數(shù)學(xué)建模試驗(yàn)答案_穩(wěn)定性模型

1、實(shí)驗(yàn)08 穩(wěn)定性模型(4學(xué)時(shí))(第7章穩(wěn)定性模型)1.(驗(yàn)證)捕魚業(yè)的持續(xù)收獲一產(chǎn)量模型p215219產(chǎn)量模型：(.x、x (t) = F (x) = rx 1 -Ex ,In )其中，x(t)為t時(shí)刻漁場中的魚量。r是固有增長率。N是環(huán)境容許的最大魚量。E是捕撈強(qiáng)度，即單位時(shí)間捕撈率。要求：運(yùn)行下面的m文件，并把相應(yīng)結(jié)果填空，即填入“”。%7.1捕魚業(yè)的持續(xù)收獲一產(chǎn)量模型%文件名：p215_217.mclear; clc;%無捕撈條件下單位時(shí)間的增長量：f(x)=rx(1-x/N)%捕撈條件下單位時(shí)間的捕撈量：h(x)=Ex%F(x)=f(x)-h(x)=rx(1-x/N)-Ex%捕撈情況下

2、漁場魚量滿足的方程：x(t)=F(x)%滿足F(x)=0的點(diǎn)x為方程的平衡點(diǎn)%求方程的平衡點(diǎn)syms r x N E; %定義符號(hào)變量Fx=r*x*(1-x/N)-E*x; %創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式x=solve(Fx,x) %求解 F(x)=0 (求根)%得到兩個(gè)平衡點(diǎn)，記為：% x0= , x1=_，見 直16(4)式x0=x(2);米1=(1);%符號(hào)變量x的結(jié)構(gòu)類型成為2x1sym%求值)的微分F(x)syms x; %定義符號(hào)變量x的結(jié)構(gòu)類型為1*1眄dF=diff(Fx,x); %求導(dǎo)dF=simple(dF) %簡化符號(hào)表達(dá)式%得 F(x)=%求F(x0)并簡化dFx0=subs(dFa

3、x0); %將x=x0代入符號(hào)表達(dá)式dFdFx0=simple(dFx0)%得 F (x0)=%求 F (x1)dFx1=subs(dF,x,x1)%得 F (x1)=%若Er ,有F(x0)0，故x0點(diǎn)穩(wěn)定，x1點(diǎn)不穩(wěn)定(根據(jù)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的準(zhǔn)則)；%若Er ,則結(jié)果正好相反。%在漁場魚量穩(wěn)定在x0的前提下(Er ),求E使持續(xù)產(chǎn)量h(x0)達(dá)到最大hm。%通過分析(見教材p216圖1),只需求x0*使f(x)達(dá)到最大，且hm=f(x0*)osyms r x Nfx=r*x*(1-x/N)； %fx=dFdf=diff(fx,x,);x0=solve(df,x)%得 x0*=，見 P217(6

4、)式hm=subs(fx,x,x0)%得hm=，見P217式%又由 x0*=N(1-E/r)，可得 E*=，見 P217(8%產(chǎn)量模型的結(jié)論是：%將捕撈率控制在固有增長率的一半(E=r/2 )時(shí)，能夠獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量。符號(hào)簡化函數(shù)simple，變量替換函數(shù)sub的用法見提示。給出填空后的M文件(見215217):%7.1捕魚業(yè)的持續(xù)收獲一一產(chǎn)量模型% 文件名：p215_217.mclear; clc;%無捕撈條件下單位時(shí)間的增長量：f(x)=rx(1-x/N)%捕撈條件下單位時(shí)間的捕撈量：h(x)=Ex%F(x)=f(x)-h(x)=rx(1-x/N)-Ex%捕撈情況下漁場魚量滿足的方程：x

5、(t)=F(x)%滿足F(x)=0的點(diǎn)x為方程的平衡點(diǎn)%求方程的平衡點(diǎn)syms r x N E; %定義符號(hào)變量Fx=r*x*(1-x/N)-E*x; %創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式x=solve(Fx,x) % 求解 F(x)=0 (求根)%得到兩個(gè)平衡點(diǎn)，記為：% x0= -N*(-r+E)/r , x1=0_，見物16(4)式x0=x(2);*1=(1);%符號(hào)變量x的結(jié)構(gòu)類型成為2*16加%求6)的微分F(x)syms x; %定義符號(hào)變量x的結(jié)構(gòu)類型為1*1內(nèi)dF=diff(Fx,x); %求導(dǎo)dF=simple(dF) %簡化符號(hào)表達(dá)式%得 F(x)= r-2*r*x/N-E%求F(x0)并簡化

6、dFx0=subs(dF,x,x0); %將 x=x0 代入符號(hào)表達(dá)式 dFdFx0=simple(dFx0)%得 F (x0)= -r+E%求 F (x1)dFx1=subs(dF,x,x1)%得 F (x1)= r-E%若Er ,有F(x0)0，故x0點(diǎn)穩(wěn)定，x1點(diǎn)不穩(wěn)定(根據(jù)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的準(zhǔn)則)；%若Er ,則結(jié)果正好相反。%在漁場魚量穩(wěn)定在x0的前提下(Er ),求E使持續(xù)產(chǎn)量h(x0)達(dá)到最大hm。%通過分析(見教材p216圖1),只需求x0*使f(x)達(dá)到最大，且hm=f(x0*)。syms r x Nfx=r*x*(1-x/N); %fx=dFdf=diff(fX,x);x0=s

7、olve(df,x)%得 x0*= 1/2*N，見 P217(6)Shm=subs(fxx,x0)%得 hm= 1/4*r*N，見 P217(7)式%又由 x0*=N(1-E/r)，可得 E*= r/2，見 P217(8)S%產(chǎn)量模型的結(jié)論是：%將捕撈率控制在固有增長率的一半(E=r/2)時(shí)，能夠獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量。2.(驗(yàn)證、編程)種群的相互競爭P222-228模型：22r x (1 - u -c _) 1 1 N 1 N12 xx r x (1 -c - t-) 2 22 N N12其中，X (t), x2 (t)分別是甲乙兩個(gè)種群的數(shù)量。12r1k2是它們的固有增長率。N1, N2是它們

8、的最大容量。1 :單位數(shù)量乙(相對(duì)N2 )消耗的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量甲(相對(duì)N1) 消耗的供養(yǎng)甲的食物量的g1倍。對(duì)o2可作相應(yīng)解釋。(編程)穩(wěn)定性分析p224225要求：補(bǔ)充如下指出的程序段，然后運(yùn)行該m文件，對(duì)照教材上的相應(yīng)結(jié)果。%7.3種群的相互競爭一一穩(wěn)定性分析%文件名：p224_225.mclear; clc;%甲乙兩個(gè)種群滿足的增長方程：% x1(t)=f(x1,x2)=r1*x1*(1-x1/N1-k1*x2/N2)% x2(t)=g(x1,x2)=r2*x2*(1-k2*x1/N1-x2/N2)%求方程的平衡點(diǎn)，即解代數(shù)方程組(見P224的(5)式)% f(x1,x2)=0

