辨別適當(dāng)?shù)膒和q值，下一步便是估計模型中所含自回歸和移動平均項的參數(shù)。步驟三：診斷。選定模型并估計其參數(shù)之后，下一步就要看所選的模型對數(shù)據(jù)擬合的是否夠好。對所選模型的一個簡單的檢驗，是看從該模型估計出來的殘差是不是白噪聲；如果是，就可接受這個具體的擬合；如果不是，我們必須重新在做。步驟四：預(yù)測。ARMA建模方法之所以得以普及，理由之一是它在預(yù)測方面的

6、成功。有許多事例用這個方法做出的預(yù)測比用傳統(tǒng)的計量經(jīng)濟(jì)建模方法做出的預(yù)測更為可靠，特別是在短期預(yù)測方面。隨機(jī)序列模型一、自回歸模型（AR）若一個時間序列可表示為 （4.12）其中， 為白噪聲， ， ，則稱 為一階自回歸過程，或簡稱為 。 自回歸模型是時間序列 表示為它的先前值與一個誤差項 的線性函數(shù)。在p階自回歸中， 、 ， ， 是自回歸參數(shù)，它表明每改變一個單位時間值時，對 所產(chǎn)生的影響，它是根據(jù)樣本觀測值來估計的參數(shù)。 隨機(jī)序列模型2、AR模型階的識別在實際應(yīng)用中，一個AR時間序列的p階是未知的，必須根據(jù)實際情況來決定。這個問題叫做AR模型的階的決定。一般可以通過兩種方法：第一種方法是利用

7、偏自相關(guān)函數(shù)（partial autocorrelation function, PACF）， 第二種方法是用某個信息準(zhǔn)則函數(shù)。（1）偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）偏自相關(guān)就是 和 之間的，除去居中的諸 （即 ）的影響后的相關(guān)。其相關(guān)程度可用偏自相關(guān)系數(shù) 度量。進(jìn)行回歸對一個 模型，間隔為的樣本偏自相關(guān)系數(shù)不應(yīng)為零，而對所有 ， 應(yīng)接近零，我們利用這一性質(zhì)來決定p階。 隨機(jī)序列模型（2）采用信息準(zhǔn)則法判別模型階數(shù)在實際應(yīng)用中，很難利用自相關(guān)函數(shù)來確定模型的合理階數(shù)。較為簡便的方法是，所選定的階數(shù)應(yīng)使得信息準(zhǔn)則的數(shù)值達(dá)到最小。對于信息準(zhǔn)則，一般應(yīng)用赤池（Akaike）準(zhǔn)則信息準(zhǔn)則（AIC）和許瓦茲（S

8、chwarz）貝葉斯信息準(zhǔn)則(SBIC)。 隨機(jī)序列模型3、參數(shù)估計對一個 模型，我們常用條件最小二乘法來估計其參數(shù)，條件最小二乘是從第 個觀測值開始的。4、模型驗證對實際數(shù)據(jù)所時擬合的模型，要仔細(xì)地驗證它的合理性。若模型是合理的，其殘差序列應(yīng)該是白噪聲。殘差的樣本自相關(guān)函數(shù)和Ljung-Box統(tǒng)計量可用來檢驗 與一個白噪聲的接近程度。對 模型，Ljung-Box統(tǒng)計量 漸進(jìn)服從自由度為m-p的 分布。如果所擬合的模型經(jīng)經(jīng)驗驗證是不合理的，那么就需要對它進(jìn)行修正。隨機(jī)序列模型5、預(yù)測預(yù)測是時間序列分析的一個重要應(yīng)用。向前一步預(yù)測向前兩步預(yù)測向前多步預(yù)測隨機(jī)序列模型6、判定預(yù)測是否精確在實際中應(yīng)

