關(guān)于“芝諾悖論”的一些思考

1、關(guān)于“芝諾悖論的一些考慮王玉峰北京大學(xué)哲學(xué)系如今流傳下來而廣為人所知的所謂“芝諾悖論共有九個：四個是關(guān)于運動的，三個是指向“多的，一個是反對空間觀念的，另一個那么試圖說明感覺是不可靠的。色這些芝諾“悖論長久以來就引起了人們的廣泛興趣，其中尤以關(guān)于所謂運動的那四個悖論最為著名。而芝諾反對運動的那些論證其原著已經(jīng)佚失，現(xiàn)有資料來自亞里士多德在？物理學(xué)？中的闡述，主要是該書第六卷第九章?；馗鶕?jù)亞里士多德的記載，這四個所謂關(guān)于運動的悖論分別是：兩分法，阿喀琉斯，飛矢不動和運動場。螞亞里士多德在其？物理學(xué)？中分別反駁了芝諾，指出了芝諾的這些“悖論都是“錯誤的。后來的大多數(shù)學(xué)者們根本上是繼承了亞里士多德的

2、看法，而近代以來也有一些數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家們借助于當(dāng)時的數(shù)學(xué)和邏輯學(xué)成就，主要是微積分理論，來試圖“解決這些“悖論。外表上看來，這些學(xué)者們似乎是“解決了這些“悖論，可是帶有悖謬性的是，正是通過這些“悖論的“解決，芝諾由一個哲學(xué)家變成了一個沒有常識的人。而在本文中，筆者那么通過對芝諾關(guān)于所謂運動的這四個“悖論的重新詮釋，來試圖恢復(fù)芝諾作為一個嚴(yán)肅的哲學(xué)家的本來面目。根據(jù)這四個悖論的內(nèi)容，我把它們分成兩組來分別加以闡述，那就是兩分法和阿喀琉斯一組，飛矢不動和運動場一組。我將說明芝諾的這兩組悖論分別是針對當(dāng)時在數(shù)學(xué)和物理學(xué)中流行的錯誤”前提的，所以他的這些“悖論沒有什么所謂的“邏輯錯誤。一兩分法與阿喀

3、琉斯根據(jù)亞里士多德的記載，所謂的“兩分法是指，一個位移的事物在到達目的地之前必須先抵達一半處，可是這種一再二分的一半是為數(shù)無限的，因此不可能走完為數(shù)無限的路程，因此運動不存在。國有人認為這和中國古代哲學(xué)中的“一尺之槌，日取其半，萬世不竭的道理是一樣的。5而“阿喀琉斯的悖論意思是說：“一個跑得最快的人永遠追不上一個跑得最慢的人。因為追趕的人必須首先跑到被追的人的出發(fā)點，因此走的慢的人必然永遠領(lǐng)先。6亞里士多德說，“這個論證和第一個論證，即二分法的論證是一回事，分別只在于：在分劃那個量時這里不是用的二分法。回弗里曼用現(xiàn)代數(shù)學(xué)來解釋這個論證：設(shè)慢跑者為快跑者速度的1/10,快者跑10單位長度，慢者只

4、能跑1單位長度，按10:1列式為：1/10+1/100+1/1000+1/n,這樣只能無限接近，不能趕上。8對這兩個“悖論，亞里士多德認為芝諾的這些想法都是錯誤的。針對“兩分法，亞里士多德說，“芝諾在有一個論證里犯了錯誤。他主張一個事物不可能在有限的時間里通過無限的事物，或者分別地和無限的事物相接觸。須知長度和時間被說成是無限的有兩種涵義，并且一般地說，一切連續(xù)事物被說成是無限的都有兩種涵義：或分起來的無限，或延伸上的無限。因此，一方面，事物在有限的時間里不能和數(shù)量上無限的事物相接觸，另一方面，卻能和分起來無限的事物相接觸，因為時間本身分起來也是無限的。因此通過一個無限的事物是在無限的世界里而

