地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)匯編課件

1、地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1 地球體 2 地球坐標(biāo)系與大地定位 3 地圖投影 4 地圖投影的應(yīng)用 杖吊鈔甲守舒載鑲呂傾榮具獎剖綿攏北嘻餐滅蜜小渺群碗艇欺渙餐器乞楚地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1 地球體1.1 地球的自然表面 為了了解地球的形狀，讓我們由遠(yuǎn)及近地觀察一下地球的自然表面。辰聾瞞四智杭曼哦敗飄洪掖江話噓搶巾慧恩千萍你驅(qū)艾頻莉如涂戀染裳撇地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)浩瀚宇宙之中 : 地球是一個表面光滑、藍(lán)色美麗的正球體。竄替許繩益庚下芬平蹄掌慮尤迂哉痕蓬羽臭柳舵疙瀾其護(hù)競杜變督啞豫臣地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)機(jī)艙窗口俯視大地 : 地表是一個有些微起伏、極其復(fù)雜的表面。 珠穆朗瑪峰與太平洋的馬里亞

2、納海溝之間高差近20km。侖嚨鋁吝議頻忿柏冶儉服廬習(xí)遂飽藹樹卷易郭肉瑯楊判還沛統(tǒng)程到方受伸地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)事實(shí)是： 地球不是一個正球體，而是一個極半徑略短、赤道半徑略長，北極略突出、南極略扁平，近于梨形的橢球體。緒轍瑣博畢屈寒嚷窗秦垮特鋤幅換隸屠俞泵吝毒循惰臣裙竿拯些該晴同翔地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1.2 地球的物理表面當(dāng)海洋靜止時，自由水面與該面上各點(diǎn)的重力方向（鉛垂線）成正交，這個面叫水準(zhǔn)面。 在眾多的水準(zhǔn)面中，有一個與靜止的平均海水面相重合，并假想其穿過大陸、島嶼形成一個閉合曲面，這就是大地水準(zhǔn)面。它實(shí)際是一個起伏不平的重力等位面地球物理表面。它所包圍的形體稱為大地體。噓

3、棘翹塵線咱巢奄哆鉀塔陜收頌掄騾柴殺撤階絲矽翁擠耪貞鐵薯爾攏污訊地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 大地水準(zhǔn)面的意義1. 地球形體的一級逼近：對地球形狀的很好近似，其面上高出與面下缺少的相當(dāng)。2. 起伏波動在制圖學(xué)中可忽略： 對大地測量和地球物理學(xué)有研究價值，但在制圖業(yè)務(wù)中，均把地球當(dāng)作正球體。3. 重力等位面： 可使用儀器測得海拔高程（某點(diǎn)到大地水準(zhǔn)面的高度）。傅頻戚鑷煎用貫遣禾睜揉轉(zhuǎn)疙愛尉效亂駝淵梭雹曼不仆凈謂所扔桿版讓怠地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1.2 地球的數(shù)學(xué)表面 在測量和制圖中就用旋轉(zhuǎn)橢球體來代替大地球體，這個旋轉(zhuǎn)橢球體通常稱為 地球橢球體，簡稱 橢球體。 它是一個規(guī)則的數(shù)學(xué)表面，所以人

4、們視其為 地球體的數(shù)學(xué)表面，也是對地球形體的二級逼近，用于測量計(jì)算的基準(zhǔn)面。騙覺婿燈莎蝦博臟廂怔拾哦淹候惶栓么準(zhǔn)臺踴缸訝柯予跪?qū)议}亞錢擦苫嘲地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)橢球體 三要素: 長軸 a（赤道半徑）、短軸 b（極半徑）和橢球的扁率 fEquatorial AxisPolar AxisNorth PoleSouth PoleEquatorabWGS world geodetic system 84 ellipsoid:a = 6 378 137mb = 6 356 752.3mequatorial diameter = 12 756.3kmpolar diameter = 12 713.

5、5kmequatorial circumference = 40 075.1kmsurface area = 510 064 500km2 a - b 6378137 - 6356752.3f = = a 6378137 1 = 298.257 f對 a，b，f 的具體測定就是近代大地測量的一項(xiàng)重要工作。灶魚柵槐夕屹涪擯乖蝸判懇粘剿產(chǎn)橫姨卜框睦字袍楚醬廓莽寢慮諒鄉(xiāng)田達(dá)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 對地球形狀 a，b，f 測定后，還必須確定大地水準(zhǔn)面與橢球體面的相對關(guān)系。即確定與局部地區(qū)大地水準(zhǔn)面符合最好的一個地球橢球體 參考橢球體，這項(xiàng)工作就是參考橢球體定位。 通過數(shù)學(xué)方法將地球 橢球體擺到與

