第六章基于小波變換的故障診斷方法 (2)ppt課件

1、第六章 基于小波變換的缺點診斷方法 小波變換的根本原理 奇特性的檢測 基于小波變換的原油管道走漏檢測.一、小波變換的根本原理小波變換是由法國實際物理學家Grossmann與法國數(shù)學家Morlet共同提出的。小波分析是近20多年來開展起來的新興學科，其根底是平移和伸縮下的不變性，這使得能將一個信號分解成對空間和尺度的獨立奉獻，同時又不喪失原有信號的信息。 小波的由來.小波變換是一種可以在時間頻率兩域?qū)π盘栠M展分析的方法，具有可以對信號在不同范圍、不同的時間區(qū)域內(nèi)進展分析，對噪聲不敏感，可以分析到信號的恣意細節(jié)等優(yōu)點，在信號處置領域獲得越來越廣泛的運用，被譽為“數(shù)學顯微鏡。 . 小波分析和Four

2、ier分析傅立葉變換是一個非常重要的工具，無論是在普通的科學研討中，還是在工程技術(shù)的運用中，它都發(fā)揚著根本工具的作用。 從歷史開展的角度來看，自從法國科學家J.Fourier在1807年為了得到熱傳導方程簡便解法而初次提出著名的傅立葉分析技術(shù)以來，傅立葉變換首先在電氣工程領域得到勝利運用，之后，傅立葉變換迅速得到越來越廣泛的運用，而且實際上也得到了深化研討。.傅立葉變換最重要的意義是它引進了頻率的概念，他把一個函數(shù)展開成各種頻率的諧波的線性疊加，由此引出了一系列頻譜分析的實際。很多在時域中看不清的問題，在頻域中卻能一目了然 。因此，長期以來，F(xiàn)ourier分析實際不論在數(shù)學中還是工程科學中不斷

3、占領著極其重要的位置。.傅立葉分析的本質(zhì)在于將一個恣意的函數(shù)f(t)表示為具有不同頻率的諧波函數(shù)的線性疊加。即一族規(guī)范函數(shù) 的加權(quán)求和，從而將對原來函數(shù)的研討轉(zhuǎn)化為對這個疊加的權(quán)系數(shù)的研討： 其中，權(quán)函數(shù)：就是原來函數(shù)f(t)的傅里葉變換。.經(jīng)過以上的變換，就將對的研討，轉(zhuǎn)化為對權(quán)系數(shù)，即其傅氏變換的研討。從以上分析可知，經(jīng)典的傅氏分析是一種純頻域分析。上式中，各符號的含義： 表示頻域函數(shù)； 表示對原函數(shù)f(t)的傅里葉變換； 表示對頻域函數(shù) 的傅里葉反變換。.傅里葉變換是時域到頻域相互轉(zhuǎn)化的工具，從物理意義上講，傅里葉變換的本質(zhì)是把f(t)這個波形分解成許多不同頻率的正弦波的疊加和。從傅里葉

4、變換中可以看出，這些規(guī)范基是由正弦涉及其高次諧波組成的，因此它在頻域內(nèi)是部分化的。.例：假設一信號的主要頻率成分是100Hz和400Hz，如以下圖所示，經(jīng)過傅里葉變換對其頻率成分進展頻域分析。上圖為原始信號，從圖中看不出100Hz和400Hz的任何頻域信息。但從以下圖的信號頻譜分析中，可以明顯看出信號的頻率特性。.從上例中可知，雖然傅里葉變換可以將信號的時域特征和頻域特征聯(lián)絡起來，能分別從信號的時域和頻域進展察看，但卻不能把兩者有機地結(jié)合起來。信號的時域波形中不包含任何頻域信息；而其傅里葉譜是信號的統(tǒng)計特性，從其表達式中也可以看出，它是整個時間域內(nèi)的積分，沒有部分化分析信號的功能，完全不具備時