9、% g(x1,x2)=0編寫出該程序段。提示(1)使用符號(hào)表達(dá)式；(2 )用函數(shù)solve求解代數(shù)方程組，解放入x1, x2;(3)調(diào)整解(平衡點(diǎn))的順序放入P中(見下面注釋所示)，P的結(jié)構(gòu)類型為 , P的第1列對(duì)應(yīng)x1，第2列對(duì)應(yīng)x2。x1x2=x1,x2 % 顯示結(jié)果disp( )； P%調(diào)整位置后的4個(gè)平衡點(diǎn)：% P(1,:)=P1 ( N1,0 )% P(2,:)=P2 ( 0 , N2 )% P(3,:)=P3 ( N1*(-1+k1)/(-1+k2*k1) , N2*(-1+k2)/(-1+k2*k1)% P(4,:)=P4 (0,0)%平衡點(diǎn)位于第一象限才有意義，故要求P3: k

10、1, k2同小于1，或同大于1。%判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性參考教材p245的(18), (19)式。syms x1 x2; %重新定義fX1=diff(f,xT); fx2=diff(f,x2);gx1=diff(g,x1); gx2=diff(g,x2);disp( ); A=fX1f2;gx1,gx2 %顯示結(jié)果p=subs(-(fX1+gx2),x1,x2,P(:,1),P(:,2);%替換p=simple(p);%簡化符號(hào)表達(dá)式pq=subs(det(A),x1,x2,P(:,1),P(:,2);q=simple(q);disp(); P p q% 顯示結(jié)果%得到教材p225表1的前3列，經(jīng)

11、測算可得該表的第4列，即穩(wěn)定條件。補(bǔ)充后的程序和運(yùn)行結(jié)果(見225表1)： 2341%7.3種群的相互競爭一一穩(wěn)定性分析% 文件名：p224_225.mclear; clc;%甲乙兩個(gè)種群滿足的增長方程：% x1(t)=f(x1,x2)=r1*x1*(1-x1/N1-k1*x2/N2)% x2(t)=g(x1,x2)=r2*x2*(1-k2*x1/N1-x2/N2)%求方程的平衡點(diǎn)，即解代數(shù)方程組(見P224的(5)式)% f(x1,x2)=0% g(x1,x2)=0%編寫出該程序段。syms x1 x2 r1 r2 N1 N2 k1 k2;f=r1*x1*(1-x1/N1-k1*x2/N2)

12、;g=r2*x2*(1-k2*x1/N1-x2/N2);x1,x2=solve(f,g,x1,x2);P=x1(234,1),x2(2,3,4,1);x1x2=x1,x2 % 顯示結(jié)果disp( ); P%調(diào)整位置后的4個(gè)平衡點(diǎn)：% P(1,:)=P1( N1，0)% P(2,:)=P2( 0，N2)% P(3,:)=P3( N1*(-1+k1)/(-1+k2*k1)，N2*(-1+k2)/(-1+k2*k1)% P(4,:)=P4(0，0)%平衡點(diǎn)位于第一象限才有意義，故要求P3： k1, k2同小于1，或同大于1。%判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性參考教材p245的(18), (19)式。syms x1

13、 x2; %重新定義fx1=diff(f,x1); fx2=diff(f,x2);gx1=diff(g,x1); gx2=diff(g,x2);disp( ); A=fx1,fx2;gx1,gx2 %顯示結(jié)果p=subs(-(fX1+gx2),x1,x2,P(:,1),P(:,2);%替換 p=simple(p);%簡化符號(hào)表達(dá)式pq=subs(det(A),x1,x2,P(:,1),P(:,2); q=simple(q);disp(); P p q% 顯示結(jié)果%得到教材p225表1的前3列，經(jīng)測算可得該表的第4列，即穩(wěn)定條件。2.2 (驗(yàn)證、編程)計(jì)算與驗(yàn)證P227微分方程組工串)二丁1(1

14、-N-。1 N) TOC o 1-5 h z ,t - -it - - LJ i - J/ . 1- .- ) 1, -Hl - - ! 4- k2*r2)/(k - LJ. (H*r2* - 1) ? - LJ . - - LJ.：；. - rl.：.：r.rl - E - r.: ：v ： ：:. - HA心|4.（驗(yàn)證）食餌-捕食者模型p230232模型的方程：x(0)二 x0y (0)二 y0 x (t) - rx axy=n-50 xx=xx;x;end endplot(b,xx,.b,markersize,5); %可改變值5，調(diào)整數(shù)據(jù)點(diǎn)圖標(biāo)的大小title(圖4模型的收斂、分岔和

15、混沌)；xlabel(參數(shù) b);ylabel(x(k) (k足夠大)； grid on;運(yùn)行以上m文件。運(yùn)行結(jié)果（比較241圖4）：5.4 2n倍周期圖形p240242要求：在上題的程序中，修改b值，使運(yùn)行后顯示以下圖形:（1）單周期（143）：詩要口國|國2倍周期(3b3.449)：(3) 22 倍周期(3.449b3.544)：Figure 1Z| | X |Fili Edit View Insert TooIe Desktop Window Helppa a |旨| a久踮1國|國(4) 23 倍周期(3.544bbn_1 , b1e-12 %使區(qū)間(c, d)足夠小b=(d+c)/2

16、; x=0.2; %b取區(qū)間的中點(diǎn)for i=1:1O0O00 x=b*x*(1-x);endy(1)=x; %取最后 2*2An 個(gè) xkfor k=1:2A(n+1)-1y(k+1)=b*y(k)*(1-y(k);endif norm(y(1:2An)-y(2An+1：2A(n+1)1e-12 %范數(shù)，比較c=b;%滿足2人口倍周期收斂的b給區(qū)間(c, d)的下限celsed=b; %不滿足2An倍周期收斂的b給區(qū)間(c, d)的上限d endendbmax=c; % 2人n倍周期收斂的b的上限近似要求：編寫程序，調(diào)用以上函數(shù)文件，求單倍周期、2倍周期、25倍周期收斂的b的上限近似值，輸出

17、要求有10位有效數(shù)字。運(yùn)行結(jié)果輸出形式如下：提示：可使用num2str函數(shù)。用下面的程序結(jié)構(gòu)，會(huì)使運(yùn)行速度加快。function main()自己編寫的程序；將上面的函數(shù)文件復(fù)制到此處。運(yùn)行的程序及輸出結(jié)果：function main() clc;n=5;%求單(賦0)、2倍(賦1)2人口倍周期收斂的b的上、下限B=ones(n+2, 1); for i=0:nB(i+2)=fUn(B(i+1),i);end%單周期收斂時(shí)，B(1)bB；2倍時(shí)，B(2)bbn_1 , b1e-12 %使區(qū)間(c, 4)足夠小b=(d+c)/2; x=0.2; %b取區(qū)間的中點(diǎn)for i=1:100000 x=

18、b*x*(1-x); endy(1)=x; %取最后 2*2An 個(gè) xkfor k=1:2A(n+1)-1y(k+1)=b*y(k)*(1-y(k); endif norm(y(1:2An)-y(2An+1:2A(n+1)1e-12 %范數(shù)，比較c=b;%滿足2An倍周期收斂的b給區(qū)間(c, d)的下限celsed=b; %不滿足2An倍周期收斂的b給區(qū)間(c, d)的上限dend endbmax=c; % 2An倍周期收斂的b的上限近似注：vpa的用法。附1：實(shí)驗(yàn)提示 第1題提示：符號(hào)簡化函數(shù)5而03,變量替換函數(shù)SUb符號(hào)簡化函數(shù)simple的格式：simple(S)對(duì)符號(hào)表達(dá)式S嘗試多