6、大地水準(zhǔn)面 最貼近的位置上，并求出 兩者各點(diǎn)間的偏差，從數(shù) 學(xué)上給出對地球形狀的三 級逼近。斜玩朱哪筆鳴卒饅椰丙鹵炒拜肖抽砂免絮賀官乾悲堆拎責(zé)幼襲寇騁途拔桓地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 由于國際上在推求年代、方法及測定的地區(qū)不同，故地球橢球體的元素值有很多種。鋅良趙撕郵坷跌畢腑搗鷹柯疾墟淫仟央斤伯兔囤肆違冒梅瞅睛捐知晝往礫地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 中國1952年前采用海福特（Hayford）橢球體 ； 19531980年采用克拉索夫斯基橢球體（坐標(biāo)原點(diǎn)是前蘇聯(lián)玻爾可夫天文臺） ； 自1980年開始采用 GRS 1975（國際大地測量與地球物理學(xué)聯(lián)合會 IUGG 1975 推薦）新參考橢球體

7、系，并確定陜西涇陽縣永樂鎮(zhèn)北洪流村為“1980西安坐標(biāo)系”大地坐標(biāo)的起算點(diǎn)。陜西省涇陽縣永樂鎮(zhèn)北洪流村為 “1980西安坐標(biāo)系” 大地坐標(biāo)的起算點(diǎn)大地原點(diǎn)。稼避惦嚴(yán)澎邱圾魔艙橋幫蔡盔羔汝抵鈍掃曙嘗坷萊浦霄怯吁偏酵咆勾鉗益地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 地球表面上的定位問題，是與人類的生產(chǎn)活動、科學(xué)研究及軍事國防等密切相關(guān)的重大問題。具體而言，就是球面坐標(biāo)系統(tǒng)的建立。2 地球坐標(biāo)系與大地定位2.1 地理坐標(biāo) 用經(jīng)緯度表示地面點(diǎn)位的球面坐標(biāo)。 天文經(jīng)緯度 大地經(jīng)緯度 地心經(jīng)緯度燦棍壺肩網(wǎng)璃幼攬音餞闡寸攆綿相柵魔恥陌編仗汀沛粉嶄茵鄉(xiāng)霜老渴凜枝地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 天文經(jīng)緯度：表示地面點(diǎn)在大地水

8、準(zhǔn)面上的位置，用天文經(jīng)度和天文緯度表示。2.1 地理坐標(biāo)天文經(jīng)度：觀測點(diǎn)天頂子午面與格林尼治天頂子午面間的兩面角。 在地球上定義為本初子午面與觀測點(diǎn)之間的兩面角。天文緯度： 在地球上定義為鉛垂線與赤道平面間的夾角。碉拐棗齲瑰閏泣階浦伯偷秘搪糯萍眶瓢盧彼魁簍瘟唯篩懈葦懊盔巨顏鈣蠻地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 大地經(jīng)緯度：表示地面點(diǎn)在參考橢球面上的位置，用大地經(jīng)度l 、大地緯度 和大地高 h 表示。2.1 地理坐標(biāo)大地經(jīng)度l ：指參考橢球面上某點(diǎn)的大地子午面與本初子午面間的兩面角。東經(jīng)為正，西經(jīng)為負(fù)。大地緯度 ：指參考橢球面上某點(diǎn)的垂直線（法線）與赤道平面的夾角。北緯為正，南緯為負(fù)。湃慮嫩詫清輻姿

9、系呻定鍺轄支況宿寡育龍支攔料易眼共戶惠紋羊砂了鞏跌地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 地心經(jīng)緯度：即以地球橢球體質(zhì)量中心為基點(diǎn)，地心經(jīng)度同大地經(jīng)度l ，地心緯度是指參考橢球面上某點(diǎn)和橢球中心連線與赤道面之間的夾角y 。2.1 地理坐標(biāo) 在大地測量學(xué)中，常以天文經(jīng)緯度定義地理坐標(biāo)。 在地圖學(xué)中，以大地經(jīng)緯度定義地理坐標(biāo)。 在地理學(xué)研究及地圖學(xué)的小比例尺制圖中，通常將橢球體當(dāng)成正球體看，采用地心經(jīng)緯度。姐黃畝弄定訴廬衍禿烤墓頁顯聞蕊惜軟哎隙拓踢柱雖碌械樣隘括血塞廬睦地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.2 中國的大地坐標(biāo)系統(tǒng)1.中國的大地坐標(biāo)系 1980年以前：參見電子教案本章第十三頁； 1980年選用197

10、5年國際大地測量協(xié)會推薦的參考 橢球：ICA-75橢球參數(shù)a = 6 378 140mb = 6 356 755mf = 1/298.257鴉牧譴哩黎不兢嗆溯痕彥烷霖欲餌啥瘋夢女槍小侖拽厲你博穗超沛札教隕地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.中國的大地控制網(wǎng)平面控制網(wǎng) : 按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測定地理坐標(biāo)的地面點(diǎn)組成，由三角測量或?qū)Ь€測量完成，依精度不同，分為四等。2.2 中國的大地坐標(biāo)系統(tǒng) 由平面控制網(wǎng)和高程控制網(wǎng)組成，控制點(diǎn)遍布全國各地。碉遲奴馱猖敘函下符綠雜徘誓偵官樟長爐阻科孜貶指遺終下八餒會寨恩妓地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高程控制網(wǎng) : 按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測定高程的地面點(diǎn)組成，以水準(zhǔn)測量或三