5、域信息。也就是說，對于傅里葉譜中的某一頻率，不知道這個頻率是在什么時侯產(chǎn)生的。這樣，在信號分析中就面臨一對最根本的矛盾：時域和頻域的部分化矛盾。.在實踐的信號處置過程中，尤其是對非平穩(wěn)信號的處置中，信號在任一時辰附近的頻域特征都很重要。如在缺點診斷中，缺點點機械缺點、控制系統(tǒng)缺點、電力系統(tǒng)缺點等普通都對應于測試信號的突變點。對于這些時變信號進展分析，通常需求提取某一時間段或瞬間的頻率信息或某一頻率段所對應的時間信息。因此，需求尋求一種具有一定的時間和頻率分辨率的基函數(shù)來分析時變信號。.為了研討信號的部分特征，科學家們提出了一些對傅里葉變換進展改良的算法，其中短時傅里葉變換Short Time

6、Fourier TransformSTFT就是比較有代表性的一種。短時傅里葉變換是一種折衷的信號時、頻信息分析方法，它是Dennis Gabor于1946年提出的。.短時傅里葉變換的根本思想是：經(jīng)過給信號加一個小窗，將信號劃分為許多小的時間間隔，用傅里葉變換來對每一個時間間隔內(nèi)的信號進展分析，以便確定該時間間隔內(nèi)的頻率信息。它假定非平穩(wěn)信號在分析窗函數(shù)g(t)的這個短時間間隔內(nèi)是平穩(wěn)的偽平穩(wěn)，并挪動分析窗函數(shù)，使f(t)g(t- )在不同的有限時間寬度內(nèi)是平穩(wěn)信號，從而計算出各個不同時辰的功率譜。.短時傅里葉變換定義如下：其中，f(t)是待分析的信號； 函數(shù) 是 的復共軛函數(shù)； g(t)是固定

7、的緊支集函數(shù)，稱為窗口函數(shù)。隨著時間的變化，g(t)所確定的“時間窗在t軸上挪動，使f(t)“逐漸進展分析。.短時傅里葉變換 大致反映了f(t)在時辰時，頻率為的“信號成分的相對含量。這樣，信號在窗函數(shù)上的展開就可以表示為在這一區(qū)域內(nèi)的形狀，并把這一區(qū)域稱為窗口， 和分別稱為窗口的時寬和頻寬，表示了時頻分析中的分辨率，窗寬越小那么分辨率越高。.為了得到更好的時頻分析效果，希望和都非常小，但是由海森堡測不準定理Heisenberg Uncertainty Principle可知， 和是相互制約的，兩者不能夠同時都恣意小?，F(xiàn)實上， 0.5，且僅當g(t)為高斯函數(shù)時，等號成立。.由此可見，短時傅里

8、葉變換雖然在一定程度上抑制了規(guī)范傅里葉變換不具有局部分析才干的缺陷，但它也存在著本身不可抑制的缺陷，即當窗函數(shù)g(t)確定后，矩形窗口的外形就確定了， 和只能改動窗口在相平面上的位置，而不能改動窗口的外形?？梢哉f，短時傅里葉變換是具有單一分辨率的分析，這對分析信號來說是很不利的。由于，普通來說高頻信號繼續(xù)的時間比較短，低頻信號繼續(xù)的時間比較長。為了更好地分析信號，信號的高頻成分需求窄的時間窗，而信號的低頻成分需求寬的時間窗。而單一分辨率無法滿足這種要求。.正是由于傅立葉分析實際存在上述缺陷，人們不斷在尋覓更好的基來展開和描畫恣意函數(shù)，經(jīng)過多年的探求和總結(jié)，逐漸開展成為小波分析實際。小波變換承繼