5、不是在有限的時間里進展的，和無限的事物接觸是在無限數(shù)的而不是在有限數(shù)的如今上進展的。因此，既不能在有限的時間里通過無限的量，也不能在無限的時間里通過有限的量；而是：時間無限，量也無限，量無限，時間也無限?；匾簿褪钦f，在亞里士多德看來，芝諾是混淆了以上兩種不同的無限概念，有限的時間固然不能穿越無限延展的間隔而到達終點，可是有限的時間卻可以越過一定量度它是可以被無限分割的中無限數(shù)的點而到達終點，因為這有限的時間也是同樣可以被無限分割的。W對于“阿喀琉斯悖論，亞里士多德認為，由于它和“二分法的論證是一回事，所以“對這個論證的解決方法也必然是同一個方法?？趤喞锸慷嗟抡f，“認為在運動中領(lǐng)先的東西不能被追

6、上這個想法是錯誤的。因為在它領(lǐng)先的時間內(nèi)是不能被趕上的，但是，假設(shè)芝諾允許它能越過所規(guī)定的有限的間隔的話，那么它是可以被趕上的?；匾虼宋覀兛梢钥吹?，芝諾的這兩個悖論是以時空的“無限分割為前提，亞里士多德對這兩個悖論的解決方式是：成認了時空的這種無限可分性，但是通過區(qū)分了兩種不同的“無限，而主張在有限的時間里通過有限間隔的無限的點是可能的。因為有限的時間和間隔本身都是可以無限分割的。近代以來的數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家們用微積分的方式來解決這兩個悖論的方法和亞里士多德的方式是很相似的，他們都是首先成認了時空的某種無限可分性，然后再對這個問題加以處理。且不管數(shù)學(xué)家們求極限和積分的運算是否正確，我們的一個問題

7、是：這是否是芝諾提出這兩個“悖論的原意？這些學(xué)者們是否理解了芝諾“悖論的意圖？在我看來，亞里士多德和近代以來的微積分學(xué)者們所說的這些固然是“正確的，因為這些顯然可以被我們的經(jīng)歷所直接證明?？墒怯捎谒麄冋`解了芝諾“悖論的”意圖，所以他們對這些“悖論的解決本身乃是無的放矢的！下面我講試圖說明這一點。眾所周知，芝諾是哲學(xué)家巴門尼德的學(xué)生及好友，而根據(jù)柏拉圖在？巴門尼德篇？中的記載，芝諾不僅僅原意在友誼方面和巴門尼德相契，而且在他的著作中也愿意和他保持一致。也就是說芝諾的學(xué)說是以另外一種方式來論證他的老師的觀點。因此，要想理解芝諾悖論的意圖，我認為必需要首先理解巴門尼德的一些根本思想。在巴門尼德看來，

8、存在是一種不生不滅，連續(xù)的和絕對完美的“一。13在這里需要特別注意的是，在巴門尼德那里，這個絕對完美的“一乃是“有限的，他曾把之比喻為“滾圓的球體。因此，“無限反而表示不完美和有缺陷的意思。也正是如此，絕對的無限乃是根本不存在的東西，任何有限的事物也不可能“無限可分。所以根據(jù)巴門尼德的哲學(xué)，”無限和”無限可分乃是一些違犯“自然的概念。芝諾悖論必需要放到巴門尼德哲學(xué)的這種背景中來考慮。第歐根尼.拉爾修認為芝諾是辯證法的創(chuàng)始人。芝諾的這種辯證法和蘇格拉底的方法是很相似的，他們都是從一個假定的“前提出發(fā)，然后推導(dǎo)出一個明顯荒唐的結(jié)論，或者推導(dǎo)出兩個正相反對的結(jié)論，以此來否認那個原先假定的“前提。對芝

9、諾的這些“悖論因此也必需要放到這種“辯證法的思想方式中來把握。在說明了以上兩點后，我們下面就可以來看一看芝諾的“兩分法和“阿喀琉斯悖論了。毫無疑問，這兩個“悖論是以時空的某種“無限可分性為前提的，并且它們的結(jié)論也明顯是荒唐的，一個運動的物體當(dāng)然可以經(jīng)過整個路程的一半而到達終點，阿喀琉斯當(dāng)然可以追上烏龜。根據(jù)“辯證法的思路，這兩個明顯荒唐的結(jié)論顯然是在質(zhì)疑事物的“無限可分這個前提。因此，芝諾在此根本不存在什么邏輯矛盾，假設(shè)一個有限的間隔真的可以“無限分割，即所謂“日取其半，萬世不竭的話，那一個運動的物體當(dāng)然永遠不可能到達終點，阿喀琉斯當(dāng)然永遠不可能追上烏龜。因此，問題就在于：“無限分割這個觀念是