19、種不同的算法簡化以顯示S表達(dá)式的長度最短的簡化形式。變量替換函數(shù)sub的格式：subs(S,OLD,NEW)將符號(hào)表達(dá)式S中的OLD變量替換為NEW變量。附2：第7章 穩(wěn)定性模型2157.1捕魚業(yè)的持續(xù)收獲第7章穩(wěn)定性模型雖然動(dòng)態(tài)過程的變化規(guī)律一般要用微分方程建立的動(dòng)態(tài)模型來描述，但是 對(duì)于某些實(shí)際問題，建模的主要目的并不是要尋求動(dòng)態(tài)過程每個(gè)瞬時(shí)的性態(tài)，而 是研究某種意義下穩(wěn)定狀態(tài)的特征，特別是當(dāng)時(shí)間充分長以后動(dòng)態(tài)過程的變化 趨勢.比如，在什么條件下描述過程的變量會(huì)越來越接近某些確定的數(shù)值，在什 么情況下又會(huì)越來越遠(yuǎn)離這些數(shù)值而導(dǎo)致過程不穩(wěn)定,為了分析這種穩(wěn)定與不 穩(wěn)定的規(guī)律，常常不需要求解微

20、分方程（并且我們將會(huì)看到，即使對(duì)于不太復(fù)雜 的方程，解析解也不是總能得到的八而可以利用微分方程穩(wěn)定性理論，直接研 究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性就行了 .在下面建模過程中，大多數(shù)情況下我們將直接引用微分方程穩(wěn)定性理論的 結(jié)果.不熟悉這方面內(nèi)容的讀者可以參閱7門節(jié).差分方程的穩(wěn)定性與微分方程有很多相似之處.也有明顯的差別，7. 6和 7.7節(jié)將介紹這方面的內(nèi)容.7.1捕魚業(yè)的持續(xù)收獲可持續(xù)發(fā)展是一項(xiàng)基本國策，對(duì)于像漁業(yè)、林業(yè)這樣的再生資源，一定要注 意適度開發(fā)，不能為了一時(shí)的高產(chǎn)去“竭澤而漁”，應(yīng)該在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)的前提下追 求產(chǎn)量或效益的最優(yōu)化.考察一個(gè)漁場，其中的魚量在天然環(huán)境下按一定規(guī)律增長，如果捕撈量恰好

21、 等于增長量，那么漁場魚量將保持不變，這個(gè)捕撈量就可以持續(xù)下去本節(jié)要建 立在捕撈情況下油場魚量遵從的方程，分析魚量穩(wěn)定的條件，并且在檢定的前提 下討論如何控制捕撈使持續(xù)產(chǎn)量或經(jīng)濟(jì)效益達(dá)到最大最后研究所謂捕撈過度 的問就門叫產(chǎn)模型 記時(shí)刻士漁場中魚量為4）.關(guān)于的自然增長和人工捕撈 作如下假設(shè)：L在無捕撈條件下工的增長服從logistic規(guī)律（地5. 6節(jié)的阻滯增長模 型），即= /(4) = rxr是固有增長率小是環(huán)境容許的最大魚量，用人式）表示單位時(shí)間的增長量.?、單位時(shí)間的捕撈量（即產(chǎn)量）與漁場魚量工（E）成正比，比例常數(shù)表示 單位時(shí)間捕撈率，又稱為捕撈強(qiáng)度，可以用比如捕魚網(wǎng)眼的大小或出海

22、漁船數(shù)量 來控制其大小.于是單位時(shí)間的捕撈量為h(x) - Ex根據(jù)以上假設(shè)并記=f（x） - h（x）得到捕撈情況下漁場魚最滿足的方程金(力=F(x) = rx我們并不需要解方程（3）以得到工）的動(dòng)態(tài)變化過程，只希望知道漁場的穩(wěn)定 魚量和保持穩(wěn)定的條件，即時(shí)間士足夠長以后漁場魚量武士）的趨向，并由此確定 最大持續(xù)產(chǎn)量,為此可以直接求方程（3）的平衡點(diǎn)并分析其穩(wěn)定性.得到兩個(gè)平衡點(diǎn)與=1 -，物二 0不難算出 所以若有尸Yw） 。，尸,（町）0,故0點(diǎn)穩(wěn)定，跖點(diǎn)不穩(wěn)定（判斷平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的準(zhǔn)則 見7. 7節(jié)）；若E r,則結(jié)果正好相反.E是捕撈率，是最大的增長率，上述分析表明，只要捕撈適度（總/

23、），就可使?jié)O ， 及巾 ,場魚量穩(wěn)定在入，從而獲得持續(xù)產(chǎn)展/_從與）二而當(dāng)捕撈過度時(shí)（）.漁場 ”二二二2才魚量將趨向如二o,當(dāng)然談不上獲得持續(xù)產(chǎn) 一方才丁圖】最大持續(xù)產(chǎn)量的圖解法進(jìn)一步討論漁場魚量穩(wěn)定在%的前提 下，如何控制捕撈強(qiáng)度E使持續(xù)產(chǎn)量最大 的問題.用圖解法可以非常簡單地得到結(jié)果.根據(jù)(1),(2)式作拋物線,=/(/)和直線7 =乂#)=氐，如圖L注意到y(tǒng) = 人工)在原點(diǎn)的切線為y = 所以在條件(5)下, = &必與7=汽動(dòng)有交點(diǎn)尸,P的 橫坐標(biāo)就是穩(wěn)定平衡點(diǎn)根據(jù)假設(shè)2,尸點(diǎn)的縱坐標(biāo)h為穩(wěn)定條件下單位時(shí)間的持續(xù)產(chǎn)量.由圖1立 刻知道,當(dāng)y = &與在拋物線頂點(diǎn)P相交時(shí)可獲得最大

24、的持續(xù)產(chǎn)量 此時(shí)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)為且單位時(shí)間的最大持續(xù)產(chǎn)量為l rN院二不而由(4)式不難算出保持漁場魚量穩(wěn)定在工；的捕撈率為=y(8)綜上所述，產(chǎn)量模型的結(jié)論是將捕撈率控制在固有增長率r的一半，更簡單 一些，可以說使?jié)O場魚量保持在最大魚量N的一半時(shí)，能夠獲得最大的持續(xù) 產(chǎn)量.效益模型 從經(jīng)濟(jì)角度看不應(yīng)追求產(chǎn)量最大,而應(yīng)考慮效益最佳.如果經(jīng)濟(jì) 效益用從捕撈所得的收入中扣除開支后的利潤來衡量，并且甯單地假設(shè)：魚的銷 售單價(jià)為常數(shù)P,單位捕撈率(如每條出海漁船)的費(fèi)用為常數(shù)匕,那么單位時(shí)間 的收入T和支出5分別為 TOC o 1-5 h z T = ph(x) = pEx, S = cE(9 )單位時(shí)