9、和開展了短時傅里葉變換的部分化思想，并且抑制了其窗口大小和外形固定不變的缺陷。它不但可以同時從時域和頻域觀測信號的部分特征，而且時間分辨率和頻率分辨率都是可以變化的，是一種比較理想的信號處置方法。. 1984年，法國地球物理學家Morlet在分析地震波的部分性質(zhì)時，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的Fourier變換難以到達要求，因此引入小波概念用于對信號進展分解。 小波變換實際開展過程中的重要階段 1985年，Meyer構(gòu)造了具有一定衰減性質(zhì)的光滑函數(shù)，它的二進制伸縮與平移構(gòu)成了L2(R)的規(guī)范正交基，這一開展標志著小波熱的開場。 1986年，Lemarie和Battle分別提出了具有指數(shù)衰減的小波函數(shù)。 1987

10、年，法國馬賽召開第一次有關(guān)小波的國際會議。. 1990年，崔錦泰和王建忠構(gòu)造了基于樣條函數(shù)的單正交小波函數(shù)。 1988年，Mallat與Meyer協(xié)作提出了多分辨分析的框架。 1988年，Daubechies構(gòu)造了具有有限支集的正交小波基。在美國PureAppl.Math.發(fā)表一篇長達87頁的論文，被公認是小波分析的經(jīng)典文獻。 1989年，Mallat在多分辨率分析根底上，構(gòu)造了Mallat算法。為此，Mallat于1989年榮獲IEEE論文獎。. 1990年，Meyer等出版第一部小波系統(tǒng)性專著，共三卷。尤眾、王耀東、鄧東皋等譯校成中文本共兩冊。這套書詳細研討了各種小波基的構(gòu)造，小波基與函數(shù)

11、空間的關(guān)系，小波分析在復分析、算子論、偏微分方程與分線性分析等方面的運用。 1991年，鄧東皋等在上發(fā)表“小波分析國內(nèi)第一篇小波論文。對國內(nèi)小波的研討和運用起了很大的推進作用。 1992年，Daubechies的系統(tǒng)論述了正交小波的緊支性、正那么性、對稱性及時頻特性，引見了離散小波變換和延續(xù)小波變換等。到此，經(jīng)典小波實際已根本成熟，1992年以后，在國際上，重點轉(zhuǎn)向小波的推行和運用。.在國內(nèi)，由于對小波的研討起步較晚，20世紀90年代以來，可以說小波的實際研討和運用研討幾乎同時開場。1994年，構(gòu)成國內(nèi)的小波高潮。近十年來，小波實際不斷在各個不同研討領域扮演著重要的角色。主要集中在數(shù)學物理如分

12、形、混沌、求解方程等、圖像與數(shù)據(jù)緊縮、信號處置、神經(jīng)網(wǎng)絡、缺點診斷與檢測、石油地質(zhì)勘探等方面。.定義1：稱滿足 的函數(shù)f(x)為平方可積函數(shù)，并把這類函數(shù)的集合記為L2(R)。其中，R表示實數(shù)集合。 假設f(x)，g(x) L2(R)，為常數(shù)，那么f(x)g(x) L2(R)。因此，L2(R)構(gòu)成了一個線性空間。我們稱其為平方可積函數(shù)空間。 預備知識.定義2：在L2(R)空間中的內(nèi)積定義為：其中， 表示g(x)的共扼。定義3：在L2(R)空間，函數(shù)f(x)的范數(shù)f(x)定義為：.定義4：在L2(R)空間，假設：內(nèi)積0，那么稱函數(shù)f與函數(shù)g正交。定義5：在L2(R)空間，兩個函數(shù)f(x)與g(x

13、)的卷積定義為：定義6：函數(shù)f(x)的傅里葉變換 定義為：.定義7：對恣意函數(shù)f(x)，其擴張函數(shù)fs(x)定義為：其中，s為尺度因子scale factor，或簡稱為尺度。.定義8：把希爾伯特空間Hilbert space中的可測的、平方可積的兩維函數(shù)構(gòu)成的子空間記作：L2(R2)。函數(shù)f(x，y) L2(R2)的經(jīng)典范數(shù)f(x，y)定義為：定義9：f(x，y) L2(R2)的傅里葉變換f(x，y)定義為：定義10：.定義11：設f(t)為在R上定義的函數(shù)，我們稱集合為函數(shù)f(t)的支集即f(t) 0的點所構(gòu)成的集合的閉包。具有緊支集的函數(shù)就是在有限區(qū)間外恒等于零的函數(shù)。. 小波與小波變換我

