2022年線性代數(shù)題庫難題講解

1、PAGE PAGE 30線性代數(shù)疑難習(xí)題講解1題目 證明向量線性無關(guān)的充要條件是線性無關(guān)。知識點 線性無關(guān)，向量的初等變換。解題步驟：方法一。 必要性：設(shè)即線性無關(guān)有方程組其系數(shù)矩陣的行列式:只有零解即線性無關(guān)充分性：設(shè) 與其等價的式子為線性無關(guān)其系數(shù)矩陣的行列式：方程只有零解即線性無關(guān).方法二：故線性無關(guān)的充要條件是線性無關(guān)方法總結(jié)：方法一是從定義出發(fā)進行證明，必要性比較容易想到，但充分性比較難，要確定與其等價式子的系數(shù)，可通過求解方程組的方法來確定。方法二是利用了向量的初等變換求秩方法來解決問題。相關(guān)例題：例4.9（P67）2題目 設(shè)為n階實矩陣，證明：若，則。知識點：矩陣相乘、轉(zhuǎn)置矩陣、

2、零矩陣概念解題步驟：證明：設(shè)，則其中*為省略表示的代數(shù)和為實數(shù)即0常見錯誤及原因：混淆了零矩陣與行列式為零的概念，由得出。3設(shè)為n階矩陣，若，試證的特征值是 -1或1.知識點：特征值與特征向量解題步驟：方法一。設(shè)的特征值為，對應(yīng)的特征向量為，則有：兩邊左乘矩陣得：或把和代入上式得：因為為非零向量，所以方法二?；蚧虻奶卣髦禐榛蚍椒ㄈ?。設(shè)的特征值為，并設(shè)有多項式則方陣的特征值為由得即相關(guān)例題：例5.4（P89）4題目 設(shè)A, X, B分別是mn,n1,m1矩陣，B0; 是方程AX=B的一個解；對應(yīng)的齊次方程AX=0的一個基礎(chǔ)解系為， ，r = rank(A). 證明 , ， ， ，線性無關(guān)。知識點

3、：線性無關(guān) 基礎(chǔ)解系解題步驟：方法一。（從定義出發(fā)）設(shè)存在k, k, k, k, k，使k+ k+ k+k= 0在等式兩邊左乘A，有kA + kA+ kA+kA= 0， ， ，是齊次方程AX=0的一個基礎(chǔ)解系，是方程AX=B的一個解。 kA+ kA+kA=0， A =B kB=0 B0k = 0 k+ k+ + k=0成立 ， ， ，是齊次方程AX=0的一個基礎(chǔ)解系。 ， ， ， 線性無關(guān)k=k=k= = k=0k = k= k= k= = k=0 , ， ， ， 線性無關(guān).方法二。（反證法）假設(shè) 可由 ， ， ， 線性表示，即 =， ， ，是齊次方程AX=0的一個基礎(chǔ)解系。 ， ， ， 線性

4、無關(guān) 是方程AX=B的一個解A = 0 =B這與B0矛盾假設(shè)不成立不能由， ， ，線性表示 Rank(， ， ，)=n-r+1 , ， ， ， 線性無關(guān).方法三。證明：， ， ，是齊次方程AX=0的一個基礎(chǔ)解系。， ， ，線性無關(guān)。Rank (， ， ) = nr 是方程AX=B的一個解，B0不能由， ， ，線性表示 Rank (， ， ，) = nr1 , ， ， ， 線性無關(guān).方法總結(jié) 雖然向量組線性相關(guān)或無關(guān)的證明比較困難，但還是有多種方法可以解決?？蓮亩x出發(fā)進行證明（方法一），可用反證法進行證明（方法二），還可以利用性質(zhì)或定理進行證明（方法三）。5題目求矩陣A=的特征值與特征向量。知

5、識點 特征值 特征向量解題步驟法：解： A的特征多項式為 det(AE) = =解 det(AE) = 0 得 特征值 當(dāng) 時， 得 則：, 故是A的屬于的全體特征向量，當(dāng) 時， 得 則 ， 故是A的屬于的全體特征向量。常見錯誤解： A= 則 A的特征多項式為 det(AE) =得 特征值 （因為特征值已經(jīng)錯誤，后面的步驟省略）分析 在計算這類題時，大部份同學(xué)都會將矩陣化為對角矩陣或上、下三角矩陣，但有些同學(xué)習(xí)慣于純粹的數(shù)字矩陣的初等變換，而不習(xí)慣于有未知數(shù)的初等變換，于是為了計算方便，便直接將矩陣A變換成對角矩陣或上、下三角矩陣，造成錯誤。其實我們可以知道，當(dāng)矩陣A初等變換成對角矩陣或上、下

