數(shù)字信號(hào)處理：第3章離散傅里葉變換DFT

1、第三章 離散傅里葉變換DFT: Discrete Fourier Transform第三章學(xué)習(xí)目標(biāo)理解傅里葉變換的幾種形式了解周期序列的傅里葉級數(shù)及性質(zhì)，了解周期卷積過程掌握離散傅里葉變換及性質(zhì)，理解圓周移位，掌握圓周卷積、線性卷積和周期卷積三者之間的關(guān)系了解頻域抽樣理論理解頻譜分析過程一、序列分類對一個(gè)序列長度未加以任何限制，則一個(gè)序列可分為： 無限長序列：n=或n=0或n= 0 有限長序列：0nN-1有限長序列在數(shù)字信號(hào)處理是很重要的一種序列。由于計(jì)算機(jī)容量的限制，只能對過程進(jìn)行逐段分析。引言 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換不適宜于在數(shù)字計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算。其主要原因?yàn)椋?信號(hào)覆蓋了整個(gè)時(shí)間軸（時(shí)間受限

2、信號(hào)除外） 信號(hào)是時(shí)間連續(xù)的 信號(hào)的頻譜覆蓋了整個(gè)頻譜軸（頻帶受限信號(hào)除外） 信號(hào)是頻譜連續(xù)的時(shí)間要離散、有限！ 頻譜要離散、有限！二、離散傅里葉變換（DFT）的引入由于有限長序列，引入DFT。DFT是反映“有限長”這一特點(diǎn)的一種有用工具。DFT變換除了作為有限長序列的一種傅里葉表示,在理論上重要之外，而且由于有DFT的有效快速算法-FFT, 使DFT得以實(shí)現(xiàn)，并在各種數(shù)字信號(hào)處理的算法中起著核心的作用。周期延拓中的搬移通過與 的卷積來實(shí)現(xiàn)時(shí)域周期延拓時(shí)域截?cái)鄷r(shí)域抽樣解決信號(hào)的離散化問題工程上無法處理時(shí)間無限信號(hào)要使頻率離散，就要使時(shí)域變成周期信號(hào)時(shí)域乘以矩形脈沖信號(hào)，頻域相當(dāng)于和抽樣函數(shù)卷積

3、通過窗函數(shù)對信號(hào)進(jìn)行逐段截取連續(xù)信號(hào)離散化使得信號(hào)的頻譜被周期延拓周期延拓后的周期函數(shù)具有離散譜通過與抽樣信號(hào)相乘得到經(jīng)過抽樣、截?cái)嗪脱油睾螅盘?hào)時(shí)域和頻域都是離散、周期的。三、DFT的推導(dǎo)：一、傅里葉變換的幾種形式時(shí)間t頻率f四種不同形式傅里葉變換對 連續(xù) 離散 連續(xù) 離散 3.1 四種時(shí)間信號(hào)及其傅里葉變換傅里葉變換：建立以時(shí)間t為自變量的“ 信號(hào) ”與以頻率 f 為自變量的“ 頻率函數(shù) ”(頻譜) 之間的某種變換關(guān)系。二、四種形式的傅里葉變換（一）針對連續(xù)信號(hào) （1）非周期信號(hào)的傅里葉變換（FT） （2）周期信號(hào)的傅里葉級數(shù)（FS）（二）針對離散信號(hào) （3）非周期信號(hào)的序列的傅里葉變換（

4、DTFT） （4）周期信號(hào)的離散傅里葉級數(shù)（DFSDFT）1、連續(xù)傅里葉變換（FT）時(shí)域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜，時(shí)域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜。 2、傅里葉級數(shù)（FS）時(shí)域的連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的頻譜函數(shù)，頻域的離散頻譜就與時(shí)域的周期函數(shù)相對應(yīng)。 周期信號(hào)的頻譜只會(huì)現(xiàn)在離散頻率點(diǎn)上，這種頻譜稱為離散譜。 3、序列的傅里葉變換（DTFT）是w的連續(xù)周期函數(shù)時(shí)域的離散函數(shù)造成頻域是周期的頻譜函數(shù)，頻域的連續(xù)頻譜就與時(shí)域的非周期函數(shù)相對應(yīng)。 4、離散傅里葉級數(shù)（DFS）時(shí)域的離散函數(shù)造成頻域是周期的頻譜函數(shù)，頻域的周期頻譜就與時(shí)域的離散時(shí)間函數(shù)相對應(yīng)。 四種形式的傅里葉變換對示意圖圖3-1