9、用中，通常是對整個樣本外的區(qū)間進(jìn)行預(yù)測，然后將其與實際值比較，把他們之間的差異用某種方法加總。對第i個觀測值的預(yù)測誤差定義為其實際值和預(yù)測值之間的差值，再求其平方或取其絕對值使各項為正后進(jìn)行加總。隨機(jī)序列模型案例說明4-1上證指數(shù)收益率的AR建模本案例數(shù)據(jù)來自高鐵梅（2006）計量經(jīng)濟(jì)分析方法與建模，數(shù)據(jù)選取了上證收盤指數(shù)(1991年1月2003年3月)的月度時間序列S作為研究對象,用AR(1)模型描述其變化規(guī)律。在此，對其做變化率 ，這樣便得到了變化率序列。一般來講，股價指數(shù)序列并不是一個平穩(wěn)的序列，而通過變化后的變化率數(shù)據(jù)，是一個平穩(wěn)序列，可以作為我們研究、建模的對象。對上證收益率數(shù)據(jù)擬合

10、。在此，記上證股價指數(shù)變化率序列為sr，建立如下模型：案例說明4-1上證指數(shù)收益率的AR建模圖4-2： AR(1)回歸結(jié)果案例說明4-1上證指數(shù)收益率的AR建模圖4-3：上證指數(shù)收益率序列及其擬合值在圖4-3中，實線是上證指數(shù)變化率序列，虛線是AR(1)模型的擬合值。從該圖可以看出我國上證股價指數(shù)變化率序列在1991-1994年之間變化很大，而后逐漸趨于平穩(wěn)。近年來，波動平緩，并且大多在3%下面波動。擬合曲線基本代表了這一時期的均值。隨機(jī)序列模型案例說明4-2應(yīng)用AR（1）進(jìn)行預(yù)測下面，我們利用建立的AR(1)模型進(jìn)行預(yù)測。我們選取2000年1月至2006年6月的我國廣義貨幣供應(yīng)量（M2）月度

11、數(shù)據(jù)的時間序列，進(jìn)行AR（1）建模并預(yù)測。 圖4-5: 利用AR模型進(jìn)行預(yù)測隨機(jī)序列模型二、移動平均模型（MA） 若一個隨機(jī)過程 可為下面形式： （4.40）則稱方程式（4.40）表示的是q階的移動平均過程(moving average)，表示為 。 在 模型中， 為參數(shù)， 為白噪聲過程。最簡單的移動平均過程是 ，可表達(dá)為： 隨機(jī)序列模型1、MA模型階的識別自相關(guān)函數(shù)是識別MA模型的階的有用工具。一個時間序列 具有自相關(guān)函數(shù) ，若 但對 有 ，則 服從一個 模型。2、MA模型估計估計MA模型通常用最大似然法。有兩種方法求MA模型的似然函數(shù)。第一種是條件似然法，即假定初始的擾動（即 ， ）都是0

12、；這樣 ， 計算似然函數(shù)所需要的抖動可以遞推得到。第二種方法是把初始抖動 ， 當(dāng)作模型的附加參數(shù)與其它參數(shù)一起估計出來。 隨機(jī)序列模型隨機(jī)序列模型3、MA模型預(yù)測由于MA模型有有限記憶性，它的點(diǎn)預(yù)測很快可以打到序列的均值。設(shè)預(yù)測原點(diǎn)為 ,對MA（1）過程的向前1步預(yù)測，模型為 取條件期望，我們有向前1步預(yù)測誤差的方差為 。隨機(jī)序列模型三、ARMA模型自回歸模型和移動平均模型是時間序列中最基本的兩種模型類別，將這兩種基本的模型類別結(jié)合起來，就產(chǎn)生了自回歸移動平均模型（ARMA）。若一個時間序列 可表示為： (4.51) 或者表達(dá)為： (4.52)則稱時間序列模型為自回歸移動平均模型，表示為 。在

13、模型中， 和 分別表示為滯后之后p和q階的表達(dá)式，并稱其為自回歸算子和移動平均算子。 隨機(jī)序列模型案例說明4-3應(yīng)用Eviews建立ARMA模型的實例以中國聯(lián)通（600050）為例使用的數(shù)據(jù)為聯(lián)通公司股票的日股價序列，期限為2003-1-2日至2006年9月15日，共886個樣本觀測值。該模型涉及三個步驟：識別、估計和診斷性檢驗。首先，通過觀察自相關(guān)系數(shù)，對數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)加以識別。(1)估計高達(dá)階的自相關(guān)系數(shù)(2)采用信息準(zhǔn)則法判別模型階數(shù)隨機(jī)序列模型案例4-4在Eviews中運(yùn)用ARMA模型進(jìn)行預(yù)測 一旦選定了模型的階數(shù)并利用一定的數(shù)據(jù)完成了模型估計后,就可以利用該模型對序列的未來值進(jìn)行預(yù)測。估計

