第七章2線性微分方程組

1、線性微分方程組線性微分方程組基本知識線性微分方程組非線性微分方程組高階線性微分方程南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系2013年5月1線性微分方程組的有關(guān)概念1 線性微分方程組的定義定義形如 a(t)x a(t)x af (t)x(t)x11111221nn1 x a(t)x a(t)x a(t)x f(t)22112222nn2 a(t)x a(t)x a(t)x fx(t)nn11n 22nnnn的微分方程組,稱為一階線性微分方程組.其中aij (t)(i, j, 1, 2, n), fi (t)(i 1, 2, n)在a t b上連 續(xù).2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系22 函

2、數(shù)向量和函數(shù)矩陣的有關(guān)定義(1)n維函數(shù)列向量定義為 x1 (t) x(t) 每一xi (t)(i 1, 2, n)在區(qū)間I上有定義 .x(t) 2 x(t) nn n函數(shù)矩陣A(t)定義為 a11a12 (t) t)每一aij (t)在I上有定義. aa(t) t)2nn2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系3(2 )函數(shù)向量和矩陣的連續(xù),微分和積分的概念如果函數(shù)向量x連續(xù)函數(shù))的每一元素都是區(qū)間連續(xù)a t b上的 可微函數(shù),)在a t b上 可微,則稱x 可積 可積函數(shù)此時,它們的導(dǎo)數(shù)與積分分別定義為 a(t) at) x (t) 111n1x(t)x (t) ,.2 a(t) x

3、 (t) at)n2nn2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系4x (s)ds t注:1關(guān)于函數(shù)向量與矩陣的微分,積分運算法則,和普通數(shù)值函數(shù)類似.t0tx2 (s)ds ttx(s)ds t00txn (s)ds 0ta(s)ds ttttta(s)dsa(s)ds(s)ds 11121nt000tttt00an1 (s)dsan 2 (s)dsttttann (s)ds 0tt002013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系53 一階線性微分方程組的向量表示對一階線性微分方程組: a(t)x a(t)x a(t)x f (t)x11111221nn1 x a(t)x a(t)x

4、a(t)x f(t)(1)22112222nn2 a(t)x a(t)x a(t)x fx(t)nn11n 22nnnnA)nn ,x , x )T ,若記2nf (t) ( f (t), f(t)T(t), f12n則(1)可寫成dx A(t)x f (t)(1)dt2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系6例1驗證向量 etu(t) te是初值問題x(0) 1 1在區(qū)間 t 上的解.2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系74n階線性微分方程的初值問題與一階線性微分方程組的初值問題關(guān)系對n階線性微分方程的初值問題 a (t)x(n1) a(t)x x(n)f (t)1n(2)

5、, x (t ) , x(n1) (t ) x(t01020n其中ai (t)(i 1, 2, n), fi (i 1, 2, n)為常數(shù) . t b上連續(xù), t0 a, b,x x, x x, x x, ,x x(n1) ;若令:1n232013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系8x2 ,x3 ,xn ,x x(n) a (t)x a(t)x a (t)x f (t),n1nn121n而且:x (t ) x(t ) , x (t ) x (t ) ) ) x(n1) (t, x (t10012002n00n即方程(2)可化為2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系9則有:, xx,

6、 x x(n1).n 000a100010a001000 x xt) f (t)t)11(3)1 ) 2 x(t 0 n 2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系10例2將初值問題 2x 8tx et , x(0) 1, x (0) 4x化為與之等價的一階微分方程組的初值問題.x (t) x,設(shè) x (t) x,則有解:218tx et 8tx 2xet ,x12 8txxx ,12即有 2x et ,x212 0 1 x (t) 0 x (t)也即 1 1t 2 x2 (t) e x2 (t) 8t x1 (0) 1 x (0) 4 22013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系11

7、注: 每一個n階線性微分方程可化為n個一階線性微方程組,反之卻不成立.分方程如:方程組10 x (t) x (t)1 1 x2 (t) 1 x2 (t) 0不能化為一個二階微分方程.2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系12線性微分方程組的一般理論線性微分方程組線性微分方程組非高階線性微分方程2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系13一階線性微分方程組:dx A(t)x f (t),(1)dt這里A(t)和f b上連續(xù),若f (t) 0則(1)變?yōu)閐x A(t)x,(4)dt稱(4)為一階齊線性微分方程組.若f (t) 0,則稱(1)為非齊線性微分方程組.2013年5月南京航空