5、 四種信號(hào)及其頻譜示意圖一個(gè)域內(nèi)是周期性的對應(yīng)另一個(gè)域是離散的，一個(gè)域內(nèi)的周期必是另一個(gè)域中兩取樣點(diǎn)間增量的倒數(shù)。 3.2 周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)由圖(c) (d)推導(dǎo)出離散付里葉級數(shù)變換： 為周期連續(xù)頻譜密度函數(shù)，對其進(jìn)行采樣，使其成為周期性離散頻譜函數(shù)。一、離散傅里葉級數(shù)定義（3-1）時(shí)域采樣，頻域周期延拓，若用“”表示周期，則序列對一個(gè)周期（ ）等間隔采樣N個(gè)點(diǎn)，則采樣間隔代入（3-1）式，得離散化的頻率頻域采樣，周期延拓即 則二、頻域采樣時(shí)域不失真條件nN點(diǎn)N點(diǎn)k M點(diǎn) 頻域周期延拓，周期圖ac 時(shí)域采樣( 滿足采樣定理 ) 采M個(gè)點(diǎn)，采樣間隔圖cd 頻域采樣： 采樣間隔假

6、設(shè)一個(gè)周期 采N個(gè)點(diǎn)，則時(shí)域周期延拓不交疊，則 （了解） 可看作是對 的一個(gè)周期 做 變換然后將 變換在 平面單位圓上按等間隔角 抽樣得到。補(bǔ)充： 了解 3.3 DFS的主要性質(zhì)1 線性其中， 為任意常數(shù)若則2 序列的移位（1） 時(shí)域移位（2）頻域移位3 周期卷積利用對稱性兩個(gè)周期序列的周期卷積過程：3.4 離散傅里葉變換（DFT）的定義 周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值是獨(dú)立的，因而它的離散傅里葉級數(shù)表示式也適用于有限長序列，這就得到有限長序列的傅里葉變換（DFT）。1.有限長序列和周期序列之間的關(guān)系 設(shè)x(n)為有限長序列，長度為N。我們把它看成周期序列 的一個(gè)周期，而把 看成x(n)以N為

7、周期的周期延拓，這樣就建立了有限長序列和周期序列之間的聯(lián)系。上述兩式可分別表示為 n=0到N-1的范圍稱為主值區(qū)間。的第一個(gè)周期，即n=0到N-1的序列稱為主值序列，例如， 是周期為N8的序列，求n=19和n=-2兩數(shù)對N的余數(shù)。所以 m為整數(shù),可正可負(fù) 符號(hào)解：因?yàn)槔?-1 解： 同理，可以認(rèn)為周期序列 的DFS系數(shù) 是有限長序列X(k)周期延拓的結(jié)果，而 X(k)是 的主值序列。 即 2 有限長序列的DFT定義 從DFS和IDFS的定義可以看出，求和運(yùn)算只限定在0到N-1的主值區(qū)間內(nèi)進(jìn)行，因而完全適用于主值序列x(n) 與X(k) 。因此我們得到一個(gè)新的定義，這就是有限長序列的離散傅里葉變