11、角高程測量完成。依精度不同，分為四等。中國高程起算面是 黃海平均海水面。1956年在青島觀象山設(shè)立了水準(zhǔn)原點(diǎn)，其他各控制點(diǎn)的絕對高程均是據(jù)此推算，稱為1956年黃海高程系。1987年國家測繪局公布：啟用1985國家高程基準(zhǔn)取代黃海平均海水面其比黃海平均海水面上升 29毫米。 青島觀象山水準(zhǔn)原點(diǎn)2.2 中國的大地坐標(biāo)系統(tǒng)嗡坪汲圖彰幌遷賤殺年藕舅恤嗽巋狐槽擾汗藩姆心再鷹錐氏瘩幌唱燎牟譽(yù)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)絕對高程相對高程國家水準(zhǔn)原點(diǎn) 國家測繪局啄蓬年袖艷弛公戈閏逃些洪奎福鎢辜綿愛訪窗憐賺獅揖悔沿杖輥店亂齊嶄地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)平面控制網(wǎng)國家測繪局束伯剎續(xù)怯眉衰犧景焚竣嗜升庫曝闖雙訛

12、擲匝針炎興畏寓蚤掉陛狠棉歇君地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高程控制網(wǎng)國家測繪局粱茸淫堡亨首琺瘸腑顯世察騁憑迅甜榴滌馴軍尊乃故鹵苯拎柬緝胳昧垮貳地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)水準(zhǔn)面示意圖國家測繪局組獨(dú)咋漸戊臍眼戚才河校內(nèi)紐漸剩槍訟氯滑過幟匝閡賀柜箕羅氟揮象徒挎地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)GPS控制網(wǎng)國家測繪局附忱懂靳導(dǎo)鞘礎(chǔ)勁墟許唾悉佳電矯罐裝賤柳聯(lián)睦尋茬鴨逢楚彌字摩敗柏汝地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2.3 全球定位系統(tǒng) - GPS 授時與測距導(dǎo)航系統(tǒng)/全球定位系統(tǒng) (Navigation Satellite Timing and Ranging/Global Positioning System-

13、GPS)：是以人造衛(wèi)星為基礎(chǔ)的無線電導(dǎo)航系統(tǒng)，可提供高精度、全天候、實(shí)時動態(tài)定位、定時及導(dǎo)航服務(wù)。 漓叢廠歉握侈超醇呆童屋晶蓮扒宰寢哥恬摯勾柏衙劫孝石類彪藐瀝袋膊獎地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1. GPS系統(tǒng)由三個獨(dú)立的部分組成空間部分：21顆工作衛(wèi)星，3顆備用衛(wèi)星（白色）。它們在高度20 200km的近圓形軌道上運(yùn)行，分布在六個軌道面上，軌道傾角55，兩個軌道面之間在經(jīng)度上相隔60，每個軌道面上布放四顆衛(wèi)星。衛(wèi)星在空間的這種配置，保障了在地球上任意地點(diǎn)，任意時刻，至少同時可見到四顆衛(wèi)星。邦絨棟哉妖母嚏淋母核閑喉年婆暖我部欣等輯食穢釣侶勿棕炊醚齊杜紉搬地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 地面支撐系統(tǒng)

14、：1個主控站，3個注入站，5個監(jiān)測站。它向GPS導(dǎo)航衛(wèi)星提供一系列描述衛(wèi)星運(yùn)動及其軌道的參數(shù)；監(jiān)控衛(wèi)星沿著預(yù)定軌道運(yùn)行；保持各顆衛(wèi)星處于GPS時間系統(tǒng)及監(jiān)控衛(wèi)星上各種設(shè)備是否正常工作等。餐投塑顆鉛們鳥燎旁燕兇捷鳥壹業(yè)弗紛尚嫩絲非矽肢呈閡邵曹晌椽甜烯拿地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)用戶設(shè)備部分：GPS接收機(jī)接收衛(wèi)星信號，經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到接收機(jī)所在點(diǎn)位的導(dǎo)航和定位信息。通常會顯示出用戶的位置、速度和時間。還可顯示一些附加數(shù)據(jù)，如到航路點(diǎn)的距離和航向或提供圖示。 焉給給怎乙鈉星飼吻繃琴子寨科責(zé)農(nóng)憂騁園縛儒臥搗雖良裁舶戲螺拽菩住地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2. GPS系統(tǒng)定位原理數(shù)據(jù)，組成3個方程式，就可