14、出所需模型并在Eviews中打開輸出結(jié)果窗口后，點(diǎn)擊Forecast圖標(biāo)。Eviews使用兩種預(yù)測方法：動態(tài)預(yù)測和靜態(tài)預(yù)測。動態(tài)選項從預(yù)測第一項開始，計算多步預(yù)測值；而靜態(tài)選項則計算一系列向前一步的預(yù)測值，此時每生成一個預(yù)測值，就將樣本范圍向前移動一個觀測值，以便將真實值而非預(yù)測值作為滯后因變量。在此，我們應(yīng)用了上證指數(shù)1990年12月19日至2006年8月31日時間區(qū)間，共3856交易日的樣本數(shù)。采用Eviews軟件的Froecast預(yù)測模型，動態(tài)預(yù)測和靜態(tài)預(yù)測的結(jié)果分別如下： 隨機(jī)序列模型(a)動態(tài)預(yù)測隨機(jī)序列模型（b）靜態(tài)預(yù)測單整自回歸移動平均模型第三節(jié) 單整自回歸移動平均模型單整自回歸

15、移動平均模型（autoregressive integrate moving average models，ARIMA）最先由博克斯（Boy）和詹金斯（Jenkins）在1976年提出的。該模型是指將非平穩(wěn)時間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時間序列，然后將因變量僅對它的滯后值及其隨機(jī)誤差項的現(xiàn)值和滯后值進(jìn)行回歸所建立的模型。目前，該模型已經(jīng)在眾多領(lǐng)域和研究中得到應(yīng)用，并證明了其較強(qiáng)的解釋力和適應(yīng)性。單整自回歸移動平均模型一、ARIMA模型介紹假定存在一個隨機(jī)過程含有 個單位根，則經(jīng) 次差分后就變成一個平穩(wěn)過程，這樣的性質(zhì)稱為齊次非平穩(wěn)性。即若 是平穩(wěn)時間序列，則稱 是d階齊次非平穩(wěn)序列，這里 表示d階差分。考

16、慮如下形式的模型： （4.56）其中， 是平穩(wěn)的自回歸算子， 為可逆的移動平均算子。而 是對序列 進(jìn)行d階差分之后的序列，并且得到的該序列具有平穩(wěn)性特征。若用 替代 ，則（4.56）式就可以表示為： （4.57）則該表達(dá)式與前面所屬的ARMA模型的表達(dá)式相同。而方程（4.57）則表示的是一個ARIMA模型。單整自回歸移動平均模型二、 ARIMA模型的確定以上證指數(shù)為例為說明 模型參數(shù)的相關(guān)參數(shù)的確定，在此我們選取上證指數(shù)為例進(jìn)行解釋。在此，選取上證指數(shù)2000年2月1日至2006年6月30日為觀測區(qū)間。首先，確定ARIMA(p,d,q)模型中的d值。 其次，對ARIMA(p,1,q)模型中的p

17、和q數(shù)值進(jìn)行確定。 從收益率的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)圖中我們可以看到,它們都是拖尾的，因此可設(shè)定為 過程。收益率的自相關(guān)函數(shù)第1階是顯著的，從第2階開始下降很大，數(shù)值也不太顯著，因此先設(shè)定q值為1。收益率的偏相關(guān)函數(shù)也是第1階很顯著，從第2階開始下降很大，因此設(shè)定p值為1，于是初步建立 模型。單整自回歸移動平均模型三、ARIMA過程應(yīng)用和結(jié)果解釋為分析ARIMA過程，在此，我們選取上證指數(shù)1990年12月19日至2006年8月31日為觀測區(qū)間，共3856個觀測樣本。應(yīng)用的軟件為SAS8.0。 單整自回歸移動平均模型四、ARIMA過程的SAS程序模擬除了利用SAS程序進(jìn)行ARIMA過程分析之外

