投資的風(fēng)險(xiǎn)和收益的建模

1、投資的風(fēng)險(xiǎn)和收益摘要： 本題是一個(gè)優(yōu)化問題，對(duì)市場(chǎng)上的多種風(fēng)險(xiǎn)投資和一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（存銀行）進(jìn)行組合投資策略的的設(shè)計(jì)需要考慮好多因素。投資問題中的投資收益和風(fēng)險(xiǎn)問題，我們總希望 利潤(rùn)獲要盡可能大而總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小，但是，他并不是意隨人愿，在一定意義上是對(duì)立的。模型一應(yīng)用多目標(biāo)決策方法建立模型，以投資效益沒目標(biāo)，對(duì)投資問題建立個(gè)一個(gè)優(yōu)化 模型，不同的投資方式具有不同的風(fēng)險(xiǎn)和效益，該模型根據(jù)優(yōu)化模型的原理，提出了兩個(gè)準(zhǔn) 則，并從眾多的投資方案中選出若干個(gè)，使在投資額一定的條件下，經(jīng)濟(jì)效益盡可能大，風(fēng) 險(xiǎn)盡可能小。在實(shí)際投資中，投資者承受風(fēng)險(xiǎn)的程度不一樣，若給定風(fēng)險(xiǎn)一個(gè)界B即，使最 大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)qx

2、/MWa,可找到相應(yīng)的投資方案.這樣把多目標(biāo)規(guī)劃變成一個(gè)目標(biāo)的線性規(guī) 劃模型二若投資者希望總盈利至少達(dá)到水平k以上，在風(fēng)險(xiǎn)最小的情況下尋找相應(yīng)的投資 組合.固定盈利水平，極小化風(fēng)險(xiǎn)模型三給出了組合投資方案設(shè)計(jì)的一個(gè)線性規(guī)劃模型，主要思想是通過線性加權(quán)綜合兩 個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)：假設(shè)在投資規(guī)模相當(dāng)大的基礎(chǔ)上，將交易費(fèi)函數(shù)近似線性化，通過決策變量化 解風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的非線性。【關(guān)鍵字】：多目標(biāo)規(guī)劃模型有效投資方案賦權(quán)一 問題的提出投資的效益和風(fēng)險(xiǎn)（1998年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題）市場(chǎng)上有n種資產(chǎn)（如股票、債券、）SJ 1=16供投資者選擇，某公司有數(shù) 額為M的一筆相當(dāng)大的資金可用作一個(gè)時(shí)期的投資。公司財(cái)務(wù)

3、分析人員對(duì)這n種資產(chǎn)進(jìn)行了評(píng)估，估算出在這一時(shí)期內(nèi)購(gòu)買Si的平均收益率為r并預(yù)測(cè)出購(gòu)買Sii的風(fēng)險(xiǎn)損失率為q。考慮到投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，公司確定，當(dāng)用這筆資金i購(gòu)買若干種資產(chǎn)時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)用所投資的Si中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量。購(gòu)買Si要付交易費(fèi)，費(fèi)率為P ,并且當(dāng)購(gòu)買額不超過給定值匕時(shí)，交易費(fèi)按購(gòu)買匕計(jì)算。另外，假定同期銀行存款利率是0,且既無交易費(fèi)又無風(fēng)險(xiǎn)。（r0=5%）已知n = 4時(shí)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：Sir(%)q（%）P (%)沅（元）Si28i 2.5i 1i 103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案，即用給定的資金

4、M,有選擇地購(gòu)買若干種資 產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。二 模型的假設(shè)和符號(hào)說明2.1模型的假設(shè)：（1）在短時(shí)期內(nèi)所給出的平均收益率,損失率和交易的費(fèi)率不變。（2）在短時(shí)期內(nèi)所購(gòu)買的各種資產(chǎn)（如股票，證券等）不進(jìn)行買賣交易。即在買入后就不 再賣出。（3）每種投資是否收益是相互獨(dú)立的。（4）在投資的過程中，無論盈利和否必須先付交易費(fèi)。2.2符號(hào)說明：參數(shù)范圍說明Sii=1,2 n欲購(gòu)買的第i種資產(chǎn)的種類M相當(dāng)大公司現(xiàn)有的投資總額xii=1,2 n公司購(gòu)買Si的金額rii=1,2 n公司購(gòu)買Si的平均收益率qii=1,2 n公司購(gòu)買Si的平均損失率Pii=1,2 n公司購(gòu)買