8、航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系14如果x1 (t), x2 (t), xm (t)是方程組(4)的m個解,定理2則它們的線性組合c1 x1 (t) c2 x2 (t) cm xm (t)也是方程組(4)的解, 這里c1 , c2 ,cm是任常數(shù).由于xi (t)(i 1, 2,m)是方程組(4)的m個解證明:dxi則有i 1, 2, m)x (t),idtmdx (t)mdm cc x (t)所以icA(t)x (t)iiiiidtdti1i1i1m A(t ) ci xi (t )i 12013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系15線性微分方程組1 疊加原理dx A(t)x, (4)dt2 函

9、數(shù)向量組線性相關(guān)與無關(guān)設(shè) x1(t), x2 (t), xm (t) 是一組定義在區(qū)間a,b定義上的函數(shù)列向量，如果存在一組不全為零的常數(shù)C1,使得對所有a t b ，有恒等式C , ., Cm ,2c1 x1 (t) c2 x2 (t) cm xm (t) 0則稱x1(t), x2(t) , ., xm(t)在區(qū)間a, b上線性相關(guān);否則就稱這組向量函數(shù)在區(qū)間a,b上線性無關(guān).2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系16例1證明:函數(shù)向量組cos2 t 1 sin2 t x (t) ,x (t) ,1t1t12在任何區(qū)間都是線性相關(guān)的.取c1 1, c2 1,則cos2 t (1 si

10、n2 t)證明:0 0 ,c x (t) c x (t)11t tt 01122故x1 (t), x2 (t)在任何區(qū)間線性相關(guān)2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系17例2證明:函數(shù)向量組 ete2t 0 3t 3t x (t) 0 ,x2 (t) e , 1 x3 (t) e ,1et 0 在(-,+)上線性無關(guān).證明:要使 ete2t 0 c 0 ce3t 0e3t cc x (t) c x (t) c x (t)1 23112233et 0 1 2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系18則需 ete2t c 00e3t10e3t11 0 , t e3t0c 2 et0

11、c0 3 et 0ete2t e3t0因為 2e4tt 0,c1 c2 c3 0,所以x1 (t), x2 (t), x3 (t) 線性無關(guān).故2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系193函數(shù)向量組線性相關(guān)與無關(guān)的判別準(zhǔn)則(1) Wronski行列式設(shè)有n個定義在a t b上的向量函數(shù) x11 (t) x12 (t) x1n (t) x(t) x(t) x(t)x (t) , x (t) , x (t) 21222n12n x(t) x(t) x(t)n1n 2nn由這n個向量函數(shù)所的行列式x11 (t)x21 (t)x12 (t)x22 (t)x1n (t)x2n (t) ,W x

12、(t), x (t), x (t) W (t) 12nxnn (t)xn1 (t)xn 2 (t)稱為這n個向量函數(shù)所的Wronski行列式2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系20t b上 b.(2)定理3 如果向量函數(shù)x1 (t), x2 (t), xn線性相關(guān),則它們的Wronski行列式W)0,t b上線性相關(guān),因x1(t), x2 (t), xn證明:從而存在不全為零的常數(shù)c1 , c2 , cn ,使c1 x1 (t) c2 x2 (t) cn xn b故對任一確定的t0 a, b, 有c1 x1 (t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ) 0,即常向量組x

13、1 (t0 ), x2 (t0 ), xn (t0 )線性相關(guān),故W (t0 ) 0,t b.21由t0的任意性有W2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系(3)定理4如果(4)的解x1 (t), x2 (t), xn (t)線性無關(guān), b.則它們Wronski的行列式W若有t0 a, b, 使得W (t0 ) 0,證明:“反證法”則 數(shù)值向量組x1 (t0 ), x2 (t0 ), xn (t0 )線性相關(guān) ,從而存在不全為零的常數(shù)c1 , c2 , cn ,使得c1 x1 (t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ) 0,現(xiàn)在考慮函數(shù)向量x(t) c1 x1 (t) c

14、2 x2 (t) cn xn (t)(#)x(t)是(4)的解,由定理2知,2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系22該解x(t)滿足初始條件 x(t0 ) 0由(#)知,x(t) 0因此,由解的存在唯一性定理知,c1 x1 (t) c2 x2 (t) cn xn b即有t b上線性相關(guān),故解組x1(t), x2 (t), xn注1:(4)n個解x1 (t), x2 (t), xn (t)線性相關(guān) W(4)n個解x1 (t), x2 (t), xn (t)線性無關(guān) Wt b.注2:t b.即(4)n個解x1 (t), x2 (t), xn (t)所的Wronsky行列式,或者恒等于零,