6、三角矩陣時，矩陣A就不是原來的矩陣A，而是與矩陣A的秩相同的另一個矩陣了。相關(guān)例題(1)求矩陣A=的特征值與特征向量。(2) 求矩陣A=的特征值與特征向量。6.題目在計算機行列式時如何利用范德蒙行列式的結(jié)果.知識點n階范德蒙行列式的算法為 = (1)它有如下結(jié)構(gòu)特點:的每列都是某一個數(shù)的不同方冪,且自上而下方冪次數(shù)由0遞增至n-1.只要抓住其特點,將所給行列式轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式,然后用(1)式計算結(jié)果.現(xiàn)將常見的轉(zhuǎn)化方法歸納如下:方法一當(dāng)所給行列式各列（或行）都是某元素的不同方冪，但其次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不盡相同時，應(yīng)利用行列式的性質(zhì)（提公因式，調(diào)換行列次序等），將其轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式。

7、例如：計算解 提取各行的公因式，得上式即為n階范德蒙行列式，故=n!(2-1)(3-1)(n-1)(3-2)(4-2)(n-2)n-(n-1)=n!(n-1)!(n-2)!2!1!方法二當(dāng)各行（或列）元素均為某一元素的不同方冪，但都缺少同一方冪時，可用加邊法來轉(zhuǎn)化。例如： 計算 解 (1)當(dāng)a,b,c,d中任兩個相等時，顯然D=0 (2) 當(dāng)a,b,c,d互異時，由于D中缺少三次冪的一行元素，為產(chǎn)生五階范德蒙行列式，現(xiàn)添加一列，得 按最后一列展開，得 f(x)= 因為f(a)= f(b)= f(c)= f(d)=0,故a,b,c,d為f(x)的四個根，由根與系數(shù)關(guān)系得a+b+c+d= -/又因

8、為= -D，而 =(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)故D= -=(a+b+c+d)= (a+b+c+d) (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)方法三行列式的各行（或列）都是元素的不同方冪，只有一行（列）不是元素的某次冪，用行列式性質(zhì)使其轉(zhuǎn)換為范德蒙行列式的形式. 例試用范德蒙行列式計算D= D=(a+b+c) =(a+b+c)(b-a)(c-a)(d-a)方法總結(jié)范德蒙行列式是線性代數(shù)中一個相當(dāng)重要的工具，如果在計算行列式時能夠熟練的適時運用，將為解題過程帶來很大的方便。7.題目 設(shè)n階矩陣X滿足，證明都可逆，并求。知識點 逆矩陣，矩陣的運算解

9、題步驟 證明 方程化為，即，取行列式得，故，即可逆。由 知 X可逆且方程也可以化為，故，即可逆.=.另外也可這樣做:既然已證明原矩陣可逆，則原式一定可化成的形式，只需用待定系數(shù)法便能得到結(jié)果.常見錯誤(1)在求逆矩陣時把矩陣代數(shù)化.如得到像的式子.解得逆矩陣為(2)“巧用代數(shù)變換”由得從而解得逆矩陣為相關(guān)例題設(shè)n階矩陣滿足.8.題目設(shè)向量組線性無關(guān)，且，判斷向量組的線性相關(guān)性.知識點解題過程解法一 （從定義出發(fā)） 設(shè) 即線性無關(guān) 所以線性無關(guān).解法二 （利用矩陣的秩）因為 滿秩即線性無關(guān)。常見錯誤(1)線性相關(guān)性概念模糊，以致無從下手.(2)不會利用系數(shù)行列式求解齊次線性方程組，以致無法利用矩

10、陣的秩求解.代數(shù)難題29.題目設(shè)n階可逆矩陣A滿足A=A，求A的特征值。知識點特征值與特征向量 矩陣的行列式解題過程解：因為A=A所以AA=0 所以det(AA)=detA(AE)=det(A)det(AE)=0 A為可逆矩陣，所以det(A)0 所以det(AE)=0 所以A的特征值為1.常見錯誤設(shè)存在，使Ax=x成立則 det(Ax)=det(A)det(x)=det(x)=det(x) (錯誤在于向量取行列式)所以 有成立.又因為A=Adet(A)=det(A), 即det(A)=0或det(A)=1.由于A為可逆矩陣，det(A)0.所以 det(A)=1當(dāng)n為奇數(shù)時，=1.當(dāng)n為偶數(shù)

11、時，=1.相關(guān)例題設(shè)A為n階矩陣,若A=E，試證A的特征值是1或-1.10.題目設(shè)A是奇數(shù)階正交矩陣，且det(A)=1，證明det(E-A)=0.知識點 = 1 * GB3 正交矩陣的定義：AA=E = 2 * GB3 單位矩陣的性質(zhì)：EA=AE=A E=E = 3 * GB3 矩陣運算規(guī)律 = 4 * GB3 轉(zhuǎn)置矩陣的性質(zhì)：(A+B)=A+B = 5 * GB3 det(A)=det(A) = 6 * GB3 det(AB)=det(A)det(B) = 7 * GB3 det(-A)=(-1)det(A)解題過程 A是正交矩陣EA= AAA= AAEA=( AE)Adet(A)=1de

12、t(EA)=det(AE)A)=det(AE)det(A)=det(AE)det(EA)=det(EA)=det(EA)det(AE)= det(EA)= det(AE)= (1) det(AE)n為奇數(shù)(1)= 1det(AE)=0det(EA)=0常見錯誤 = 1 * GB3 誤以為det(EA)= det(E) det(A)，于是det(EA)=1det(A)=11=0 = 2 * GB3 det(A)=1 =1(其中,為A作初等變換變?yōu)樯先切魏髮蔷€上的元素).det(EA)=（1-）（1-）（1-）.det(E-A)=det(A-E)A)=det(A-E)det(A)=det(A-