25、間的利潤為R = T S = pEx cE( 10)在穩(wěn)定條件工二所下，以(4)代入(10)式，得R(E) =T(E) -S() =pNE(l -yj - cE(11)用微分法容易求出使利潤&E)達(dá)到最大的捕撈強(qiáng)度為E&=勺1-品)將品代入(4)式，可得最大利潤下的漁場穩(wěn)定魚量4及單位時(shí)間的持續(xù)產(chǎn)量 心為將（12）-（14）式與產(chǎn)量模型中的（6）-（8）式相比較可以看出,在最大效 益原則下捕撈率和持續(xù)產(chǎn)量均有所減少，而漁場應(yīng)保持的穩(wěn)定魚量有所增加，井 且減少或增加的部分隨著捕撈成本。的增長而變大，隨著銷售價(jià)格p的增長而 變小.請(qǐng)讀者分析這些結(jié)果是符合實(shí)際情況的.捕撈過度上面的效益模型是以計(jì)劃捕

26、撈（或稱封閉式捕撈）為基礎(chǔ)的，即 漁場由單獨(dú)的經(jīng)營者有計(jì)劃地捕撈，可以追求最大利潤.如果漁場向眾多盲目的 經(jīng)營者開放，比如在公海上無規(guī)則地捕描，那么即使只有微薄的利潤,箜營者也 會(huì)蜂擁而去，這種情況稱為盲目捕撈（或開放式捕撈）.這種捕撈方式將導(dǎo)致捕 撈過度，下面討論這個(gè)模型.（11）式給出了利潤與捕撈強(qiáng)度的關(guān)系R（E），令R（E） =0的解為可得(15)當(dāng)E0,盲目的經(jīng)營者們會(huì)加大捕撈強(qiáng)度；若E &,利潤R（E） 0）是P吟（即售價(jià)大于（相對(duì)于總量而言）成本.并且由 （15）式可知，成本越低，售價(jià)越高，則/越大.將（15）代人（4）式，得到盲目捕撈下的漁場穩(wěn)定魚量為xs = 一（17）P七完全

27、由成本-價(jià)格比決定,隨著價(jià)格的上升和成本的下降，%將迅速減少，出 現(xiàn)捕撈過度.比較（12）和（15）式可知，4=2%，即盲目捕撈強(qiáng)度比最大效益下捕撈強(qiáng)度 大一倍.從（15）式和圖2坯可以得到,當(dāng)書p 2*時(shí)，（“）/2春時(shí)，愿,如圖2中后母，稱生態(tài)學(xué)捕撈 過度.218評(píng)注 為了研究漁業(yè)的產(chǎn)量、效益及捕撈過度問題，首先在對(duì)魚的自然增長 和捕撈情況的合理假設(shè)下，建立漁場魚量的基本方程（3）,并利用平衡點(diǎn)穩(wěn)定性 分析確定了保持漁場魚貫穩(wěn)定的條件.產(chǎn)量、效益和捕撈過度3個(gè)模型在穩(wěn)定的 前提下步步深入，數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程十分簡單，卻得到了在定性關(guān)系上與實(shí)際情況完 全符合的結(jié)果.如果改變對(duì)魚的自然增長和人工捕撈

28、的假設(shè)，模型及結(jié)果將隨之變化（習(xí) 題 1,2）.7-2軍備競賽兩個(gè)國家或兩個(gè)國家集團(tuán)之間由于相互不信任和各種矛盾的存在、發(fā)展而 不斷增加自己的軍事力量，防御對(duì)方可能發(fā)動(dòng)的戰(zhàn)爭.能否用一個(gè)數(shù)學(xué)模型描述 這種軍備競賽的過程，從定性和定埴的角度對(duì)競賽的結(jié)果作出解釋或預(yù)測.本節(jié) 介紹L. F. RichardSonl939年提出的一個(gè)模型.當(dāng)然影響軍備競賽的因素是錯(cuò)綜 復(fù)雜的，無法用數(shù)學(xué)工具給以恰當(dāng)?shù)膱A滿的描述.這個(gè)模型只不過告訴我們，一 個(gè)復(fù)雜的實(shí)際過程可以被合理地簡化到什么程度，得到的結(jié)果又怎樣用來解釋 實(shí)際現(xiàn)象，并且如果允許軍備競賽沿著機(jī)械的本能和固定的模式發(fā)展的話，會(huì)導(dǎo) 致什么樣的結(jié)局emm.

29、模型假設(shè)與構(gòu)成為了方便起見，用軍備這個(gè)詞表示軍事力量的總和，如兵 力、裝備、軍事預(yù)算等,甲乙雙方在時(shí)刻t的軍備分別記作以酎和假定它 們的變化只取決于下面3個(gè)因素：.由于相互不信任及矛盾的發(fā)展L 方軍備越大，另一方軍備增加得越快.2,由于各方本身經(jīng)濟(jì)實(shí)力的限制，任一方軍備越大，對(duì)軍備增長的制約作 用越大.3.由于相互敵視域領(lǐng)土爭端，每一方都存在著增加軍備的固有潛力.迸一步假定前兩個(gè)因素的影響是線性的，第3個(gè)因素的影響是常數(shù)，那么 和雙。的變化過程可用微分方程組；X （t） - -ax + ky i z *I 】）,y （ t）=及一肉十尢表示，其中的系數(shù)均大于或等于是對(duì)方軍備刺激程度的度量是己方

30、 經(jīng)濟(jì)實(shí)力制約程度的度量”體是己方軍備競賽的固有潛力如果我們感興趣的是軍備競賽的結(jié)局由什么因素決定，而不關(guān)心競賽的過 程，那么只需用微分方程穩(wěn)定性理論討論時(shí)間充分長以后工（），）的變化趨 勢，即方程（1 ）的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定情況.令（1）式右端等于口，容易算出平衡點(diǎn)（既，為）為_ kh_ Lg + ah o-kr 打=由-kl方程（1）的系數(shù)矩陣為-a k- A =于是按照判斷平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的方法計(jì)算（見7. 7節(jié)（9） -（13）式）以ii +) = a + 0det： A - a3 kl由穩(wěn)定性準(zhǔn)則（見7.7節(jié)（15）式），當(dāng)卑 kl(2)(3)(4)(5)時(shí),平衡點(diǎn)（與，孔）是穩(wěn)定的；反之，是

31、不穩(wěn)定的.這就是說，在（5）式的條件下，時(shí)間足夠長以后雙方的軍備將分別趨向一個(gè) 有限值，軍備競賽是穩(wěn)定的.模型的定性解釋 根據(jù)方程（1）和平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的分析，可以解釋幾個(gè)簡 單而又重要的現(xiàn)象.條件（5）表明，當(dāng)雙方的經(jīng)濟(jì)制約程度叩大于雙方的軍備刺激程度kl 時(shí)，軍備競賽才會(huì)趨向穩(wěn)定.反之,#（）4（E）將趨向無窮，競賽無限地進(jìn)行下去， 可能導(dǎo)致戰(zhàn)爭.由（2）式，如果g=八=0,貝Ig =0,幾=0是方程（1）的平衡點(diǎn)，并且在條 件（5）下它是穩(wěn)定的,于是如果在某個(gè)時(shí)候,有x（i0） =y（3）就永遠(yuǎn) 保持為。這種情況可以解釋為雙方不存在任何敵視和爭端，通過裁軍可以達(dá)到 持久和平.兩個(gè)友好的鄰國