8、換定義：DFS有限長序列的DFT定義 在離散傅里葉變換關(guān)系中，有限長序列都作為周期序列的一個(gè)周期來表示，都隱含有周期性意義。注意：例3-2 是一個(gè)長度N=12的有限長序列，求解： 3 DFT的圖形解釋DFT3.5 離散傅里葉變換的性質(zhì)DFT正變換和反變換1 線性性質(zhì)這里，序列長度及DFT點(diǎn)數(shù)均為N若不等，分別為N1，N2，則需補(bǔ)零使兩序列長度相等，均為N，且若則2 圓周移位圓周移位的過程：一個(gè)長度為N的序列x(n)的圓周(循環(huán))移位定義為m：正整數(shù)時(shí)右移 負(fù)整數(shù)時(shí)左移m為整數(shù)圓周移位的過程（左移）圖 3-4 圓周移位過程示意圖（N=6）左移順時(shí) 由圖，當(dāng)主值序列左移m個(gè)樣本時(shí)，從右邊會(huì)同時(shí)移進(jìn)

9、m個(gè)樣本，好像剛從左邊移出的那些樣本又從右邊循環(huán)移了進(jìn)來，故稱“循環(huán)移位”。（1）時(shí)域循環(huán)移位定理（2）頻域循環(huán)移位定理若則若則 有限長序列的圓周移位導(dǎo)致頻譜線性相移，而對頻譜幅無影響。 有限長序列的圓周移位導(dǎo)致頻譜線性相移，而對頻譜幅度無影響。（1）時(shí)域圓周移位定理（證明自學(xué)） （2）頻域圓周移位（自學(xué)）時(shí)域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位3 圓周卷積若則證明：因?yàn)镈FT隱含周期性，將 周期延拓，由周期卷積，若則圓周卷積是周期卷積取主值簡記為 是取主值*N有時(shí)*若圓周卷積定理說明：對于DFT 頻域相乘時(shí)域圓周卷積。根據(jù)對偶原理， 時(shí)域相乘頻域圓周卷積則*求例3-4 假設(shè)兩個(gè)N點(diǎn)長序列 解：利用

10、圓周卷積定理求解 兩列長為N的序列的圓周卷積仍是列長為N的序列 線性卷積不受主值區(qū)間限制 圓周卷積是周期卷積取主值，在一定條件下與線性卷積相等。 兩個(gè)長度都為N的因果序列的圓周卷積仍是一個(gè)長度為N的序列，而它們的線性卷積卻是一個(gè)長度為2N-1的序列。線性卷積循環(huán)卷積3.6節(jié)詳細(xì)討論 ？同樣，利用對稱性若則4 共軛對稱性 (了解) 其中：任意序列可表示成 和 之和:其中，x(n)列長N對稱性是指關(guān)于N/2點(diǎn)的對稱性。解決：-周期共軛反對稱序列-周期共軛對稱序列同理：實(shí)部圓周偶對稱、虛部圓周奇對稱幅度圓周偶對稱、幅角圓周奇對稱實(shí)部圓周奇對稱、虛部圓周偶對稱幅度圓周偶對稱、幅角沒有對稱性共軛對稱性

11、DFT DFT DFT DFT 例：設(shè)x1(n)和x2(n)都是N點(diǎn)的實(shí)數(shù)序列，試用一次N點(diǎn)DFT運(yùn)算來計(jì)算它們各自的DFT: 5 DFT形式下的Parseval定理3.6 有限長序列的線性卷積與圓周卷積輸出無快速算法有快速算法*而L點(diǎn)圓周卷積FFTIFFT1.線性卷積的列長兩式相加，得線性卷積：2.圓周卷積和線性卷積之間的關(guān)系：對x1(n)和x2(n)補(bǔ)零，使其長度均為L點(diǎn)；對x1(n)和 x2(n)進(jìn)行列長為L的圓周卷積：*圓周卷積是周期卷積的主值序列先求周期卷積對x1(n)和 x2(n)以L為周期進(jìn)行周期延拓：周期卷積：圓周卷積：周期卷積是線性卷積的周期延拓，簡記為是*的周期延拓圓周卷積