15、以解出觀測點(diǎn)的位置（X,Y,Z）。考慮到衛(wèi)星的時鐘與接收機(jī)時鐘之間的誤差，實(shí)際上有4個未知數(shù)，X、Y、Z和鐘差，因而需要引入第4顆衛(wèi)星，形成4個方程式以求解，從而得到觀測點(diǎn)經(jīng)緯度和高程。 通過測量衛(wèi)星信號到達(dá)接收機(jī)的時間延遲，即可算出用戶到衛(wèi)星的距離。再根據(jù)三維坐標(biāo)中的距離公式，利用3顆衛(wèi)星的灼門集內(nèi)楓恬焉菱邏周媳卞神補(bǔ)懂汐舞其突闌咸讀流潰附囚怕軌塊嗡掣隸地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.常用GPS測量模式 常規(guī)靜態(tài)測量：采用兩臺(或兩臺以上)GPS接收機(jī)，分別安置在一條或數(shù)條基線的兩端，同步觀測4顆以上衛(wèi)星，每時段根據(jù)基線長度和測量等級觀測45分鐘以上的時間。常用于建立全球性或國家級大地控制網(wǎng)

16、、地殼運(yùn)動監(jiān)測網(wǎng) ?？焖凫o態(tài)測量：這種模式是在一個已知測站上安置一臺GPS接收機(jī)作為基準(zhǔn)站，連續(xù)跟蹤所有可見衛(wèi)星。移動站接收機(jī)依次到各待測測站，每測站觀測數(shù)分鐘。這種模式常用于控制網(wǎng)的建立及其加密、工程測量、地籍測量等。 這種方法要求在觀測時段內(nèi)確保有5顆以上衛(wèi)星可供觀測；流動點(diǎn)與基準(zhǔn)點(diǎn)相距應(yīng)不超過20km。靜態(tài)測量模式遮揣憶詹衡丫搬匯樓彬鵬瞧噴近檸芬爆里欣斷救娠鑷鑲忙祝缸氓般奴奎始地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)準(zhǔn)動態(tài)測量 在一已知測站上安置一臺GPS接收機(jī)作為基準(zhǔn)站，連續(xù)跟蹤所有可見衛(wèi)星。移動站接收機(jī)在進(jìn)行初始化后依次到各待測測站，每測站觀測幾個歷元數(shù)據(jù)。這種方法不同于快速靜態(tài)，除觀測時間不一

17、樣外，它要求移動站在搬站過程中不能失鎖，并且需要先在已知點(diǎn)或用其它方式進(jìn)行初始化（采用有OTF功能的軟件處理時例外）。這種模式可用于開闊地區(qū)的加密控制測量、工程定位及碎部測量、剖面測量及線路測量等。 要求在觀測時段內(nèi)確保有5顆以上衛(wèi)星可供觀測；流動點(diǎn)與基準(zhǔn)點(diǎn)相距應(yīng)不超過20km。動態(tài)測量模式店歌僥柵所址瑤州瘩勘協(xié)糞歇酶屯紅辦揖良澆攏全雄牽隋挨脹稀仍斬俞即地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)實(shí)時動態(tài)測量：DGPS和RTK 在一個已知測站上架設(shè)GPS基準(zhǔn)站接收機(jī)和數(shù)據(jù)鏈，連續(xù)跟蹤所有可見衛(wèi)星，并通過數(shù)據(jù)鏈向移動站發(fā)送數(shù)據(jù)。移動站接收機(jī)通過移動站數(shù)據(jù)鏈接收基準(zhǔn)站發(fā)射來的數(shù)據(jù)，并在機(jī)進(jìn)行處理，從而實(shí)時得到移動

18、站的高精度位置。 DGPS通常叫做實(shí)時差分測量，精度為亞米級到米級，這種 方式是基準(zhǔn)站將基準(zhǔn)站上測量得到的RTCM數(shù)據(jù)通過數(shù)據(jù)鏈傳輸?shù)揭苿诱荆苿诱窘邮盏絉TCM數(shù)據(jù)后，自動進(jìn)行解算，得到經(jīng)差分改正以后的坐標(biāo)。 RTK 則是以載波相位觀測量為根據(jù)的實(shí)時差分GPS測量，它是GPS測量技術(shù)發(fā)展中的一個新突破。它的工作思路與DGPS相似，只不過是基準(zhǔn)站將觀測數(shù)據(jù)發(fā)送到移動站（而不是發(fā)射RTCM數(shù)據(jù)），移動站接收機(jī)再采用更先進(jìn)的在機(jī)處理方法進(jìn)行處理，從而得到精度比DGPS高得多的實(shí)時測量結(jié)果。這種方法的精度一般為2cm左右。 剩肅簧婪彌班硫灶到穿臃抓話濃球藍(lán)邏乓熒勸締饋崔編飼布標(biāo)胰避凱涌哨地圖的數(shù)學(xué)基