32、正是這樣.如果即使由于某種原因（如裁軍協(xié)定）在某個(gè)時(shí)候雙方軍備大 減，不妨設(shè)#（%） =y（/0） =0,那么因?yàn)榱Χ?，?3也將使雙方重整軍備.這說 明未經(jīng)和解的裁軍（即不消除敵視或領(lǐng)土爭端）是不會(huì)持久的.如果由于某種原因（如戰(zhàn)敗或協(xié)議），在某個(gè)時(shí)候一方的軍備大減，不妨 設(shè)=0,那么因?yàn)閤 =柳+ g,也將使該方重整軍備,這說明存在不信任 （左方0）或固有爭端（8*0）的單方面裁軍也不會(huì)持久.模型參散的估計(jì)為了利用（5）式判斷軍備競賽是否會(huì)趨于穩(wěn)定,需要知道 %孫七/的數(shù)值,估計(jì)這些參數(shù)無疑是很困難的，下面是Richardson提出的一種 方法.L的估計(jì)22。設(shè)#（0） =0,當(dāng)較小時(shí)，忽

33、略S和-3的作用，并近似地假定丁 =無不變，由 方程（1）得如果當(dāng)八丁時(shí)土=刈，則由（6）式得到左一 =r（7）這說明H口是甲方軍備從0到趕上乙方軍備力所需的時(shí)間.例如，德國從1933年開始重整軍備，只用了約3年的時(shí)間就趕上了它的鄰國. 假設(shè)它增加軍備的固有潛力g被制約效應(yīng)w所抵消，那么可以認(rèn)為德國的左一 =3 年，即 40. 3.I可以類似地估計(jì)，或者合理地假定它與國家的經(jīng)濟(jì)實(shí)力成正比.這樣若乙國 的經(jīng)濟(jì)實(shí)力是德國的2倍，則可以估計(jì)2-0. 6.2,儀位的估計(jì)設(shè)g=0,：y=U,由方程（1）可得以t=以7代入，算出/-1 X 力（。）#5 ）=這表示是在乙方無軍備時(shí)甲方軍備減少到原來的,所需

34、的時(shí)間,Richardson認(rèn)e為這大概是一個(gè)國家議會(huì)的任期,對(duì)于議會(huì)任期5年的國家來說,q = 0. 2.對(duì)模型和界數(shù)的粗略檢跪 考察第一次世界大戰(zhàn)前夕，歐洲的兩個(gè)國家同盟法俄同盟和德奧匈同盟的軍備競賽情況.-兩個(gè)同盟的經(jīng)濟(jì)實(shí)力大致相等,且約為德國的3倍，因?yàn)檑膰膬?0. 3,所以 這兩個(gè)同盟的9.同時(shí)假定a :尸=0. 2,那么由于如我,（5）式不成立，它 們的軍備競賽不會(huì)趨向穩(wěn)定.事實(shí)上，當(dāng)時(shí)兩個(gè)同盟之間既有軍備競賽也有貿(mào)易往來.用孫，為表示雙 方的軍事預(yù)算，寶，力表示雙方的貿(mào)易往來，從軍事預(yù)算中扣除貿(mào)易往來作為 雙方的軍備，即又二町-看，,二九-%以無=2,口=尸代入方程（1）,并將

35、兩式相 加得到4（x + y） = （k - a） （x y） + + h（8）di或?qū)懽髁粒? +7） = （* -o）（孫 +yj）-（9 +r2） +-7+ 力）（9）（9）式表明，句+力與它的變化率的關(guān)系是線性的.為了與實(shí)際數(shù)據(jù)比較，表1列出了兩個(gè)同盟從1909年到1913年的軍事預(yù)算，表中第5行&+%）是 十為的年增加量，最后一行。7T是相應(yīng)的年平均值，用a（/十七）和%十 %的 數(shù)據(jù)作圖（圖1中圓點(diǎn)），對(duì)這組數(shù)據(jù)用線性最小二乘擬合得到（圖中直線）圖1%+力與A（9+“）的關(guān)系+ /i） - 0. 73（xj + y1 - 195）（10）表1兩個(gè)同盟的軍事預(yù)售（以百萬英翎為單位）1

36、9091910191119121913法俄才)15, 3119. 4127. 8145.0166. 7德奧匐為83985.487. 193.7122. 3/ +Ti 199, 2204. 8214.9238.7289.0（%+為）5.610. 123. 850.3202,0209.8226. 826X8比較（9）和（10）式，（10）式的線性關(guān)系粗略地說明本節(jié)介紹的模型具有一 定的合理性,同時(shí)得到的無-d二673也與前面給出的估值比-0.9,4=0.2相 符，由軍事預(yù)算體現(xiàn)的軍備將繼續(xù)增加.事實(shí)上，兩個(gè)同盟間的軍備競賽終于引 發(fā)了第一次世界大戰(zhàn).評(píng)注用如此簡單的模型描述錯(cuò)綜復(fù)雜的軍備競賽過程也

37、許難以令人信 服，但是如果你沒有更深入、可靠的知識(shí)去建立更滿意的模型，那就不妨先做像 本節(jié)這樣的嘗試.這種筒化模型既是進(jìn)一步研究的基礎(chǔ)，也是建模方法的練習(xí)7.3種群的相互競爭當(dāng)某個(gè)自然環(huán)境中只有一種生物的群體（生態(tài)學(xué)上稱為種群）生存時(shí)，人們 常用1 口 gis曲模型來描述這個(gè)種群數(shù)量的演變過程，即*3 = ri（1 - y）We）是種群在時(shí)刻t的數(shù)鼠門是固有增K率，N是環(huán)境資源容許的種群最大數(shù)222-量,在5.6節(jié)和7. 1節(jié)我們曾應(yīng)用過這種模型.由方程（1）可以直接得到，與=聞 是穩(wěn)定平衡點(diǎn)，即Etb時(shí)軌力一從模型本身的意義看這是明顯的結(jié)果.如果一個(gè)自然環(huán)境中有兩個(gè)或兩個(gè)以上種群生存，那么它

38、們之間就要存在 著或是相互競爭，或是相互依存，或是弱肉強(qiáng)食（食餌與捕食者）的關(guān)系,本節(jié)和 下面兩節(jié)將從穩(wěn)定狀態(tài)的角度分別討論這些關(guān)系.當(dāng)兩個(gè)種群為了爭奪有限的同-種食物來源和生活空間而進(jìn)行生存競爭 時(shí)，最常見的結(jié)局是競爭力較弱的種群滅絕，競爭力較強(qiáng)的種群達(dá)到環(huán)境容許的 最大數(shù)量,人們今天可以看到自然界長期演變成的這樣的結(jié)局.例如，一個(gè)小島 上雖然有四種燕子棲息，但是它們的食物來源各不相同 一種只在陸地上覓食. 另兩種分別在淺水的海灘上和離岸稍遠(yuǎn)的海中捕魚，第四種則飛越寬闊的海面 到遠(yuǎn)方攫取海味,每一種燕子在它各自生存環(huán)境中的競爭力明顯地強(qiáng)于其他幾 種,本節(jié)要建立一個(gè)模型解釋類似的現(xiàn)象，并分析產(chǎn)