5、Si超過ui時(shí)所付的交易費(fèi)uii=1,2 nxi ui交易費(fèi)=1Piuixiw %而題目所給定的定值ui（單位:元）相對(duì)總投資M很小,piui更小， TOC o 1-5 h z 可以忽略不計(jì)，這樣購(gòu)買Si的凈收益為億-pi）x.3要使凈收益盡可能大,總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小,這是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃模型:目標(biāo)函數(shù)max, minmax qixi約束條件I = M1 1x,三 0i=0,1,., na.在實(shí)際投資中，投資者承受風(fēng)險(xiǎn)的程度不一樣，若給定風(fēng)險(xiǎn)一個(gè)界限。，使最大的一個(gè) 風(fēng)險(xiǎn)qxJ.MWa，可找到相應(yīng)的投資方案.這樣把多目標(biāo)規(guī)劃變成一個(gè)目標(biāo)的線性規(guī)劃.模型1 固定風(fēng)險(xiǎn)水平,優(yōu)化收益目標(biāo)函數(shù)：Q=max

6、約束條件：1qx WaM-工（1 + P ）x M ,xi 三 0i=0,1，niib.若投資者希望總盈利至少達(dá)到水平k以上，在風(fēng)險(xiǎn)最小的情況下尋找相應(yīng)的投資組合.模型2 固定盈利水平,極小化風(fēng)險(xiǎn)目標(biāo)函數(shù)：R = minmax qixi約束條件：三k，X (1+p )% = M，xi三 0i=0，1，niic.投資者在權(quán)衡資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益兩方面時(shí)，希望選擇一個(gè)令自己滿意的投資組合因此對(duì)風(fēng)險(xiǎn)、收益賦予權(quán)重s (01c=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185;Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065;beq=1;A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.0

7、15 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026;b=a;a;a;a;vlb=0,0,0,0,0;vub=;x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=xQ=-valplot(a,Q,.),axis(0 0.1 0 0.5),hold ona=a+0.001;endxlabel(a),ylabel(Q)計(jì)算結(jié)果：a =0.0030 x = 0.49490.12000.20000.05450.1154Q =0.1266a =0.0060 x = 00.24000.40000.10910.2212Q =0.2019a =0.0080 x =

8、0.00000.32000.53330.12710.0000Q =0.2112a =0.0100 x = 00.40000.584300Q =0.2190a =0.0200 x = 00.80000.188200Q =0.2518a =0.0400 x = 0.00000.99010.000000Q =0.2673結(jié)果分析.風(fēng)險(xiǎn)大，收益也大.當(dāng)投資越分散時(shí)，投資者承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)越小，這和題意一致即：冒險(xiǎn)的投資者會(huì)出現(xiàn)集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資.曲線上的任一點(diǎn)都表示該風(fēng)險(xiǎn)水平的最大可能收益和該收益要求的最小風(fēng)險(xiǎn).對(duì)于不同風(fēng) 險(xiǎn)的承受能力，選擇該風(fēng)險(xiǎn)水平下的最優(yōu)投資組合.在許0.006

9、附近有一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在這一點(diǎn)左邊，風(fēng)險(xiǎn)增加很少時(shí)，利潤(rùn)增長(zhǎng) 很快.在這一點(diǎn)右邊，風(fēng)險(xiǎn)增加很大時(shí)，利潤(rùn)增長(zhǎng)很緩慢，所以對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)和 收益沒有特殊偏好的投資者來說，應(yīng)該選擇曲線的拐點(diǎn)作為最優(yōu)投資組合， 大約是a*=0.6%，Q*=20%，所對(duì)應(yīng)投資方案為：風(fēng)險(xiǎn)度 收益0 x 1%2x 3x40.00600.201900.24000.40000.10910.22124.2模型2的求解令x5= max%,則有x5大于或等于%,中的任意一個(gè)，可得模型2為：min f=x5f x +1.01x +1.02x +1.045x +1.065x = 1 TOC o 1-5 h z 012340.05x + 0.27

10、x + 0.19x + 0.185x + 0.185x k012340.025xx 0.tj0.015x - x 00.055x3- x5 00.026x .x 0 x.三0 (i = 0, 1,，4)由于k是任意給定的收益，到底怎樣給定沒有一個(gè)準(zhǔn)則，不同的投資者有不同的收益我們從k=0開始，以步長(zhǎng)k=0.002進(jìn)行循環(huán)搜索，編制程序如下：k=0;while k0.5c=0 0 0 0 0 1;Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065 0;beq=1;A=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185 0;0 0.025 0 0 0 -1;0 0 0.015 0