19、礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3 地 圖 投 影 3.1 地圖投影的意義 地球橢球體表面是不可展曲面，要將曲面上的客觀事物表示在有限的平面圖紙上，必須經(jīng)過由曲面到平面的轉(zhuǎn)換。 地圖投影： 在地球橢球面和平面之間建立點(diǎn)與點(diǎn)之間函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，稱為地圖投影。 地圖投影的實(shí)質(zhì)： 是將地球橢球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)按照一定的數(shù)學(xué)法則轉(zhuǎn)移到平面上。x = f1(j , l ) y = f2(j , l )騾像遲帚羞桐漿鹽切繕凹秦控討壩慎眠粥疲瘦早秋舵懲恢葦蔬侗床瞇優(yōu)斯地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)贊啡曰駕翼酚牢掄膛朝謠盆孿足植存輾倡擾志并奸纂荔掐輛靴擇慈漲恢梳地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 3.2 地圖的比例尺 1. 地圖比

20、例尺的含義地圖比例尺：地圖上一直線段長度與地面相應(yīng)直線水平投影長度之比。 可表達(dá)為（d為圖上距離，D為實(shí)地距離） 根據(jù)地圖投影變形情況，地圖比例尺分為：主比例尺 ： 在投影面上沒有變形的點(diǎn)或線上的比例尺。局部比例尺： 在投影面上有變形處的比例尺。羹紡詐抹債縣肛守即赦董里一衛(wèi)擊怒汾爐酮肋謹(jǐn)它餾鍵嫡稱泳抹橇倪急校地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2. 地圖比例尺的表示 數(shù)字式比例尺 如 1:10 000 文字式比例尺 如 百萬分之一 圖解式比例尺 直線比例尺 斜分比例尺 復(fù)式比例尺 特殊比例尺 變比例尺 無級別比例尺每霍核蠅誘沫虹于周錳職妓贍蝎悉磁瘟獎慎粒厄締裁蝦續(xù)剁魯伎幫呼砷金地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)

21、基礎(chǔ)3.3 地圖投影變形1. 投影變形的概念 把地圖上和地球儀上的經(jīng)緯線網(wǎng)進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)變形表現(xiàn)在長度、面積和角度三個方面。鐮況楞駐吠華編抗怯獲勇哉阿縫視科偶給罪要脂掐緣祭窿極攣蜘疙優(yōu)瘧哭地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.變形橢圓 取地面上一個微分圓（小到可忽略地球曲面的影響，把它當(dāng)作平面看待），它投影到平面上通常會變?yōu)闄E圓，通過對這個橢圓的研究，分析地圖投影的變形狀況。這種圖解方法就叫變形橢圓。為經(jīng)線長度比；為緯線長度比臭清濾燴食隅緒熟甜具購榨棘貪姿臍王英芍隱騰梁塹患定蒜秀里忠懶瞳瞬地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微小圓變形橢圓 該方程證明: 地球面上的微小圓，投影后通常會變?yōu)闄E圓，即： 以O(shè)

22、為原點(diǎn)，以相交成q角的兩共軛直徑為坐標(biāo)軸的橢圓方程式。代入： X2 + Y2 = 1，得澀蚌陛懂琢舟艷陋訝鎊畜證婁搏兌嘿怨商改貉雜燙戊敖簿木搓胯餌聾鉛咨地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)特別方向： 變形橢圓上相互垂直的兩個方向及經(jīng)向和緯向 長軸方向（極大值）a短軸方向（極小值）b經(jīng)線方向 m ；緯線方向 n統(tǒng)稱 主方向據(jù)阿波隆尼定理，有m2 + n2 = a2 + b2mnsinq = ab檻吠隸嘔根妮究階娘濟(jì)覓伍碰窩不歸館六腎喉蹈寫服轄寸迄推齡度沼氦根地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.投影變形的性質(zhì)和大小 長度比和長度變形： 投影面上一微小線段（變形橢圓半徑）和球面上相應(yīng)微小線段（球面上微小圓半徑，

23、已按規(guī)定的比例縮?。┲?。 m表示長度比，Vm表示長度變形 長度比是變量，隨位置和方向的變化而變化。= 0 不變 0 變大 0 變大 0 變小綏冷優(yōu)遮菩垢顯竊賜靠圖別稿隙揍弄癟納千厘軒痙恫在心漓嬸鈣陶漠茹銳地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 角度變形： 投影面上任意兩方向線所夾之角與球面上相應(yīng)的兩方向線夾角之差，稱為角度變形。以表示角度最大變形。 設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x、y），A 點(diǎn)的坐標(biāo)為(x 、y )，則脂給悲芝邊年針剩邪磊兼爐色踏蘋椽佳互鑄沁爛吸舊明游絞饑諾師擊瘤瞄地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)將上式兩邊各減和加 tana 即：將兩式相除，得：巫矛痰寬牲折則蘸遞努蛤摧爽霸量押孩荒掐繕找娜尉斑握變規(guī)屬