39、生這種結(jié)局的條 件% IS,妙模型建立 有甲乙兩個(gè)種群，當(dāng)它們獨(dú)自在一個(gè)自然環(huán)境中生存時(shí)，數(shù)量的 演變均遵從logistic規(guī)律.記的（力，）是兩個(gè)種群的數(shù)量小，是它們的固有 增長率，M是它們的最大容量于是,對(duì)于種群甲有其中因子（ 1 -術(shù)）.（0 =盧（1 _ .）反映由于甲對(duì)有限資源的消耗導(dǎo)致的對(duì)它本身增長的阻滯作用、今可解釋為相對(duì)于M而言，單位數(shù)量的甲消耗的供養(yǎng)甲的食物量（設(shè)食物總 評(píng)I量為1）.當(dāng)兩個(gè)種群在同一自然環(huán)境中生存時(shí)，考察由于乙消耗同一種有限資源對(duì)甲的增長產(chǎn)生的影響，可以合理地在因子中再減去一項(xiàng)，該項(xiàng)與種群乙的數(shù)量相（相對(duì)于外而言）成正比，于是得到種群甲增長的方程為”“1 -

40、耒一內(nèi)前這里6的意義是：單位數(shù)量乙（相對(duì)M而言）消耗的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù) 量甲（相對(duì)M）消耗的供養(yǎng)甲的食物量的6倍.類似地，甲的存在也影響了乙的增長，種群乙的方程應(yīng)該是對(duì)心可作相應(yīng)的解釋.223在兩個(gè)種群的相互競爭中，6,b2是兩個(gè)關(guān)鍵指標(biāo).從上面對(duì)它們的解釋可 知，6 1表示在消耗供養(yǎng)甲的資源中,乙的消耗多于甲，因而對(duì)甲增長的阻滯 作用乙大于甲，即乙的競爭力強(qiáng)于甲.對(duì) 1可作相應(yīng)的理解*一般地說,6與吟之間沒有確定的關(guān)系，但是可以把這樣一種特殊情況作 為較常見的一類實(shí)際情況的典型代表，即兩個(gè)種群在消耗資源中對(duì)甲增長的阻 滯作用與對(duì)乙增長的阻滯作用相同.具體地說就是：因?yàn)閱挝粩?shù)量的甲和乙消

41、耗 的供養(yǎng)甲的食物量之比是1：內(nèi)，消耗的供養(yǎng)乙的食物量之比是所謂阻滯 作用相同即1：%=6：1,所以這種特殊情形可以定量地表示為夕。2=1（4）即叫，一互為倒數(shù)，可以簡單地理解為，如果一個(gè)乙消耗的食物是一個(gè)甲的 g 倍,則一個(gè)甲消耗的食物是一個(gè)乙的% =14.下面我們?nèi)匀挥懻?,b,相互獨(dú)立的一般情況，而將條件（4）下對(duì)問題的分 析留給讀者（習(xí)題3）.穩(wěn)定性分析 為了研究兩個(gè)種群相互競爭的結(jié)局，即-8時(shí)/（）,蜘 的趨向，不必要解方程（2） , （3），只需對(duì)它的平衡點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析.首先根據(jù)微分方程（2）,（3）,解代數(shù)方程組得到4個(gè)平衡點(diǎn):f一/）iV2（l -cr,）,%（M,0）式o,

42、m）,匕一p-，匕（，。）因?yàn)閮H當(dāng)平衡點(diǎn)位于平面坐標(biāo)系的第一象限時(shí)（,出。）才有實(shí)際意義，所以 對(duì)電而言，要求6,G同時(shí)小于1,或同時(shí)大于1按照判斷平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的方法（見7. 7節(jié)（18）,。9）式），計(jì)算Z,九_(tái) rvP = -(Z,十原J L， r = l ,2,3,4 q = det A I 匕，i = 1 ,2,3 ,4將4個(gè)平衡點(diǎn)p,g的結(jié)果及穩(wěn)定條件列入表1- 事實(shí)上也無法求出內(nèi)式D的解析表達(dá)式.224-表1種群競爭模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性平衡點(diǎn)pq稔定條件5（M ,。）rl _ 勺（1 _ %）- GG（1 -%）1 】也）-。（1 - k） + q-rif2（ 1 “I ）b 1

43、1舄（1（1-6）必（1 一見） _5g , 1/r, （1 - er,） + r4 （1 - t2 ）式 i -bja 內(nèi)）（7, 1 Q? r】勺不穩(wěn)定注意：按照7.7節(jié)（15）式給出的20,10得到的P,的穩(wěn)定條件只有 心1,表1中的叫父】是根據(jù)以下用相軌線分析的結(jié)果添加的片的穩(wěn)定條件 W 】有類似的情況.對(duì)于由非線性方程（2）, （3）描述的種群競爭，人們關(guān)心的是平衡點(diǎn)的全局 穩(wěn)定（即不論初始值如何，平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的），這需要在上面得到的局部穩(wěn)定性 的基礎(chǔ)上輔之以相軌線分析.在代數(shù)方程組（5）中記對(duì)于g的不同取值范圍，直線0, a0（6）：x 10, x 20（7）S3x 0, jc a

44、L a2l入穩(wěn)定P不穩(wěn)定圖平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的相平面分析（占）=%（氣）W）由（7）知，式詢）0,表明與（D在4達(dá)到極小值，而這是不 可能的，因?yàn)樵诋?dāng)中總 0,即看） 一直是增加的；若軌線從3的某點(diǎn)出發(fā)，由（8）可知軌線向左下方運(yùn)動(dòng)，那么它或者趨向己 點(diǎn)，或者進(jìn)入而進(jìn)入關(guān)后，根據(jù)上面的分析最終也將趨向產(chǎn)綜上分析可以畫出軌線示意圖（圖1（a）,因?yàn)橹本€華上d町=0,所以 在中=0上軌線方向垂直于陽軸；在收=0上d典=0,軌線方向平行于孫軸% 11,類似的分析可知此。，生）穩(wěn)定.cTC1,b2lsL由表】知，對(duì)于P3點(diǎn)g0,故門不穩(wěn)定（鞍點(diǎn)）,軌線或者 趨向已，或者趨向丹，由軌線的初始位置決定，示意圖見

45、圖1 ）在這種情況 下產(chǎn)和已都不能說是全局穩(wěn)定的（它們只是局部穩(wěn)定）.正因?yàn)檫@樣，所以P】 全局穩(wěn)定的條件需要加上/ 1.匕全局穩(wěn)定的條件加上（r2 1.226-計(jì)算與驗(yàn)證下面用計(jì)算機(jī)求方程（2）, （3）的數(shù)值解，畫出相軌線的圖形, 可使我們對(duì)兩種群的數(shù)量變化有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí).并對(duì)以上的分析給以驗(yàn)證.僅討論上述第1種情況.設(shè)歸二85,仃1=1.6,門=2,5,=1.6, % =1,用MATLAB軟件計(jì)算，為簡明起見，只給出圖形結(jié)果工圖2（a）,圖2（b）是 孫（工），如3）的圖形（初值分別取（/（。）mOJ,啊（0） =0.1）和（/（0）小， &（0） =2）,圖2（。是兩條相軌線的圖形.將

46、圖2（c）與圖1（的比校可知二者的一致.從圖2（色），圖2（b）還能看出，雖然8時(shí)孫（）一M產(chǎn)/上）-M是可預(yù)見的，但是，若初值較小，&（D會(huì)有段時(shí)間增長;若初值較大，孫（力會(huì)有一段時(shí)間減少，卻是由計(jì)算結(jié)果得到的，你能（B）%的圖形X1X-0,2)、q、k1(OlLOJ)、一 hL.1r 、1（c）兩條相軌線的圖形 圖20 00.51 L5結(jié)果解釋 根據(jù)建模過程中力,6的含義,說明？，B，尸3點(diǎn)穩(wěn)定在生態(tài)學(xué) 上的意義.g 1, % 1意味著在對(duì)供養(yǎng)乙的資源的競爭中甲強(qiáng)于乙，于是種群乙終將滅絕，種群 甲趨向最大容量，即4H），。）趨向平衡點(diǎn)Pi （M ,0）.227% 1,4.情況與1正好相反.