14、們稱滿足條件定義12：的平方可積函數(shù)(x)即(x) L2(R)為根本小波，或小波母函數(shù)。.函數(shù)f(x) L2(R)的延續(xù)小波變換定義為：定義13：其中，*表示卷積。因此，Wf(s，x)關(guān)于x的傅里葉變換可以表示為：.由定義13可知，小波變換Wfs，x是尺度s與空間位置x的函數(shù)。小波變換經(jīng)過(x)在尺度上的伸縮和空間域時域上的平移來分析信號。尺度s增大時，s在空間域時域上伸展，小波變換的空間域分辨率降低； s()在頻域上收縮，其中心頻率降低，變換的頻域分辨率升高。反之，尺度s減小時， s在空間域時域上收縮，小波變換的空間域分辨率升高； s()在頻域上伸展，其中心頻率升高，變換的頻域分辨率降低。延

15、續(xù)小波變換的定義.也即：當檢測低頻信號時即對于大的s0，時間窗會自動變寬，以便在低頻域用低頻對信號進展輪廓分析。反之，當檢測高頻信息時，即對于小的s0，時間窗會自動變窄，以便在頻率域用較高的頻率對信號進展細節(jié)分析。因此，小波分析具有“數(shù)學顯微鏡的佳譽。圖 小波變換的時頻窗口.例：圖 結(jié)合時頻分析 小波變換可以對信號做結(jié)合時-頻域分析得到其特征。最下面的圖是信號在時域的波形，右上圖為該信號的頻譜，左上的大圖為結(jié)合時頻分析一種算法的結(jié)果，前后兩個400Hz的頻率成分經(jīng)過結(jié)合時頻分析可以清楚地看到，而傳統(tǒng)傅立葉變換那么只能分辨出含有400Hz的信號，不能從時域上分辨出包括兩個400Hz頻率信號。 .

16、通常運用的小波母函數(shù)有：Daubechies小波、Harr小波以及Morlet小波。Morlet小波函數(shù)由下式描畫：.小波變換具有多分辨即多尺度特點，可以由粗及精的察看信號。可以將小波變換看成根本頻率特性為 的帶通濾波器在不同尺度a下對信號作濾波。小波變換帶通濾波器的帶寬 與中心頻率f成正比即 ，亦即濾波器有一個恒定的相對帶寬，即質(zhì)量因數(shù)恒定稱之為等Q構(gòu)造，Q為濾波器的質(zhì)量因數(shù)。適當?shù)倪x擇根本小波，使 在時域上為有限支撐， 在頻域上也比較集中，便可以使小波變換在時、頻兩域都具有表征信號部分特征的才干，因此非常適宜于檢測信號的瞬態(tài)或奇特點。 .二、奇特性的檢測通常用李普西茲指數(shù)(Lipschit

17、z)來描畫函數(shù)的部分奇特性。 設n是一非負整數(shù)， ，我們說f(x)在點x0為李普西茲，假設存在兩個常數(shù)A和h00，及n次多項式Pn(h)，使得對恣意的 ，均有： 假設上式對一切 均成立，且 ， 稱f(x)在a，b上是一致李普西茲。 信號的奇特性表征與小波變換的模極大值 .李普西茲指數(shù)越大，函數(shù)越光滑。 函數(shù)在一點延續(xù)、可微，那么在該點的李普西茲指數(shù)為1； 在一點可導，而導數(shù)有界但不延續(xù)時，李普西茲指數(shù)仍為1。 假設f(x)在x0李普西茲指數(shù)小于1，那么稱函數(shù)f(x)在x0點是奇特的。 階躍信號的李普西茲指數(shù)為0，脈沖函數(shù)的李普西茲指數(shù)為-1。 .設實函數(shù) 滿足 且 ，假設我們選擇小波函數(shù)為它的