11、0 -1;0 0 0 0.055 0 -1;0 0 0 0 0.026 -1; b=-k;0;0;0;0;vlb=0,0,0,0,0,0;vub=;x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub); k x=xR=valplot(k,R .) axis(0 0.25 0 0.015) hold onk=k+0.002;endxlabel(k),ylabel(R);計(jì)算結(jié)果：kRx0 x1x2x3x40.20000.00590.01070.23500.39170.10680.22600.20200.00600.00000.24080.40130.10940.21890.2

12、0400.00640.00000.25780.42970.11720.16800.02060.00690.00000.27480.45810.12490.11710.02080.00730.00000.29190.48640.13270.0662結(jié)果分析：有實(shí)驗(yàn)結(jié)果和圖可得以下結(jié)論：1 收益越大，風(fēng)險(xiǎn)也越大。2當(dāng)投資越分散時(shí)，投資者承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)越小3曲線上任意一點(diǎn)都表示該投資下的最小風(fēng)險(xiǎn)，選擇該投資下的最優(yōu)組合。4在k=0.206附近有一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在它的右邊，風(fēng)險(xiǎn)隨投資的變化明顯比左邊的快得多，所 以對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應(yīng)該選擇曲線的拐點(diǎn)作為最優(yōu)投資組合， 大約是R*=0.6

13、%，k*=20%，所對(duì)應(yīng)投資方案為：收益風(fēng)險(xiǎn)度x0 x1x2x3x40.20600.00690.00000.27480.45810.12490.11714.3模型3的求解令x5= max%xj則有x5大于或等于3,中的任意一個(gè)，可得模型為：Min f=0.05(s-1) 0.25(s-1) 0.15(s-1) 0.55(s-1) 0.26(s-1) s(x0 x1 x2 x3 x4 x5)f x +1.01x +1.02x +1.045x +1.065x = 1012340.025x x 0t 0.015x2-x5 00.055xx 0350.026x .一 x 0各個(gè)投資者的投資偏好不一，所

14、以s沒有一個(gè)定值，就從s=0開始，以步長(zhǎng)k=0.001進(jìn)行 循環(huán)搜索，編制程序如下：i=1;for s=0.1:0.1:1;f=-0.05*(1-s) -0.27*(1-s) -0.19*(1-s) -0.185*(1-s) -0.185*(1-s) s; A=0 0.025 0 0 0 -1;0 00.015 0 0 -1; 0 0 0 0.055 0 -1;0 0 0 00.026-1;b=0 0 0 0;aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065 0;beq=1;lb=zeros(6,1);x,fval,exitflag,options,output=linprog(f,A,

15、b,aeq,beq,lb);xy(i)=-fval;i=i+1;endk=0.1:0.1:1;figure(1);plot(k,y,g-);xlabel(s 權(quán)因子)；ylabel(y收益)；title(凈收益和風(fēng)險(xiǎn)關(guān)于權(quán)因子的函數(shù),)計(jì)算結(jié)果：使用線性加權(quán)法分別求解當(dāng)s=0.11.0時(shí)的最優(yōu)決策及風(fēng)險(xiǎn)和收益如下表：Sis=0.1.0.7s=0.8s=0.9s=1.0S10.99010.36900.23760.0000S20.00000.61500.39600.0000S30.00000.00000.10800.0000S40.00000.00000.22840.0000存銀行0.00000.00000.00001.0000凈收益0.26730.21650.20140.0500風(fēng)險(xiǎn)0.02480.00920.00590.0000結(jié)果分析1凈收益和風(fēng)險(xiǎn)是s（權(quán)因子）的單調(diào)下降函數(shù)，即謹(jǐn)慎程度越強(qiáng)，風(fēng)險(xiǎn)越小，但是收益也越 小，具有明確的實(shí)際意義。五模型評(píng)價(jià)模型優(yōu)點(diǎn)（1）本文通過將風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式約束，建立了線性規(guī)劃模型，直接采用程序進(jìn)行計(jì) 算，得出優(yōu)化決策方案，并且給出了有效投資曲線，根據(jù)投資者的主觀偏好，選擇投資方向。（2）模型一采用線性規(guī)劃模型，將多目標(biāo)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃，選取了風(fēng)險(xiǎn)上限值來決 定收益，根據(jù)收益風(fēng)險(xiǎn)圖，投資者可根據(jù)自己的喜好來選擇投資方向。（3）