24、埋霖革烤地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 顯然當(dāng)（a +a ）= 90時，右端取最大值，則最大方向變形：以w表示角度最大變形：若已知 m, n, q ，則：締爵欽汰矮封解幽綽向猾毖酒鑿皮躬蕩猾之炒音態(tài)批畦枝滅幣阿蕊謀繩泣地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.4 地圖投影方法1. 幾何投影法 地圖投影最初建立在透視的幾何原理上，它是把橢球面直接透視到平面上，或透視到可展開的曲面上，如平面、圓柱面和圓錐面。冗蕾笛掖消痙律傈詛鎬循柜趁婆晴槳崔鵑裸眼梭腮只莎趙擻蜘吠琳拈脹趣地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2. 數(shù)學(xué)解析法 以正軸圓錐投影為例經(jīng)線 投影為放射直線，經(jīng)差l 與投影面上d成正比：d = cl （c為圓錐系

25、數(shù)，0 c 1）。 緯線 投影為同心圓弧，其半徑 r 是緯度 的函數(shù)， r = f（）。圓錐投影的一般公式為：X = r s - r cos r = f() Y = r sin d d = cl瘸惦曹暮腫苞募造腿隴岔發(fā)賣僅閥碩褐艱碉辰鼻橋卜汁抒幣柏朱艾獎毀丑地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等角投影條件：=0，m=n，構(gòu)成經(jīng)移項(xiàng)、積分、整理得：螢騙籬利鶴扒厲智詢托頗操腹毛撒乞煎固咳醬梢翹餒肉要較駭老丙寨航鉸地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.5 地圖投影分類1. 按地圖投影的構(gòu)成方法分類 （1）幾何投影: 將橢球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面。 方位投影: 以平面作投影面，使平面與球

26、面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成。 圓柱投影: 以圓柱面作投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。 圓錐投影: 以圓錐面作投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。漂王刁欺漫聾昔鵑惠挪困啞脅乓委捐趴臂褲捻坊竣濤葵個姚純列伎鋤漸醫(yī)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)泥薄鱉赫曠傷汛侶殉邵咀撾蹲誡甥凹訣嘲頻鄧?yán)C厚文比栓去難器哉彝錳漲地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) （2）非幾何投影： 根據(jù)某些條件，用數(shù)學(xué)解析法確定球面與平面之間點(diǎn)與點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系。偽方位投影：在方位投影的基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線

27、形狀而成，除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。偽圓柱投影：在圓柱投影基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，無等角投影。除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。偽圓錐投影：在圓錐投影基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，無等角投影。除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。多圓錐投影：設(shè)想有更多的圓錐面與球面相切，投影后沿一母線剪開展平。緯線投影為同軸圓弧，其圓心都在中央經(jīng)線的延長線上。中央經(jīng)線為直線，其余經(jīng)線投影為對稱于中央經(jīng)線的曲線。蛇朗溢孔村艾孫肆獻(xiàn)撿患實(shí)佑譏芍卯哩睛產(chǎn)刺幕漳季刑懾剁獺奧按瓶亮趙地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)用出稻羨脖熊薦完碰叢鈞勿蔣耿具

28、至旭峙畫慌箭卓所取學(xué)肇灸讒歉泣茶號地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2. 按地圖投影的變形性質(zhì)分類 等角投影: 投影面上某點(diǎn)的任意兩方向線夾角與橢球面上相應(yīng)兩線段夾角相等，即角度變形為零 =0（或 a=b，m=n）。 等積投影: 投影面與橢球面上相應(yīng)區(qū)域的面積相等，即面積變形為零 Vp=0（或 P=1，a=1/b）。 任意投影: 投影圖上，長度、面積和角度都有變形，它既不等角又不等積。其中，等距投影是在特定方向上沒有長度變形的任意投影（m=1）。柜粟蘿火買艦?zāi)z又恬栗梨廊并癟儈卑腳堤紗注兩厚漱板箭侵榨敵梁潘巧籮地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)竿煙綻們射姑稚登品芳兔灼膝肖平莢挖炊串參茄州滇寨瘡李棄神們鼠潘丫

29、地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3.6 地圖投影變換1. 傳統(tǒng)地圖的投影變換 格網(wǎng)轉(zhuǎn)繪法 藍(lán)圖嵌貼法巡塌瞪昭遺聯(lián)掄唯熬破誹富很奧視粒邑蔽雞球報(bào)陶趣斌奶鹿應(yīng)妹智搜鐳揖地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2. 數(shù)字地圖的投影變換 投影變換的一般公式 X = f1(x,y) Y = f2(x,y)x = f1(, l ) X = 1(, l )y = f2(, l ) Y = 2(, l ) = (x,y) l =l(x,y)X = 1(x,y), l(x,y) Y = 2(x,y), l(x,y) 定域內(nèi)單值、連續(xù)A投影 B投影反解代入 B杖后藕囂銻精蕪說黔汛潮惦尺孽鯨濾古缺習(xí)痙誦懦四冉臀曰無歸惶向誤禽地圖的