18、一階導數(shù)，即 ，同時記 ，這時，小波變換： 即小波變換 可表示為信號f(x)在尺度s被 平滑后的一階導數(shù)。.圖 信號突變點與其小波變換模極大值的關(guān)系 例：x0，x2是信號f(x)的突變點；x1是f(x)慢變區(qū)間的轉(zhuǎn)機點。x0，x2是 的快變化點；x1對應 的慢變化點。這兩種拐點可以經(jīng)過察看 的極值點是極大點還是極小點分辨出來。x0，x2對應 的極大點；x1對應 的極小點。.函數(shù)的奇特點可以從其小波變換的模極大值檢測出來。小波變換的模極大值都是出如今信號有突變的地方。信號突變越大，其小波變換的模極大值就越大。對于邊沿檢測或奇特點檢測來說，我們只是對的極大點感興趣。現(xiàn)實上， 的部分極大值通常描寫了

19、信號非正規(guī)性的Lipschitz指數(shù)。結(jié)論：. 奇特點檢測的小波的選擇 下面以階躍式邊沿和 函數(shù)式尖峰這兩類突變?yōu)槔?，引見小波變換的過零點和極值點來檢測信號的部分突變的特性。 圖 用 ， 作小波對階躍輸入和脈沖輸入的處置結(jié)果.由以上分析可得，突變點的位置有時是由小波變換的過零點反映的，有時是由小波變換的極值點反映的。 普通地說，根據(jù)過零點作檢測不如根據(jù)極值點。由于過零點易受噪聲干擾，而且有時過零點反映的不是突變點，而是信號在慢變區(qū)間的轉(zhuǎn)機點。 檢測邊沿宜采用如 的反對稱小波；檢測尖峰脈沖宜采用如 的對稱小波。結(jié)論：.要使奇特檢測有效，必需滿足適當條件： ， 應是某一平滑函數(shù)的一、二階導數(shù)； 尺

20、度a必需適當，以便使y(t)的突變點根本上能反映待分析信號x(t)的突變點；且只需在適當尺度下各突變點引起的小波變換才干防止交疊干擾。 .三、基于小波變換的原油管道走漏檢測1、走漏檢測原理 當流體保送管道由于機械、人為破壞、資料失效等緣由發(fā)生走漏時，由于管道內(nèi)流體壓力很高而管道外普通為大氣壓力，管內(nèi)保送的流體在內(nèi)外壓差的作用下迅速流失，走漏部位產(chǎn)生物質(zhì)損失，這會引起發(fā)生走漏場所的流體的密度減小，進而引起管道內(nèi)此處流體的壓力降低。 瞬態(tài)負壓波法走漏檢測原理及定位公式 .由于流體的延續(xù)性，管道中的流體速度不會立刻發(fā)生改動，流體在走漏點和與其相鄰的兩邊的區(qū)域之間的壓力產(chǎn)生差別，這種差別導致走漏點上下

21、游區(qū)域內(nèi)的高壓流體流向走漏點處的低壓區(qū)域，從而又引起與走漏點相鄰區(qū)域流體的密度減小和壓力降低。 這種景象從走漏點處沿管道依次向上、下游方向分散，在水力學上稱為負壓波(又稱為減壓波)。 .走漏在管道中的總體反映就是從走漏點處產(chǎn)生了同時向上、下游端傳播的瞬態(tài)負壓波，它的傳播過程類似于聲波在介質(zhì)中的傳播，它的傳播速度是聲波在管道保送流體中的傳播速度，原油管道中負壓力波的傳播速度約在10001200米/秒之間。 .在管道兩端安裝壓力傳感器可以捕捉到包含走漏信息的瞬態(tài)負壓波，就可以檢測走漏的發(fā)生，并根據(jù)走漏產(chǎn)生的瞬態(tài)負壓波傳播到管道兩端的時間差進展漏點定位。沿管道傳播的瞬態(tài)負壓波中包含有走漏的信息，由于