47、g ls L請(qǐng)讀者作出解釋.生態(tài)學(xué)中有一個(gè)競爭排斥原理：若兩個(gè)種群的單個(gè)成員消耗的資源差不多 相同，而環(huán)境能承受的種群甲的最大容量比種群乙大，那么種群乙終將滅亡.用 本節(jié)的模型很容易解釋這個(gè)原理.M N25而 = 1 , cr2= 1 * M N2將方程（2）,（3）改寫為原理的兩個(gè)條件相當(dāng)于從這3個(gè)式子顯然可得叫 1，這正是P】穩(wěn)定，即種群乙滅絕的條件.種群的相互依存自然界中處于同一環(huán)境下兩個(gè)種群相互依存而共生的現(xiàn)象是很普遍的，植 物可以獨(dú)立生存，昆蟲的授粉作用又可以提高植物的增長率，而以花粉為食物的 昆蟲卻不能離開植物單獨(dú)存活.人類與人工飼養(yǎng)的牲畜之間也有類似的關(guān)系.這 種共生現(xiàn)象可以描述

48、如下陽.設(shè)種群甲可以獨(dú)立存在，按logtic規(guī)律增長，種群乙為甲提供食物，有助于 甲的增長，類似于7.3節(jié)的方程（2）,種群甲的數(shù)量演變規(guī)律可以寫作 （n，M，憶的意義同前）7.3節(jié)中s前面的-號(hào)這里變成十號(hào)，表示乙不是消耗甲的資源而是為甲提供 食物.g的含義是，單位數(shù)量乙（相對(duì)于%）提供的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量 甲（相對(duì)于M）消耗的供養(yǎng)甲食物量的6倍.種群乙沒有甲的存在會(huì)滅亡，設(shè)其死亡率為小則乙單獨(dú)存在時(shí)有228 TOC o 1-5 h z 二r2*2（ 2 ）甲為乙提供食物，于是（2）式右端應(yīng)加上甲對(duì)乙增長的促進(jìn)作用，有三式E）二% -1 +O帚）顯然僅當(dāng)?shù)?時(shí)，種群乙的數(shù)量才會(huì)增氐與此

49、同時(shí)乙的增長又會(huì)受到自身 的阻滯作用，所以（3）式右端還要添加1白皆虱沁項(xiàng)，方程變?yōu)槭健庇?I”病啜）口）方程（1） *4）構(gòu)成相互依存現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型,下面利用平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分 析，討論時(shí)間足夠長以后兩個(gè)種群的變化趨向.類似于7. 3節(jié)的作法，將方程（1）、（4）的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性分析的結(jié)果列 人表1.表1種群依存模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性平衡點(diǎn)Pq穩(wěn)定條件尸1（一廠0）門 - r J % - I )-A 口（。T）cra 1 ttTj tr2 1p /f）儀式5一】）q(l -，) +r2(r2 -1)”(1 -5)-1)0I 11I -4陋】一（7/B(0Q一門十口f 口門不穩(wěn)定顯然，？點(diǎn)穩(wěn)定才

50、表明兩個(gè)種群在同一環(huán)境里相互依存而共生，我們著重分 析區(qū)穩(wěn)定的條件.由？點(diǎn)的表達(dá)式容易看出，要使平衡點(diǎn)巳有實(shí)際意義，即位于相平面第- 象限（孫，町0）,必須滿足下面兩個(gè)條件中的 個(gè)：4 ：/ 1 , trLcr2 1 , T2 1而由表1中點(diǎn)的p,g可知，僅在條件4下匕才是穩(wěn)定的（而在乙下巴是鞍點(diǎn)，不穩(wěn)定）.圖1畫出了條件為下相軌線的示意圖，其中中:1 -卷+叫奈,M jV2-1 一卷.直線中二0和也=0將相平面（孫，孫。0）劃分成4個(gè)區(qū)域； ej M5i ： x T0,五2 0, x2 0 ； 53 ： 3 0；54； x 1 0,?1.考慮到心的含義，這表示圖1匕穩(wěn)定的相軌線圖種群甲要為乙

51、提供足夠的食物維持其生氏.而 6g 1條件下，為使P/立于相平 面第一象限所必需的，當(dāng)然這要求6很?。? 是必要條件）.注意到6的含義，這實(shí)際上是對(duì)乙 向甲提供食物加以限制，以防止甲的過分增長，在種群依存模型（1）、（4）中，如果平衡點(diǎn) 穩(wěn)定，那么種群乙滅絕，沒有種群的共 存.請(qǐng)讀者分析導(dǎo)致已穩(wěn)定的條件及在生態(tài)學(xué) 上的意義（習(xí)題5）.評(píng)注 模型（1）、（4）是種群相互依存的一種類型，即種群甲可獨(dú)立生存，而 種群乙不能.依存模型還有其他類型，如兩個(gè)種群均能獨(dú)立生存，及均不能獨(dú)立 生存的情況.這些情況的穩(wěn)定結(jié)果如何，留作習(xí)題6,7.食餌-捕食者模型自然界中不同種群之間還存在著一種非常有趣的既有依存

52、、又有制約的生 存方式：種群甲靠豐富的自然資源生長，而種群乙靠捕食種群甲為生，食用魚和 鯊魚、美洲兔和山貓、落葉松和蝸蟲等都是這種生存方式的典型，生態(tài)學(xué)上稱種 群甲為食餌（Prey），種群乙為捕食者（Predator），二者共處組成食餌-捕食者系 統(tǒng)（簡稱P-P系統(tǒng)）.近百年來許多數(shù)學(xué)家和生態(tài)學(xué)家對(duì)這一系統(tǒng)進(jìn)行了深入 的研究，建立了一系列數(shù)學(xué)模型，本節(jié)著重介紹P-P系統(tǒng)最初的、最簡單的一 個(gè)模型，它的由來還有一段歷史背景.意大利生物學(xué)家Dncona曾致力于魚類各種群間相互依存、相互制約關(guān)系 的研究，從第一次世界大戰(zhàn)期間地中海各港口捕獲的幾種魚類占總捕獲量百分 比的資料中，發(fā)現(xiàn)翟魚（捕食者）的比