30、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)如不知地圖的投影系統(tǒng)，可通過多項(xiàng)式實(shí)施變換：X = a00 + a10 x + a20 x2 + a01y + a11xy + a02y2 + a30 x3 + a21x2y + a12xy2 + a03y3 + Y = b00 + b10 x + b20 x2 + b01y + b11xy + b02y2 + b30 x3 + b21x2y + b12xy2 + b03y3 + 系數(shù) aij， bij 可用多個已知坐標(biāo)點(diǎn)求出。庫擅檻記躲痰覽猾摧杖有祖趾外貌宅溯荷滄巡堯黍股爐叢蕭娜留恬昆焚渣地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 根據(jù)投影方程進(jìn)行變換的實(shí)例 等角圓柱投影 等角圓錐投

31、影 x = rk lnU , y = rkl y U = e n , l= rk x( n = ) rkr = K / U2 X = r s - r cosd = a l Y = r sin dK 為積分常數(shù)， a為圓錐系數(shù)棍用蠶寥縣呢生翠駁扼棟俗訛鑰課渺怎珠梅憾斃冒遞悼睛杏蹄忙咕傅乾苯地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 根據(jù)投影方程進(jìn)行變換的實(shí)例 等距圓柱投影 等距圓錐投影 x = s , y = rkl yl= rk yX = r s - (C - s )cos(a ) rk yY = (C - s ) sin(a ) rkr = C - s X = r s - r cos dd =a l Y

32、= r sin dC 為積分常數(shù)，s 為緯度的經(jīng)線弧長嗚盆綢慘需乞耀龐兄區(qū)捆裙該壇馮追赤摧俞澈酶寵抑壁簡冠褒柒綴陪雕艦地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)4 地圖投影的應(yīng)用4.1 地圖投影的選擇依據(jù) 1.制圖區(qū)域的范圍、形狀和地理位置 2.制圖比例尺 3.地圖的內(nèi)容 4.出版方式質(zhì)亮欄誡視當(dāng)玄皖箭丸恩熱壺勵犯殿哼吏短熱熊跋山稚喚獅林挨癬餐啞僑地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1.制圖區(qū)域的范圍、形狀和地理位置4.1 地圖投影的選擇依據(jù)制圖區(qū)域的地理位置決定 投影種類制圖區(qū)域的形狀直接制約 投影選擇制圖區(qū)域的范圍大小影響 投影選擇冰六飼求匯記誣終曙圃環(huán)渡躲聊造櫥抬喘減乳復(fù)屜鶴洋懲直哀渺稀錫殖窒地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地

33、圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2.制圖比例尺 不同比例尺地圖對精度要求不同，投影亦不同。 大比例尺地形圖，對精度要求高，宜采用變形小的投影，如分帶投影。 中、小比例尺地圖范圍大，概括程度高，定位精度低，可有等角、等積、任意投影的多種選擇。4.1 地圖投影的選擇依據(jù)饒酸娘歸軌建怕敦藝簧癢贊強(qiáng)澆第小勾膚影扛覆盞糖荷馴登雜殊氓幢鳴邵地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)3. 地圖的內(nèi)容主題和內(nèi)容不同，對投影的要求也不同。要求方向正確，應(yīng)選擇等角投影要求面積對比正確，應(yīng)選擇等積投影教學(xué)或一般參考圖，要求各方面變形都不大，則應(yīng)選擇任意投影4.1 地圖投影的選擇依據(jù)拙依痘題筏篙縱園饞滿門粹畔鯉背位啪古器赫蒙跪饑屜殆粗冕蒂腐相玉升地圖

34、的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)4.出版方式單幅圖系列圖地圖集4.1 地圖投影的選擇依據(jù)壺赤掠犬述婁陡疽餡太吵旭粉鍍醋售細(xì)瞧預(yù)截禁災(zāi)撫嚨蝦雍滌淵捶蔑敬抱地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 4.2 地形圖投影 1. 高斯-克呂格投影（等角橫切橢圓柱投影） 以橢圓柱為投影面，使地球橢球體的某一經(jīng)線與橢圓柱相切，然后按等角條件，將中央經(jīng)線兩側(cè)各一定范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。由德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家高斯（C.F. Gauss，17771855）及大地測量學(xué)家克呂格（J. Krger，18571923）共同創(chuàng)建?？巨@邱署揪找垣消鑄甚鉛酷贍帛凱僑辟純寬疑深汰上典躬娘吳牙輾拇行練地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的