22、管道的波導作用，它可以傳播數(shù)十公里以上的遠端。該方法即為瞬態(tài)負壓波法，它具有快速的反響速度和很高的定位精度，可以及時檢測出走漏，防止走漏事故擴展，減少流體損失博得珍貴的時間，是一種遭到廣泛注重的走漏檢測方法。.瞬態(tài)負壓波走漏定位表示圖.其中： x 走漏點距上游站測壓點的間隔，單位：m； L 上下游站間距，單位：m； a 負壓波的傳播速度，單位：m/s； t 上游站壓力突變時間與下游站壓力突變時間 差，單位：s。 走漏點的計算公式為：.2、瞬態(tài)負壓波走漏定位準確的關(guān)鍵 由走漏點的定位公式：可以看出，負壓波傳播到上、下游傳感器的時間差的準確確定，和管內(nèi)負壓波速度確實定是瞬態(tài)負壓波定位方法的兩項關(guān)鍵

23、所在。 .在分析走漏引發(fā)的負壓波信號序列，確定負壓波信號傳到管道首、末端的時辰時，一個顯然的要求是首、末端壓力信號序列起始時辰應該一致，這就要求一致?lián)问住⒛┒藬?shù)據(jù)采集系統(tǒng)的工控機的系統(tǒng)時間，可以采用全球定位系統(tǒng)(GPS)來定時一致各站工控機的系統(tǒng)時鐘。 這個方案即滿足了走漏監(jiān)測系統(tǒng)對一致時標的要求，實施也很方便，造價低廉，有很廣泛的運用場所。 .GPS是英文Global Positioning System的縮寫，意即全球定位系統(tǒng)。全球定位系統(tǒng)利用導航衛(wèi)星進展測時和測距，使在地球上任何地方的用戶，都能計算出他們所處的方位。GPS系統(tǒng)包括以下三大部分：(1)GPS衛(wèi)星(空間部分)；(2)地面支

24、撐系統(tǒng)(地面監(jiān)控部分)；(3)GPS接納機(用戶部分)。.在走漏監(jiān)測系統(tǒng)中運用到的是GPS的準確授時功能。 GPS開場時只用于軍事目的，后來由于GPS接納機技術(shù)的開展，超大規(guī)模芯片的運用，使接納機本錢不斷下降，如今也已廣泛運用于航海、航空、科學研討、交通運輸、石油勘探、地形丈量以及商業(yè)、旅游業(yè)等一切行業(yè)，甚至要浸透到個人生活的各個方面。它可以準確測定用戶的三維位置、三維速度，并給出準確的時間基準。由于GPS具有定位精度高、運用范圍廣、可全天候運用、用戶設備簡單等優(yōu)點，GPS問世以來，已充分顯示了其在導航、定位、授時領域的霸主位置。.管內(nèi)壓力波的傳播速度決議于液體的彈性、液體的密度和管材的彈性，

25、液體的體積彈性系數(shù)隨種類、溫度、壓力的不同而不同。式中：a 管內(nèi)壓力波的傳播速度，m/s；K 液體的體積彈性系數(shù)，Pa； 液體的密度，kg/m3；E 管材的彈性，Pa； D 管道直徑，m；e 管壁厚度，m；C1 與管道約束條件有關(guān)的修正系數(shù)。負壓波傳播速度公式如下：.在實踐的走漏監(jiān)測系統(tǒng)中，總是采集壓力傳感器送來的數(shù)據(jù)，再分析采集到的數(shù)據(jù)序列，從中尋覓走漏信息。準確確定走漏引發(fā)的負壓波傳播到上、下游傳感器的時間差，就必需先確定瞬態(tài)負壓波傳到管道首、末端的時辰，即需求準確地捕捉到走漏負壓波傳到首、末端信號序列的對應特征點。 .而由于不可防止的工業(yè)現(xiàn)場的電磁干擾、輸油泵的振動等要素的存在，采集到的