15、或者恒不等于零.2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系23(4)定理5(4)一定存在n個線性無關(guān)的解.a, b, 由解的存在唯一性定理知,任取t0證明:(4)一定存在滿足初始條件100010 x (t ) , x (t ) , x(t ) 11020n000 的解x1 (t), x2 (t), xn (t);t a, bW (t0 ) W x1 (t0 ), x2 (t0 ), xn (t0 ) 1 0且t b上線性無關(guān).故x1(t), x2 (t), xn2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系244 通解結(jié)構(gòu)及基本解組如果x1 (t), x2 (t), xn (t)是(4)n

16、個線性無關(guān)的x(t)=ci xi (t)是(4)的通解,i1其中c1,c2,cn是任常數(shù).(4)的任一解x(t)均可表為x1 (t), x2 (t), xn (t)的線性組合.由已知條件,定理6解,則n證明:nx(t)=ci xi (t)是(4)的解,它含n個任常數(shù),i12013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系25又因為x(t)x(t)x(t)11121nx21 (t)xn1 (t)x22 (t)xn 2 (t)x2n (t)xnn (t)xn ) W (t) 0(c1, c2 , cn )故c1,c2,cn彼此獨立,于是x(t)=ci xi (t)是(4)的通解.i1n且x(t0 )

17、x0 ,(2) 設(shè)x(t)是(4)的任一解,因x1 (t), x2 (t), xn (t)是(4)n個線性無關(guān)的解,從而可知數(shù)值向量組x1 (t0 ), x2 (t0 ), xn (t0 )線性無關(guān) ,2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系26n維線性空間的基, 故對向量x(t0 ) x0 ,即它們一定存在唯一確定常數(shù)c1,c2 ,cn , 滿足x(t0 ) c1 x1 (t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ),現(xiàn)在考慮函數(shù)向量x(t) c1 x1 (t) c2 x2 (t) cn xn (t)x(t)是(4)的解,由定理2知,由上式知, 該解x(t)滿足初始條件x(

18、t0 ) x(t0 ) x0 x(t) x(t)因此,由解的存在唯一性定理,應(yīng)有x(t) c1 x1 (t) c2 x2 (t) cn xn (t)即2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系27推論1(4)的線性無關(guān)解的最大個數(shù)等于n.基本解組: (4)n個線性無關(guān)解x1 (t), x2 (t), xn (t);為(4)的一個基本解組.注1:注2:注3:(4)的基本解組不唯一.(4)所有解的集合一個n維線性空間.由n階線性微分方程的初值問題與線性微分方組的初值問題的等價性描述,本節(jié)所有定理都可平行推論到n階線性微分方程去.2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系28一組(n-1)次

19、可微的純量函數(shù)x1 (t), x2 (t), xn (t)首先有:線性相關(guān)的充要條件是,向量函數(shù)x1 (t)x2 (t)xn (t) , x (t)xx(t)(t) , ;1(n2n() (n(n 1)1)1)x(t)x(t)x(t) 12n線性相關(guān).設(shè)x1 (t), x2 (t), xn (t)線性相關(guān) ,證明:則存在不全為零的常數(shù)c1, c2 , cn ,使得c1 x1 (t) c2 x2 (t) cn xn (t) 0將上式對t微分一次,二次,n-1次得2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系29c x (t) c x (t) c x (t) 01122nnc x (t) c x

20、(t) c x (t) 01122nnc x (n1) (t) c x (n1) (t) c x(n1) (t) 011即有22nnx1 (t)x2 (t)xn (t)x (t)xx(t)(t)c c c 0, ()1(n2n1 2 n (n(n1)1)1)x(t)x(t)x(t)12n即向量組(*)是線性相關(guān)的.2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系30反之,如果向量組(*)是線性相關(guān),則存在不全為零的常數(shù)c1 , c2 , cn ,使得( )成立當(dāng)然有c1 x1 (t) c2 x2 (t) cn xn (t) 0這表明x1 (t), x2 (t), xn (t)線性相關(guān).從本節(jié)定理

