數(shù)理方程與特殊函數(shù)：勒讓德多項(xiàng)式及其應(yīng)用

1、1本次課主要內(nèi)容勒讓德多項(xiàng)式及其應(yīng)用(一)、勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)(二)、勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式(三)、勒讓德多項(xiàng)式正交性與展開定理(四)、勒讓德多項(xiàng)式的應(yīng)用 2(一)、回顧1、n階勒讓德方程:n為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù).本課程只考慮實(shí)數(shù)情形。2、n階勒讓德方程的通解(1)、當(dāng)n為一般實(shí)數(shù)時(shí)，通解可表達(dá)為：3其中：(2) 當(dāng)n是整數(shù)時(shí)，方程的通解為：Qn(x)稱為第二類勒讓得函數(shù)，在-1,1上無界。3、勒讓德多項(xiàng)式的羅得利克公式 44、勒讓德多項(xiàng)式的積分表達(dá)式 (一)、勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)可以證明：5關(guān)于勒讓德多項(xiàng)式母函數(shù)等式的說明1、由拉普拉斯方程的基本解引出一個(gè)復(fù)變函數(shù)在上圖中,置于北極處的正點(diǎn)電荷在M

2、處產(chǎn)生電勢為：1drxyzM6據(jù)此引出復(fù)變函數(shù)如下：其中：x1 顯然：G (x, z)在單位園z1內(nèi)解析。于是考慮其在z=0處的冪級數(shù)展開，得到：其中：7C是單位園內(nèi)包圍z=0的任意一條閉曲線。2、可以證明：C n( x )是n階勒讓德多項(xiàng)式。 證明：作代換：則：8為勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)稱例1、證明：證明：在母函數(shù)中取x=1時(shí)有：9所以：取x=-1時(shí)有：所以：例2、證明：10證明：在母函數(shù)中取x=0得：由于：所以11例3、證明：證明：在母函數(shù)中用-x代x，同時(shí)用-z代z得：所以得：注：對于n階勒讓得多項(xiàng)式Pn(x)，n為奇數(shù)時(shí)是奇函數(shù)，n為偶數(shù)時(shí)為偶函數(shù)。(二)、勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式(重點(diǎn))

3、12三個(gè)公式中，n=1,2,3.先證明公式1：由母函數(shù)兩端對z求導(dǎo)數(shù)得：13進(jìn)一步得：對上式整理得：14于是得：15于是得：所以，當(dāng)n1時(shí)有：公式2的證明：將母函數(shù)兩端z求導(dǎo)得：16進(jìn)一步得：將母函數(shù)兩端對x求導(dǎo)得：進(jìn)一步得：比較(1)與(2)得：17公式3的證明：由公式1兩端對x求導(dǎo)得：又由公式2得：將(1)-(2)得：例4、證明：18證明：由遞推公式2得：由(1)+(2)得：得：又由遞推公式319(三)、勒讓德多項(xiàng)式正交性與展開定理1、勒讓德多項(xiàng)式正交性(重點(diǎn)) (1)、勒讓德多項(xiàng)式正交性定理： 勒讓德多項(xiàng)式序列：在-1,1上正交。即：20證明：由于Pm (x)與P n (x)分別為勒讓得

4、方程的解，所以有：進(jìn)一步得：21上面兩個(gè)式子相減得：兩邊積分得：22于是得：即得：(2)、歸一性定理定理：勒讓得多項(xiàng)式滿足：證明：當(dāng)n= 0，1時(shí)，易證明結(jié)論成立；23設(shè)n=m時(shí)結(jié)論成立，下面證明：由遞推公式：取n=m得：進(jìn)一步有：24兩邊積分得：又在遞推公式中令n=m+1得：代入得：由歸納法知定理成立。25稱 為n階勒讓得多項(xiàng)式的模。由于：所以，上面定理稱為歸一性定理。2、函數(shù)的勒讓德多項(xiàng)式展開勒讓德多項(xiàng)式展開定理：若且：f (x)在-1,1上分段連續(xù)，則：26在-1,1上可以展開為絕對且一致收斂的級數(shù)：其中：例6、將f (x)=|x|按勒讓德多項(xiàng)式展開.解：27解：由于P2n+1(x)為奇

5、函數(shù)，所以C2n+1=0.下面計(jì)算C2n,當(dāng)n=0時(shí)：當(dāng)n1時(shí)：28對于29對于所以：30所以：31于是得展開式為：例7 計(jì)算解：由于32所以：33例8、將f (x)=x2+x3按勒讓德多項(xiàng)式展開.解：顯然，展開式具有形式：所以：34例9、求球域內(nèi)的電位分布：在半徑為1的球域內(nèi)求調(diào)和函數(shù)u，使它在球面上滿足：(四)、勒讓德多項(xiàng)式的應(yīng)用 分析：根據(jù)邊界條件的形式可以斷定：u只與r,有關(guān)，即解具有軸對稱性。解：定解問題為：35分離變量令：令： 得：方程(2)是n階勒讓得方程。36令：由問題的物理意義，u (r，)必須在0，上有界，因此，n必須為整數(shù)。得：又另一個(gè)常微分方程(歐拉方程)的通解為：要使u有界，必須Dn=03