12、是線性卷積周期延拓后取主值序列 是的主值序列* * L點(diǎn)的圓周卷積是線性卷積以L為周期進(jìn)行周期延拓后再取主值序列*結(jié)論：例3-5補(bǔ)充：線性卷積求解方法時(shí)域直接求解 補(bǔ)L-N1個(gè)零x(n)L點(diǎn)DFT補(bǔ)L-N2個(gè)零h(n)L點(diǎn)DFTL點(diǎn)IDFTy(n)= x(n)*h(n)z變換法DFT法快速算法3.7 延長序列的離散傅立葉變換1. 后邊補(bǔ)零延長 頻率采樣點(diǎn)數(shù)增加，譜線加密，在實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)需要調(diào)整L值，就可以改變頻率采樣點(diǎn)間隔，得到不同密度的譜線。 等間隔采樣2. 插入零值延長 序列值之間補(bǔ)零后的DFT，是原序列DFT的周期重復(fù)，重復(fù)周期為N 3. 重復(fù)序列本身延長 圖3-7 例3-6圖例3-

13、6 已知 求X(k)及用三種方法延長后的 序列和相應(yīng)的DFT 。 延長序列的序列值分別為：三序列的DFT分別為： 3.8 DFT與z變換、傅里葉變換的關(guān)系1、DFT與z變換進(jìn)行對比得2、DFT與DTFT變換進(jìn)行對比得所以：DFT與Z變換、DTFT變換的關(guān)系單位圓上取值單位圓上等間隔取樣所以 0,2等間隔取樣注意：關(guān)于離散傅里葉變換(DFT) 1）序列x(n)在時(shí)域是有限長的（長度為N），它的離散傅里葉變換X(k)也是離散、有限長的（長度也為N）。 n為時(shí)域變量，k為頻域變量。 2）離散傅里葉變換與離散傅里葉級數(shù)沒有本質(zhì)區(qū)別，DFT實(shí)際上是離散傅里葉級數(shù)的主值，DFT隱含有周期性。 3）離散傅里

14、葉變換（DFT）具有唯一性。 離散傅里葉變換理論實(shí)現(xiàn)了頻域離散化，因而開辟了用數(shù)字技術(shù)在頻域處理信號(hào)的新途徑。 3、用頻域采樣X(k)表示X(z) 的內(nèi)插公式4、用頻域采樣X(k)表示 的內(nèi)插公式 圖3-9 在N=5時(shí)的幅頻特性和相頻特性3.9 DFT應(yīng)用中的問題實(shí)際應(yīng)用中，常用DFT對模擬信號(hào)作頻譜分析信號(hào)的頻譜分析：計(jì)算信號(hào)的傅里葉變換DFT應(yīng)用中的問題有：1）混疊效應(yīng)3）柵欄效應(yīng)2）頻譜泄漏(截?cái)嘈?yīng))抽樣截短周期延拓取一個(gè)周期周期延拓周期延拓取一個(gè)周期卷積周期延拓抽樣1）混疊效應(yīng) 不存在持續(xù)時(shí)間有限的帶限信號(hào)，信號(hào)截短導(dǎo)致頻域展寬。對時(shí)域采樣，頻域周期延拓，產(chǎn)生頻譜混疊。 實(shí)際信號(hào)都是

15、高頻衰減的改善方法：提高采樣頻率來減少頻譜混疊2）頻譜泄漏對時(shí)域截短，使頻譜變寬拖尾，稱為泄漏 泄露使頻譜變模糊，使譜分辨率降低； 泄露現(xiàn)象是由截?cái)嘣斐傻?，但是靠增加N并不能減少泄露。 改善泄露的辦法是采用其他形式的窗函數(shù)，如漢明窗，漢寧窗等。3）柵欄效應(yīng)改善方法：增加頻域抽樣點(diǎn)數(shù)N（時(shí)域補(bǔ)零），使譜線更密 序列x(n)的頻譜是連續(xù)的，而DFT是這個(gè)連續(xù)譜的均勻抽樣。 如果用X(k)去近似，就一定意義上來講，好象是在柵欄的一邊通過柵欄的縫隙（對應(yīng)離散點(diǎn)）去觀看另一邊的景象（對應(yīng)連續(xù)頻譜），只能在離散點(diǎn)的地方看到真實(shí)的景象。 因此，那些被柵欄擋住的（頻譜）部分是看不到的，這就有可能漏掉一些較大頻率分量。我們稱這種現(xiàn)象為“柵欄效應(yīng)”。