系統(tǒng)可靠性課件：卡方分布

1、卡方檢驗1內(nèi)容安排卡方檢驗入門配對設(shè)計兩樣本率比較的2檢驗行列表資料的分析確切概率法2卡方檢驗入門3概 述卡方檢驗是以卡方分布為基礎(chǔ)的一種常用假設(shè)檢驗方法，主要用于分類變量，它的基本的無效假設(shè)是：H0：行分類變量與列分類變量無關(guān)聯(lián)H1：行分類變量與列分類變量有關(guān)聯(lián)=0.05統(tǒng)計量 ，其中Ai是樣本資料的計數(shù)，Ti是在H0為真的情況下的理論數(shù)(期望值)。4卡方檢驗在H0為真時，實際觀察數(shù)與理論數(shù)之差A(yù)iTi 應(yīng)該比較接近0。所以在H0為真時，檢驗統(tǒng)計量 服從自由度為k-1的卡方分布。 即： ，拒絕H0。上述卡方檢驗由此派生了不同應(yīng)用背景的各種問題的檢驗，特別最常用的是兩個樣本率的檢驗等。因為該原

2、理的使用范圍很廣，但本次課程只學(xué)習用于推斷兩個分類變量是否相互關(guān)聯(lián)5概 述6方法原理理論頻數(shù)基于H0成立，兩樣本所在總體無差別的前提下計算出各單元格的理論頻數(shù)來7方法原理殘差設(shè)A代表某個類別的觀察頻數(shù)，E代表基于H0計算出的期望頻數(shù)，A與E之差被稱為殘差殘差可以表示某一個類別觀察值和理論值的偏離程度，但殘差有正有負，相加后會彼此抵消，總和仍然為0。為此可以將殘差平方后求和，以表示樣本總的偏離無效假設(shè)的程度8方法原理另一方面，殘差大小是一個相對的概念，相對于期望頻數(shù)為10時，20的殘差非常大；可相對于期望頻數(shù)為1000時20就很小了。因此又將殘差平方除以期望頻數(shù)再求和，以標準化觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)

3、的差別。這就是我們所說的卡方統(tǒng)計量，在1900年由英國統(tǒng)計學(xué)家Pearson首次提出，其公式為：9方法原理從卡方的計算公式可見，當觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)完全一致時，卡方值為0；觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)越接近，兩者之間的差異越小，卡方值越小；反之，觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)差別越大，兩者之間的差異越大，卡方值越大。當然，卡方值的大小也和自由度有關(guān)10方法原理卡方分布 顯然，卡方值的大小不僅與A、E之差有關(guān)，還與單元格數(shù)（自由度）有關(guān)11操作步驟1. 建立檢驗假設(shè)和確定檢驗水準H0：使用含氟牙膏和一般牙膏兒童齲患率相等H1：使用含氟牙膏和一般牙膏兒童齲患率不等2. =0.05 3.計算檢驗統(tǒng)計量2值12操作步驟3.

4、 確定P值和作出推斷結(jié)論查附表8，2界值表，得p0.05。按 = 0.05水準，不拒絕H0，尚不能認為使用含氟牙膏比使用一般牙膏兒童的齲患率低。對于四格表，卡方的計算公式又可進行簡化，以方便手工計算對計算機而言并無實際價值tabi a b c d, chi213操作步驟值得指出，成組設(shè)計四格表資料的2檢驗與前面學(xué)習過的兩樣本率比較的雙側(cè)u檢驗是等價的。若對同一資料作兩種檢驗，兩個統(tǒng)計量的關(guān)系為2= u2。其對應(yīng)的界值也為平方關(guān)系。兩者的應(yīng)用條件也是基本一致的，連續(xù)性校正也基本互相對應(yīng)。14卡方檢驗假設(shè)的等價性兩組兒童的齲齒率相同兩組發(fā)生率的比較實際數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布和理論假設(shè)相同理論分布與實際分布

5、的檢驗使用不同的牙膏并不會影響齲齒的發(fā)生（兩個分類變量間無關(guān)聯(lián)）兩變量的相關(guān)分析15四格表2值的校正英國統(tǒng)計學(xué)家Yates認為，2分布是一種連續(xù)型分布，而四格表資料是分類資料，屬離散型分布，由此計算的2值的抽樣分布也應(yīng)當是不連續(xù)的，當樣本量較小時，兩者間的差異不可忽略，應(yīng)進行連續(xù)性校正（在每個單元格的殘差中都減去0.5）若n 40 ，此時有 1 T 5時，需計算Yates連續(xù)性校正2值T 1，或n40時，應(yīng)改用Fisher確切概率法直接計算概率1617配對設(shè)計兩樣本率比較的2檢驗18方法原理例6.9 用A、B兩種方法檢查已確診的乳腺癌患者140名，A法檢出91名(65%)，B法檢出77名(55