21、6立即得到2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系31推論2如果x1 (t), x2 (t), xn (t)是n階微分方程n1d n x t)x 0a1dtnn個線性無關(guān)解;其中ai (t)(i 1, 2, n)是a t b上連續(xù)函數(shù),則它的任一解x(t)可表為x(t) c1 x1 (t) c2 x2 (t) cn xn (t)這里c1 , c2 , cn ;是相應(yīng)確定的常數(shù).2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系325 解矩陣與基解矩陣及性質(zhì)(1)定義如果一個n n矩陣的每一列都是(4)的解,則稱這個矩陣為(4)的解矩陣.如果該矩陣的列在a, b是(4)的線性無關(guān)解組,則稱該解

22、矩陣為(4)的基解矩陣.的矩陣.基解矩陣-以基本解組為列以(4)基本解組1(t),2 (t),n (t)為列矩陣,用(t)表示,即(t) 1(t),2 (t),n (t).的2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系33(4)一定存在一個基解矩陣(t),(2)定理1*如果 (t)是(4)的任一解, 那么 (t) (t)C,這里C是確定的n維向量.(4)的解矩陣(t)是基解矩陣充要條件是:t b),而且,如果對某一t0 a, b,(3)定理2*det (det (t0 ) 0,則det(2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系34注1:行列式恒等于零的矩陣列向量未必線性相關(guān). 1t 2

23、 t10 0t 如矩陣 00 nn矩陣(t)是(4)基解矩陣充要條件是:注2:t b; 且t0a, b使det (t0 ) 0.t)2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系35ettet (t) 0例3驗證是方程組et的基解矩陣.2 解:由于et (t 1) 11 ettet 11 (t)et(t) 001 001etet 故(t)是解矩陣,et0tet et e 02tdet (t) 又由于所以(t)是基解矩陣2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系36推論1* 如果(t)是(4)在a t b基解矩陣,C是非 奇異n n常數(shù)矩陣,那么(t)C也是在區(qū)間a t b上的基解矩陣.由于

24、(4的)基解矩陣(t)滿足證明:t b;t)令(t) (t)C, a t b;則 (t) (t)C A(t)(t)C A(t)(t)故(t)為(4)的解矩陣, 又由C的非奇異性det (t) det (t) det C 0,a t b因此, (t)即(t)C是(4)的基解矩陣.2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系37如果(t),t b上兩個基解推論2*矩陣, 那么, 存在一個非奇異n n常數(shù)矩陣C, 使得在區(qū)間a t b上, 有(t) (t)C.證明: 由于(t)是基解矩陣, 故其逆矩陣1 (t)存在,令1(t)(t) X (t),則X (t)是n n可微矩陣,且即(t) (t) X

25、 (t),t b;det X (A(t)(t) (t) (t) X (t) (t) X (t)于是有 A(t)(t) X (t) (t) X (t) A(t)(t) (t)(t) X (t) 0,t b;由此2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系38 t b;即X 故x(t)為n n常數(shù)矩陣且非奇異, 記作C(t) (t)C,即有 ete3t (t) 例4驗證是方程組et3te 21 x,x基解矩陣,并求其通解.12分別用1(t),2 (t)表示矩陣(t)的第一,二列,即解: et e3t ,1 (t)(t),2et3te2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系39 et1 et

26、221 (t) (t) 21211etet1 1 e3t 21 (t)223t3e2 (t) 12 123t 3t e3e因此1(t),2 (t)是方程組的解, 即(t)為解矩陣,etete3te3t又由于det (t) 2e 04t故(t)是基解矩陣,其通解為 c et ete3t c c e3tx (t)C 112 etc et c e3te3tc2 122013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系40dx A(t)x f (t),(1)dt b上已知的n n連續(xù)矩陣,這里At b上已知n維連續(xù)列向量.1 非齊線性微分方程組解的性質(zhì)f如果(t)是(1)的解,而 (t)是(1)對應(yīng)的性質(zhì)1

27、齊線性方程組(4)的解,則(t) (t)是(1)的解.如果(t), (t)是(1)的兩個解,則(t) - (t)性質(zhì)2 是(4)的解.2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系41二 非線性微分方程組dx A(t)x, (4)dt設(shè)f (t) f1 (t) f2 (t) fm (t);且xj (t)是方程組性質(zhì)3mx =A(t)x f (t)的解,則x= x (t)是方程組(1)的解.jjj 12 通解結(jié)構(gòu)定理設(shè)(t)是(4)的基解矩陣,而 (t)是(1)定理7的某一解,則(1)的任一解(t)可表為(t) (t)C (t)這里C是確定的常數(shù)列向量.(t) (t)是(4)的解證明:由性質(zhì)2知