10、否是正確的或它是否是符合自然的？這才是芝諾這兩個悖論的真實意圖。而顯然，在這里芝諾是通過“另一種方式和他的老師巴門尼德在思想上保持了一致：存在是“有限的完美的，不存在什么廣延上的“無限，也不存在什么在量上的“無限可分。芝諾“兩分法和“阿喀琉斯的悖論除了捍衛(wèi)他的老師的觀點外，似乎也是直接針對當(dāng)時畢達哥拉斯學(xué)派的某些觀點的。比方十九世紀(jì)后期法國研究科學(xué)和哲學(xué)史的泰納利PaulTannery就認為亞里士多德誤解了芝諾，芝諾并不是否認運動的可能性，他只是說運動和多不相容。芝諾的真正目的是反對畢達哥拉斯學(xué)派關(guān)于線，面，體是無數(shù)的點的總和這種觀點。吧我個人認為，顯然泰納利的觀點更加符合芝諾悖論的原意和初衷

11、。芝諾并不是要否認運動，他只是在質(zhì)疑某些數(shù)學(xué)家們的一些錯誤”前提。二飛矢不動與運動場悖論所謂的“飛矢不動悖論是指，由于飛矢在其運動中的每一時刻都占據(jù)著一個固定的位置，因此飛矢在每一個時刻都是靜止不動的。亞里士多德說，“這個結(jié)論是因為把時間當(dāng)作是由“如今合成的而引起的，假設(shè)不肯定這個前提，這個結(jié)論是不會出現(xiàn)的。15而“運動場悖論，根據(jù)亞里士多德的記載是這樣的，“跑到上有兩排物體，大小一樣，數(shù)量一樣，一排從終點排到中間點，另一派從中間點排到起點，它們以一樣的速度作相反的運動，芝諾認為可以說明：一半的時間可以和整個時間相等。四而亞里士多德認為，“這里的錯誤在于他把一個運動的事物經(jīng)過另一個運動的事物和

12、以同速度經(jīng)過同大小的靜止事物所花的時間看作是相等的，事實上這兩者是不相等的。也亞里士多德說的這些固然“正確，可是我認為對于芝諾悖論我們必需要從其“辯證法的角度來考慮才能領(lǐng)會其原意。我之所以把“飛矢不動和“運動場悖論放到一組來考察，那是因為在我看來這兩個悖論可以看作是芝諾對“運動的相對性的質(zhì)疑或批評。先讓我們來看一下所謂“飛矢不動這個悖論。之所以會造成“飛矢不動這種不符合經(jīng)歷和理性的悖謬，那是由于某種“參考系所造成的。也就是說，是因為人們首先是用一個靜止的“參考系來衡量一個運動著的物體，這樣才會造成“飛矢相對于那個靜止的參考系而言，在每一時刻都占據(jù)一個所謂的“位置，從而“不動這種悖論。因此，這是

13、以一種外在的標(biāo)準(zhǔn)參照系來衡量一個內(nèi)在狀態(tài)運動所帶來的后果?？墒?，假設(shè)一個“運動的物體它的“運動是由其內(nèi)在的本質(zhì)狀態(tài)來決定的話，那么就不會出現(xiàn)這種情況了?！斑\動場悖論也是由這種“參照系的不同而引起的。假設(shè)AAAM大小相等的不動的一排事物，BBB/于由AAAA勺中間至IJ起點處，CCC(Cl于終點到AAAA勺中間處，A,B,C大小數(shù)目都相等，并且B,C的速度相等。于是當(dāng)BBBBffiCCC儆相反方向的運動時，第一個B到達最末一個C的同時第一個C也到達了最末一個B處。這時第一個C已經(jīng)經(jīng)過了所有的B,而第一個B只經(jīng)過了A的一半，因此一半的時間和全部的時間相等。吧我們可以看到，之所以會出現(xiàn)“一半的時間等