6、%)，A、B兩法一致的檢出56名(40%)，問哪種方法陽性檢出率更高？19方法原理顯然，本例對同一個個體有兩次不同的測量，從設(shè)計的角度上講可以被理解為自身配對設(shè)計按照配對設(shè)計的思路進行分析，則首先應(yīng)當求出各對的差值，然后考察樣本中差值的分布是否按照H0假設(shè)的情況對稱分布按此分析思路，最終可整理出如前所列的配對四格表20方法原理注意主對角線上兩種檢驗方法的結(jié)論相同，對問題的解答不會有任何貢獻另兩個單元格才代表了檢驗方法間的差異假設(shè)檢驗步驟如下：H0：兩法總體陽性檢出率無差別，即B = CH1：兩法總體陽性檢出率有差別，即B C21方法原理mcci 56 35 21 28 22注意事項McNema

7、r檢驗只會利用非主對角線單元格上的信息，即它只關(guān)心兩者不一致的評價情況，用于比較兩個評價者間存在怎樣的傾向。因此，對于一致性較好的大樣本數(shù)據(jù)，McNemar檢驗可能會失去實用價值。例如對1萬個案例進行一致性評價，9995個都是完全一致的，在主對角線上，另有5個分布在左下的三角區(qū)，顯然，此時一致性相當?shù)暮?。但如果使用McNemar檢驗，此時反而會得出兩種評價有差異的結(jié)論來。23行列表資料的分析2425分析步驟建立假設(shè)H0：三種不同類型關(guān)節(jié)炎的療效相同H1：三種不同類型關(guān)節(jié)炎的療效不全相同求出統(tǒng)計量下結(jié)論26幾點遺留問題是否應(yīng)當進行兩兩比較？這又是一個打嘴仗的問題，雖然有人提出用卡方分割等方法來檢

8、驗，但同樣也有學(xué)者對這種做法嗤之以鼻實際上，隨著統(tǒng)計學(xué)的發(fā)展，這個問題已被超越，可以使用對分類數(shù)據(jù)的建模方法，如logistic模型等對此問題加以解答27幾點遺留問題如果是有序資料該怎么處理傳統(tǒng)的卡方檢驗是無法對次序信息加以利用的單向有序：秩和檢驗啦雙向有序：實際上考察的是兩變量間的關(guān)聯(lián)性（相關(guān)性），可以使用專門的關(guān)聯(lián)性指標分析目前對卡方檢驗還有一些擴展方法，如CMH卡方，可以處理此類問題28幾點遺留問題行列表卡方檢驗的適用條件理論頻數(shù)不宜太小，一般認為不宜有1/5以上格子的理論頻數(shù)小于5或有一個格子的理論頻數(shù)小于1不太理想的辦法與鄰近行或列中的實際頻數(shù)合并刪去理論頻數(shù)太小的格子所對應(yīng)的行或列

9、最理想的辦法增加樣本含量以增大理論頻數(shù)（但是可能嗎）確切概率法29確切概率法30分析實例注意：確切概率法不屬于2檢驗的范疇，但常作為2檢驗應(yīng)用上的補充。31分析實例1建立檢驗假設(shè)和確立檢驗水準H0：新藥組與對照組療效相等，即 1 = 2H1：新藥組與對照組療效不等，即 1 22計算概率和確定P值本例n = 36 40，不滿足2檢驗的應(yīng)用條件，宜采用四格表確切概率法。32方法原理在四格表周邊合計不變的條件下，在相應(yīng)的總體中進行抽樣，四格表中出現(xiàn)各種排列組合情況的概率本例即28、8、22、14保持不變的條件下，若H0成立，計算出現(xiàn)各種四格表的概率33方法原理然后將其中小于等于現(xiàn)有樣本概率的概率值相加，即為P值：本例中P值=P(0)+ P(6)+P(7)+P(8)=0.03610.0534一點補充確切概率法的原理具有通用性，對于四格表以外的情況也適用，如行乘列表、配對、配伍表格均可對于較大的行乘列表，確切概率法的計算量將變得十分驚人，有可能超出硬件系統(tǒng)可以支持的范圍此時可以采用計算統(tǒng)計學(xué)中的其他抽樣技術(shù)加以解決，如Bootstrap方法等35Stata計算兩個或多個率、構(gòu)成比的比較 1、Pearson 2 對兩個樣本率比較 tabi a b c d,chi2 r 其中r表示按行計算比例 2、用Fisher確切概率法檢驗量個樣本率 tabi a b c d,ch