13、E)且det(A-E)= （-1）（-1）（-1）.（1-）（1-）（1-）=（-1）（-1）（-1）= (-1)（1-）（1-）（1-）n為奇數(shù)(1)= 1（1）（1）（1）=0det(EA)=0以上證法先把A變?yōu)樯先?，再用E減去變化后的A，再求行列式，這是錯誤的。相關(guān)例題證明：若A為正交矩陣，則det(A)=1. 11題目試就a,b的各種取值情況,討論下列線性方程組的解,若有解,則求出解。 （1） 知識點 線性方程組解的結(jié)構(gòu)解題過程解：B= (1)當(dāng)ab0,且a0時，rank(B)=3，增廣矩陣的秩也等于3，而且等于未知數(shù)的個數(shù)，故方程組（1）有唯一解。其解為： (2)當(dāng)a-b=0，且a

14、0時，rank(B)=2,增廣矩陣的秩也等于2，秩小于未知數(shù)的個數(shù)，此時故方程組（1）有無窮多解。其解可由，解得，代入第一個方程得到；一般解為：（3）當(dāng)a=0，b 為任意數(shù)，此時增廣矩陣可化為：可見，rank(B)=2, 但增廣矩陣的秩為3，所以方程組（1）無解，常見錯誤 在討論帶參數(shù)的線性方程時，盡管初等變換結(jié)果正確，也會產(chǎn)生討論不全的錯誤。 如，當(dāng)ab時，就說原方程有唯一解，沒有指出a0，當(dāng)a=b時，就說原方程組有無窮多解，沒有指出a=b0，等等。相關(guān)例題 確定a,b的值，使下列方程組 有唯一解；無解；有無窮多解，并求出通解。12.題目若線性無關(guān)，其中全不為0. 證明線性無關(guān).知識點 向量

15、線性相關(guān)解題過程 證法一：（從定義出發(fā)） 設(shè)存在常數(shù)，使得 已知，代入上式，得化為： 由題意知：線性無關(guān)由定義，知線性無關(guān)證畢證法二：（由初等列變換，秩相等）由于初等變換不改變矩陣的秩，所以由線性無關(guān)，知的秩為3，所以秩也為3，推出線性無關(guān)證法三：（反證法）假設(shè)線性相關(guān).則存在不全為0的常數(shù)，使得已知，代入上式，得化為： （否則，由得）即 線性相關(guān), 與題目已知條件矛盾.所以假設(shè)不成立, 即 線性無關(guān).13.題目 設(shè)是的解且線性無關(guān)，試證的任一解可表示為，其中知識點 基礎(chǔ)解系 方程組解的結(jié)構(gòu) 解題過程證明 由因為 線性無關(guān)，所以線性無關(guān)，也線性無關(guān)，且所以 是的基礎(chǔ)解系因為的任一解可以表示為：

16、的任一解可以表示為： 其中是的一個特解擴展式，取，得化簡得令，則的解可以表示為且命題得證另外取時化簡得此時令則的解可以表示為且此時命題也成立常見錯誤不會應(yīng)用定理. 不知兩個非齊次組的解的差是齊次線性方程組的解.14.題目 設(shè)是矩陣A的兩個不同的特征值，分別屬于的特征向量，證明不是矩陣A的特征向量.知識點特征值 特征向量解題過程用反證法.設(shè) 是A的對應(yīng)的特征向量，則有 (1)已知 ，所以 (2)由(1)(2)知 (3)因為線性無關(guān)，所以，與已知矛盾.常見錯誤由(1)(2)直接推出，只從形式上來看有這個結(jié)論，沒有利用不同特征值所對應(yīng)的特征向量是線性無關(guān)的性質(zhì)， 因為有了這個性質(zhì)才能推出 (3)的系

17、數(shù)為0. 這在證明中不夠嚴密.代數(shù)難題之三15.題目 知識點 矩陣乘法 逆矩陣 向量運算解題過程 (1) (2) 常見錯誤 矩陣乘法概念模糊，沒有注意當(dāng) 是n維向量時，是一個矩陣，但是一個數(shù)。事實上，可看作是一個矩陣乘以矩陣，其結(jié)果是矩陣，即一個數(shù).16.題目知識點 零矩陣的概念 矩陣乘法解題過程 可見常見錯誤 對零矩陣概念不理解，因而不明確：要證明A是零矩陣，必須要證A中每一個元素均為0. 另一方面，沒有想到X可取一些特殊的向量.17.題目 計算行列式.知識點 行列式性質(zhì)解題過程 常見問題 本題技巧性強, 首先用按行展開的方法把行列式降階, 再巧用等式關(guān)系找出遞推規(guī)律, 最后利用遞推關(guān)系求出行列式的值. 本題的方法不容易想到.18.題目 證明知識點 行列式性質(zhì)解題過程 常見錯誤有些同學(xué)用加邊法進行計算，在其過程中出現(xiàn)