28、,再由定理1*得: (t) (t) (t)C,(t) (t)C (t), 這里C是確定的常數(shù)列向量.即2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系423 常數(shù)變易公式一階線性微分方程組的常數(shù)變易公式設(shè)(t)是(4)的基解矩陣,x(t)=(t)C,其中C是任意的常數(shù)列向量,則(4)的通解為(t)=(t)C(t),下面尋求(1)形如的解,把它代入(1),得 (t)C(t) (t)C)(t)C(t) f (t)由于(t)是(4)的基解矩陣,故t)(t),2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系43因此C(t)滿足下面方程(t)C(t)=f(t)從而C (t) 1(t) f (t)對上面方程從

29、t0到t積分,并取C(t0 ) 0得tt1(s) f (s)ds,C(t) t , t a, b,00因此(t) (t)tt1(s) f (s)ds,t , t a, b,(5)00可驗證(5)是方程組(1)滿足初始條件(t0 ) 0的特解.2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系44如果(t)是(4)的基解矩陣,則向量函數(shù)t定理8(1)(t) (t)1(s) f (s)ds,t0是(1)的解,且滿足初始條件 (t0 ) 0(2) 方程組(1)的通解為tx(t) (t)C (t)1(s) f (s)ds.t0(1)滿足初始條件(t0 ) 的解為,注1:t(t) (t)-1(t ) (t)

30、1(s) f (s)ds,(6)0t0這里 (t) (t)1(t )是(4)滿足初始條件 (t ) 的解00注2: 公式(5)或(6)稱為(1)的常數(shù)變易公式.2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系45e 212t x x例5解:的通解.求方程組由例4知(t) 12e3t 0 etet3te方程的基解矩陣, 求(t)的逆矩陣得是對應(yīng)e3s se s e3se1211(s)e3sses3see4 s2e由(5)得方程的特解為 1 ete3t t e se s e2s (t) 0 dse3set3t3s2ee0 2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系46t(t) (t) 1(s)

31、f (s)dst0 1 ete3t t es 1 ete3tds se2e2tet3t3tt22eee0所以,原方程的通解為1 ete3t (t)C x(t) 2e2t 3tt2eec et c e3t 1 (e3t et )122(e3t12c et c e3t 2e2t et )122013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系47例6試求初值問題1t x1 , x x , x(0) 1 的解. 2 解:由例3知ettet (t) 0et求(t)的逆矩陣得方程的基解矩陣,是對應(yīng)sses 1es1 s(s) e2s11 e 00es2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系481(0)

32、故方程滿足初始條件的解是1t(t) (t) (0) (t)(s) f (s)ds-110ettet s e s 10 1ettet 1t se1 0 ds 00 01 1 et t0 0e (t 1)et ettet t e2 s 0 ds 0etet0tet et )1 (et2 1 (et et )(t 1)et 2te0te2013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系49(2) n階線性微分方程的常數(shù)變易公式 a (t)x(n1) a(t)x f (t) ,x(n)(2)1n設(shè)x1 (t), x2 (t), xn (t)是(2)對應(yīng)方程的基本解組,則(3)對應(yīng)方程的基本解組為X (t)

33、 (x (t), x (t), x(n1) (t)T , j 1, 2, n;jjjj從而其基解矩陣為 (t) X1 (t), X 2 (t), Xn (t);故(3)滿足 (t0 ) 0的解為t(t) (t)1(s)F (s)dst02013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系50W (s) 01t x1 (t)xn (t) 1 tds= W (s) 0 W (s) 0 f (s)nnt xk (t)Wk (s) f (s) 1 ds= k 1W (s)t0故(2)滿足(t0 ) 0的解為n(t) k 1xk (t)Wk (s)tf (s)dsW (s)t02013年5月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系51如果ai (t)(i 1, 2, n), ft b上的t b上齊線性方程推論3連續(xù)函數(shù), x1 (t), x2 (t), xn a (t)x(n1) a(t)x 0 ,x(n)(7)1n的基本解組,那么非齊線性方程 a (t)x(n1) a(t)x x(n)f (t) ,(8)1n的滿足初始條件(t0 ) 0, (t0 ) 0,(t0 )