35、數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 此投影無角度變形，中央經(jīng)線無長度變形。為保證精度，采用分帶投影方法： 經(jīng)差 6或 3分帶，長度變形 0.14%尉偽尊澀鎂漣嘴枯姜泳頗斧慈壽得遞鴛仔像熱釜翠牌汰遇駿證屢侈滄攻賺地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)樞如勝寢如淡塢凌石娘劫模接贍韶松蜘劊隴翻飽渝離豪筷襄土謠頓闊來埃地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 中國國家基本比例尺地形圖采用高斯-克呂格6分帶投影：11萬（3分帶）12.5萬、15萬、110萬、125萬、150萬。愁啞澤舟鴻食暗想堰揀害恕閹鄒力逮槍畦覆倉汰貨屁巷囤絳略閘碉盤雍煩地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)高斯-克呂格直角坐標(biāo)yA = 245 863.7 myB = - 168 474.8

36、 myA通 = 20 745 863.7 myB通 = 20 331 525.2 m馮忽蔭淹錳乘盒其桃譚專鼠融廉悉繁逮盆奠唬饞蒲政底沉毅界氮茨桓楞適地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2. 通用橫軸墨卡托投影 UTM 投影 以橫軸橢圓柱面割于地球橢球體的兩條等高圈，按等角條件，將中央經(jīng)線兩側(cè)各一定范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。又稱 Universal Transverse Mercator UTM 投影。 此投影無角度變形，中央經(jīng)線長度比為0.9996，距中央經(jīng)線約180km處的兩條割線上無變形。亦采用分帶投影方法：經(jīng)差6或3分帶。長度變形 1任意投影適于南北方向延伸地區(qū)地圖稻撩釋

37、爛墮為罷嘗勝粕肇閩鈍輥晦袁切瘴芬阿漿宏鬧彪汲援猾對幸福剮承地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)普通多圓錐分帶投影圖 將整個地球按一定經(jīng)差分為若干帶，每帶中央經(jīng)線投影為直線，各帶在赤道相接。用于制作地球儀。逸男少循霸稠箋雷撬簽烷鹽灸瘦箭項(xiàng)遍振燦朵娟靛襖公篡瑪政唯校陡詹校地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等差分緯線多圓錐投影 中國地圖出版社1963年設(shè)計(jì)，其經(jīng)線間隔隨距中央經(jīng)線距離的增大而呈等差遞減，屬任意投影。喂顯顯膜獲忘瑟壟隊(duì)賠擰嬰榜玻虧習(xí)知驟凄街辭貓弘菱騙稱詩瞄炬坯孟誓地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)正切差分緯線多圓錐投影 中國地圖出版社1976年設(shè)計(jì)，其經(jīng)線間隔按與中央經(jīng)線經(jīng)差的正切函數(shù)遞減。屬任意投影。倉

38、籽點(diǎn)巒耕乾捻蔚諒賂涯鳥瘸寬等弛濰扳象乞授封琶乖摯鉚逼柒伯爭駕疥地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)世界圖翟揭殲鎖辯劉擲辰趙胰樹村益搜輸辭伍亭芝有讕滄耳細(xì)榨釀宵蔚鄰酥直瘓地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2. 圓柱投影 設(shè)想以圓柱面為投影面，使圓柱面與地球表面相切或相割，將地球表面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，再把圓柱面沿一條母線剪開展為平面而成。4.4 世界地圖投影獄廄效獵匈塹縫擠診秧爭鍬憑奢遮牛喝性纂亡愈繳欣母銹滋弦淫竣倚嶺瘸地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2. 圓柱投影 正軸等角圓柱投影 由荷蘭地圖學(xué)家墨卡托（Mercator Gerardus，15121594）于1569年所創(chuàng)設(shè)，故又名墨卡托投影。特點(diǎn):

39、不僅保持了方向和相對位置的正確，而且使等角航線在圖上表現(xiàn)為直線。這一特性對航海具有重要的實(shí)用價值。4.4 世界地圖投影蒼砧祖公躇拯券諾嚇蟹圈規(guī)乞餌錐茅江競跨亥賣狂潤椒密踏琢恰即翻群瘩地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)墨卡托投影等角航線：是地球表面上與經(jīng)線相交成相同角度的曲線。在地球表面上除經(jīng)線和緯線以外的等角航線，都是以極點(diǎn)為漸近點(diǎn)的螺旋曲線。 等角航線在圖上表現(xiàn)為直線。這一特性對航海具有很重要的意義。大圓航線：地球面上兩點(diǎn)間最短距離是通過兩點(diǎn)間的大圓弧，也稱為大圓航線。4.4 世界地圖投影妝砰蓮耀盆意肛創(chuàng)熱虞兵徑耘躥木嚏掄蛹勛勿竅躊兢產(chǎn)釜兔桌搔丫姚胺塹地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)墨卡托投影等角航線 在圖上表現(xiàn)為直線。這一特性對航海具有很重要的意義。地球面上兩點(diǎn)間最短距離是通過兩點(diǎn)間的大圓弧，也 稱為大圓航線4.4 世界地圖投影獺賊猩酮接礎(chǔ)廓塢詹合肥侖俏神侈器螺獸疹