14、于全部的時間這種悖論，那是由于同一個運動的物體BBBBW時以靜止的AAAM參照系，又和運動著的CCCC目參照而出現(xiàn)的情況。這個悖論雖然較“飛矢不動較為復(fù)雜一些，但是道理是一樣的，它們都是在質(zhì)疑能否以一個或兩個，多個外在的參照系來衡量一個事物由其內(nèi)在本質(zhì)所決定的某種狀態(tài)運動。假設(shè)“運動僅僅是“相對的話，那么顯然就會出現(xiàn)芝諾所指出的這些“悖論，因為同一個運動對于不同的參照系會呈現(xiàn)出完全不同的情況。因此，顯然芝諾的“飛矢不動和“運動場理論并非在單純的否認事物的“運動，而是在質(zhì)疑“運動的相對性這種觀點。小結(jié)：芝諾“悖論給我們的啟示和意義在數(shù)學(xué)和物理學(xué)迅速開展，尤其是“微積分和“相對論在其各自領(lǐng)域獲得了

15、宏大成就的今天，再來看看這些“芝諾悖論似乎別有一番感受?！盁o限，”無限分割這些觀念真的是“符合自然的嗎？“運動真的是“相對的嗎？重新考慮兩千多年以前“芝諾悖論所提出的這些問題似乎對于當(dāng)今的科學(xué)而言仍然不算過時。芝諾悖論似乎也在讓我們考慮：哲學(xué)家和一般的數(shù)學(xué)家，也包括物理學(xué)家們的區(qū)別在哪里呢？柏拉圖在？理想國？中的那個說法我想仍然是非常有道理的，那就是辯證法家是從“前提上升到“原理，而數(shù)學(xué)家們那么是從“前提下降到“結(jié)論。也因此哲學(xué)家們總是具有一種一般的科學(xué)家所不具有的“前提批判精神。假設(shè)說芝諾是歷史上第一位“辯證法家的話，那么他通過這些“悖論無疑很好地詮釋了只有哲學(xué)才具有的那種“辯證精神。在我看

16、來，芝諾是一位頭腦清楚而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃枷爰遥皇且粋€沒有常識的人，而最好的證明就是他的這些所謂“悖論。參考文獻：柏拉圖，？理想國？，郭斌和，張竹明譯，商務(wù)印書館，1997年。亞里士多德，？物理學(xué)？，張竹明譯，商務(wù)印書館，1997年。汪子嵩，范明生，陳村富，姚介厚，？希臘哲學(xué)史？，第一卷，人民出版社，1988年。趙敦華，？西方哲學(xué)簡史？，北京大學(xué)出版社，2001年W.K.C,Guthrie,AHistoryofGreekPhilosophy,VolumeI,CambridgeUniversityPress,1975.AnthonyGottlieb,Thedreamofreason:Ahistoryo

17、fphilosophyformtheGreekstotheRenaissance,NewYorkandLondon,2002.作者簡介：王玉峰1980年一一，男，北京大學(xué)哲學(xué)系在讀博士，外國哲學(xué)專業(yè)91參見亞里士多德，？物理學(xué)？，233a23-35吧參見汪子嵩，范明生，陳村富，姚介厚，？希臘哲學(xué)史？,社，1988年，第一卷，第706頁。生參見亞里士多德，？物理學(xué)？，239b26。吧參見亞里士多德，？物理學(xué)？，239b27-29。曳參見趙敦華，？西方哲學(xué)簡史？，北京大學(xué)出版社，2001年頁。人民出版第 17-18人民出版14參見汪子嵩，范明生，陳村富，姚介厚，？希臘哲學(xué)史？,社，1988年，第一卷，第690Mo里參見亞里士多德,回參見亞里士多德,四參見亞里士多德,回參照亞里士多德,?物理學(xué)？,239b31-33。?物理學(xué)？，239b33-36。?物理學(xué)？，240a1-4。?物理學(xué)？,240a5-12。回參見柏拉圖，？理想國？，511A-E1SeeAnthonyGottlieb,Thedreamofreason:ahistoryofwesternphilosophyfromtheGreekstotherenaissance(NewYorkandLondon:W.W.Norton&Company,2002),p.66.社參見汪子嵩，范明生，陳村富，姚介厚，？希臘哲