53、例有明顯的增加他知道，捕獲的各種魚的 比例基本上代表了地中海漁場中各種魚的比例戰(zhàn)爭中捕獲髭大幅度下降，應(yīng)該 使?jié)O場中食用魚（食餌）和以此為生的鯊魚同時(shí)增加，但是，捕獲量的下降為什 么會(huì)使鯊魚的比例增加，即對(duì)捕食者更加有利呢？他無法解釋這種現(xiàn)象，于是求 助于他的朋友、著名的意大利數(shù)學(xué)家Volterra. V&terra建立了一個(gè)簡單的數(shù)學(xué)模 型，回答了 Dncona的問題 出砌.Volterra食餌-捕食者模型食餌（食用魚）和捕食者（鯊魚）在時(shí)刻2的數(shù)量分別記作以士）,，（，），因?yàn)?大海中資源豐富，假設(shè)當(dāng)食餌獨(dú)立生存時(shí)以指數(shù)規(guī)律增長，（相對(duì)）增長率為 即義=/明而捕食者的存在使食餌的增長率減小

54、，設(shè)減小的程度與捕食者數(shù)量成 正比，于是北(工)滿足方程z ( f) = ay) = rx - axy( 1 )比例系數(shù)反映捕食者掠取食餌的能力.捕食者離開食餌無法生存，設(shè)它獨(dú)自存在時(shí)死亡率為d,即y =而食 餌的存在為捕食者提供了食物，相當(dāng)于使捕食者的死亡率降低，且促使其增長. 設(shè)這種作用與食餌數(shù)量成正比，于是7)滿足夕($) = y ( d + bx) = dy + bxy( 2 )比例系數(shù)b反映食餌對(duì)捕食者的供養(yǎng)能力.方程(1) , (2)是在自然環(huán)境中食餌和捕食者之間依存和制約的關(guān)系，這里 沒有考慮種群自身的阻滯增長作用，是Volterra提出的最簡單的模型.模型分析 方程(1) ,(

55、2)沒有解析解，我們分兩步對(duì)這個(gè)模型所描述的現(xiàn) 象進(jìn)行分析.首先，利用數(shù)學(xué)軟件求微分方程的數(shù)值解，通過對(duì)數(shù)值結(jié)果和圖形 的觀察，猜測它的解析解的構(gòu)造；然后，從理論上研究其平衡點(diǎn)及相軌線的形狀， 驗(yàn)證前面的猜測.數(shù)值解記食餌和捕食者的初始數(shù)量分別為工(0) =/廳(0) =y0(3)為求微分方程(1),(2)及初始條件(3)的數(shù)值解x(i) 4”)(并作圖)及相軌線 雙比)，設(shè),d=0. 5,0=0/，5 = 0.02,/ =25,% =2,用MATLAB軟件編制程 序如下function xdot = shier(t ,x)r =1 * d = 0.5 * a = 0.1j b =0.02；x

56、dot = (r -己 *x(2). * x(l ) ； ( - d + d*x(1). + x(2 )；t s - 0 ：0 .1 115 ；xO 二25 ,2；t, x - ode4 5 (shier,LstxO);L,x,plot ( t ,x) , grid, gt 巳乂匚 Cx(七),gtext ( Jy( t),pause,plot(x( ) ,x( ：,2) ) ,grid,可得工()，“)及相軌線G)如圖1、圖2(數(shù)值結(jié)果從略).可以猜測出“)， 貝。是周期函數(shù)，與此相應(yīng)地，相軌線，(工)是封閉曲尖從數(shù)值解近似地定出周 期為10,的最大、最小值分別為99.3和2. 04的最大,

57、最小值分別為28.4 和2.0,并且用數(shù)值積分容易算出在一個(gè)周期的平均值為誦= 25, y = 10,圖1數(shù)值解式力,八）的圖形圖2相軌線#）的圖形.平衡點(diǎn)及相軌線首先求得方程（1） , （2）的兩個(gè)平衡點(diǎn)為(4)喑書（0.。）計(jì)算它們的PE發(fā)現(xiàn)，對(duì)于P,q父0,不穩(wěn)定；對(duì)于產(chǎn),P =0應(yīng)0,處于臨界狀 態(tài)，不能用判斷線性方程平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的準(zhǔn)則研究非統(tǒng)性方程（1 ）, （2）的平衡 點(diǎn)P的情況.下面用分析相軌線的方法解決這個(gè)問題.從方程（1）,（2）消去山后得到dy y - d + bx)這是可分離變量方程，寫作 TOC o 1-5 h z 二竺的xy兩邊積分得到方程（5）的解，即方程（1）,

58、（2）的相軌線為=c（7）其中常數(shù)由初始條件確定.為了從理論上證明相軌線（7）是封閉曲線，記g（y） =y e（8）可以用軟件作出它們的圖形（圖3（a）, （h）,將它們的極值點(diǎn)記為而，幾，極大 值記為，以，則不難知道出,九滿足/（%）=A- xo =d/h以為）,% = r/a與（4）相比可知，%,為恰好是平衡點(diǎn)P.（。人外的圖形（b）爪的圖形圖3下面對(duì)于給定的e值考察相軌線（7）的形狀.當(dāng)。=。心時(shí)/二小，”加，相軌線在圖4中退化為平衡點(diǎn)P.為了考察。匕垢時(shí)相軌線的形狀，不妨設(shè)匕=履乂0 p ），若令 7:兀,則由（8）,（9）可得“Q = P,而從圖3（&）知道，必存在均，出，使） =/

59、（%） 且孫蜘*于是相軌線應(yīng)通過圖4中的（?（/,%）,。式均，九）兩點(diǎn)接著分析區(qū)間（與，出）內(nèi)的任一點(diǎn)#，因?yàn)?（工）P，由/（工）目（了）二戶即可知， 厚G）用.*記= q,從圖3 （ h）知道，存在打，打*使閆（力）=g（y3） r,且 714為力，于是這條軌線又通過圖4中的。3（4，）4（%）兩點(diǎn).而因?yàn)椋?是區(qū)間（西，的）內(nèi)的任意點(diǎn)，所以軌線在。工之間對(duì)于每個(gè)#總要通過縱坐標(biāo) 為力。/且力為M力）的兩點(diǎn)，這就證明了圖4中的相軌線是一條封閉曲線這樣，當(dāng)E由最大值人劣變小時(shí)，相軌線是一族從P點(diǎn)向外擴(kuò)展的封閉曲線 （圖5）. P點(diǎn)稱為中心.圖4相航線的圖形圖5 相軌線族為確定相軌線的方向，考察相平面上被胃=0，=幾兩條直線分成的4個(gè)區(qū) 域內(nèi)的正負(fù)號(hào)，由此就決定了相軌線是逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)的，如圖6.相軌線是封閉曲線等價(jià)于武工）4（。是周期函數(shù)（圖7）,記周期為T.在圖7中周期7分為4段：兀 7,它們恰好與圖6中4個(gè)區(qū)域內(nèi)的4段軌線相對(duì)應(yīng). 結(jié)合圖6、圖7可以看出,x（l）4（f）的周期變化存在著相位差，Me）領(lǐng)先于以工）, 如（E）領(lǐng)先7、達(dá)到最大值.圖6相軌線的方向3.上（力，y（f）在一個(gè)周期內(nèi)的平均值在數(shù)值解中我們看到，*（）（）一個(gè)周期的平均值為匚=25存= 10,這個(gè) 數(shù)值與平衡點(diǎn)%0= d/b =0. 5/0, 02