18、，我們還可以通過這一程序進(jìn)行ARIMA過程模擬。在此，我們應(yīng)用了朱世武（2004）所著的基于SAS系統(tǒng)的金融計算中的一個例子進(jìn)行說明。對ARIMA(0,1,1)進(jìn)行SAS模擬實現(xiàn)。假定初始數(shù)值 =0.01，產(chǎn)生1000個來自 ， 的隨機(jī)時間序列。單整自回歸移動平均模型圖4-17：ARIMA的SAS模擬 平穩(wěn)性與單位根檢驗第四節(jié) 平穩(wěn)性與單位根檢驗一、非平穩(wěn)性檢驗的必要性從前幾節(jié)知，當(dāng)時間序列含有單位根時，它就是一個非平穩(wěn)時間序列。而非平穩(wěn)時間序列恰好具有這種齊次非平穩(wěn)特征，即通過足夠次數(shù)的差分就可以轉(zhuǎn)換為一個平穩(wěn)的時間序列。1.單整性的定義若一個非平穩(wěn)時間序列 必須經(jīng)過d次差分后才能變換成一個

19、平穩(wěn)的、可逆的 時間序列，則稱 具有d階單整性，用 表示。平穩(wěn)性與單位根檢驗2.偽回歸問題如果對非平穩(wěn)性數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸，則在回歸結(jié)果中，我們可能會發(fā)現(xiàn)R2很高，t值也極高，這似乎表示變量之間存在著很好的擬合關(guān)系。但是，同時會發(fā)現(xiàn)杜賓-沃森d值偏低。這時，則可能存在偽回歸（spurious regressions）現(xiàn)象發(fā)生。即回歸結(jié)果是不正確的。Granger和 Newbold曾經(jīng)提出一個良好的經(jīng)驗規(guī)則：當(dāng) 時，所估計的回歸就有謬誤之嫌。 有時候時間序列的高度相關(guān)僅僅是因為兩者同時隨時間有或上或下變動的趨勢，并沒有真正的聯(lián)系。這種情況就稱為偽回歸。平穩(wěn)性與單位根檢驗二、兩種類型的平穩(wěn)性通常，有兩種

20、類型被用來描述非平穩(wěn)性，它們是帶漂移的隨機(jī)游走模型和趨勢平穩(wěn)過程。其中，帶漂移的隨機(jī)游走模型表達(dá)為： 趨勢平穩(wěn)過程是因其在線性趨勢附近而得名，此過程表達(dá)為： 在上述情況下， 是白噪聲擾動項。平穩(wěn)性與單位根檢驗圖4-18 隨機(jī)游走與帶漂移的隨機(jī)游走時間序列圖平穩(wěn)性與單位根檢驗 三、單位根檢驗 1. ADF檢驗檢驗經(jīng)濟(jì)時間序列是否平穩(wěn)，需要先檢驗單位根的存在。常用測驗單位根的方法是由Dickey 和Fuller (Fuller, 1976; Dickey and Fuller, 1979)提出的Dickey-Fuller (DF)檢驗，即單位根檢驗。開始模型：其中， 是隨機(jī)誤差項。平穩(wěn)性與單位根檢驗2. ADF檢驗?zāi)Ｐ偷拇_定ADF檢驗?zāi)Ｐ褪且话阈问?，然而是否?yīng)該包含常數(shù)項 ，是否包含時間趨勢項 ，以及如何確定最優(yōu)滯后階數(shù)p，這是一個需要解決的現(xiàn)實問題。首先，我們來看如何判斷檢驗?zāi)Ｐ褪欠駪?yīng)該包含常數(shù)項與時間趨勢項。 其次，我們來看如何確定檢驗?zāi)Ｐ偷淖顑?yōu)滯后階數(shù)。 3. 菲利普斯-配榮（Phillips-Perron,PP）檢驗PP檢驗針對的是回歸模型的干擾項 存在異方差或序列相關(guān)的現(xiàn)象?；貧w模型的三種形式及檢驗規(guī)則與DF檢驗相同。但PP檢驗下，這兩個統(tǒng)計量的計算相對復(fù)雜，是在對應(yīng)DF統(tǒng)計量的形式上加以修正。但PP