26、壓力波形序列附加著大量的噪聲如以下圖所示 。圖 原始壓力信號上圖為在中石化管道儲運公司滄州輸油公司滄州臨邑線長60公里的滄州東光輸油管線的30公里處做的一次走漏放油實驗時在管道一端采集到的壓力信號序列，噪聲信號很強，由此信號根本無法確定負壓波的邊沿，因此也就不能對走漏點定位。.如何在強噪聲干擾中提取信號的特征拐點是走漏檢測與定位中必需處理的問題，下面提出采用離散小波變換確定負壓波信號的特征拐點，濾波器組計算小波變換的方法。 此方法在管道實踐運轉(zhuǎn)中做到實時監(jiān)測，獲得了良好的效果。. 離散小波變換及濾波器組 1、多分辨分析 1988年S.Mallat在構(gòu)造正交小波基時，將計算機視覺領域內(nèi)的多分辨率

27、思想率先引入小波變換，提出了多分辨分析Multi-Resolution Analysis的概念，在空間的概念上籠統(tǒng)地闡明了小波變換的多分辨特性，并運用多分辨分析將此之前Meyer等提出的各種詳細小波基的構(gòu)造法一致同來。在Burt and Adelson圖像分解和重構(gòu)的塔式算法的啟發(fā)下，基于多分辨率框架，提出了塔式多分辨率分解和重構(gòu)算法，給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波變換的快速算法Mallat快速小波分解和重構(gòu)算法。.對于多分辨分析的了解，可以用一個三層的分解進展闡明，其小波分解樹如以下圖所示。圖 三層多分辨分析小波分解樹構(gòu)造圖多分辨分析只是對低頻部分進展進一步分解，而高頻部分那么不予思索

28、。分解關(guān)系式為：S=A3+D3D2D1。在圖中，只是以一個層分解進展闡明，假設要進展進一步的分解，那么可以把低頻部分A3分解成低頻部分A4和高頻部分D4，以下再分解依此類推。.多分辨分析分解的最終目的是力求構(gòu)造一個在頻率上高度逼近 空間的正交小波基，這些頻率分辨率不同的正交小波基相當于帶寬各異的帶通濾波器。從上圖的多分辨分析樹型構(gòu)造可以看出，多分辨率分析只對低頻空間進展進一步的分解，使頻率的分辨率變得越來越高。.下面分析多分辨分析是如何構(gòu)造正交小波基的。空間L2R中的多分辨分析是指 中滿足如下條件的一個空間序列 ： 單調(diào)性： ，對恣意jZ； 逼近性： ； 伸縮性： ，伸縮性表達了尺度的變化、逼

29、近正交小波函數(shù)的變化和空間的變化具有一致性； 平移不變性：對恣意kZ，有. Riesz基存在性：可以稱(t)為尺度函數(shù)Scaling Function，并可以定義如下函數(shù)：該函數(shù)系 是規(guī)范正交的。.設以Vj表示小波分解樹構(gòu)造圖中的低頻部分Aj，Wj表示分解中的高頻部分Dj，那么多分辨分析的子空間V0是一個有限個子空間的逼近，即：上式中的空間列 具有如下性質(zhì)： 設法找出一個確定的函數(shù) ，使得對每個，函數(shù)系 構(gòu)成空間Wj的規(guī)范正交基，其中，1.假設令 代表分辨率為2-j的函數(shù) 的逼近即函數(shù)f的低頻部分或“粗糙像，而代表逼近的誤差即函數(shù)f的高頻部分或“細節(jié)部分，那么下式意味著：留意到f=f0，所以上

30、式可簡寫為：23.上式3闡明，任何函數(shù) 都可以根據(jù)分辨率為2-N時f(t)的低頻部分“粗糙像和分辨率2-j1jN下f(t)的高頻部分“細節(jié)部分完全重構(gòu)，這也從另一側(cè)面表示Mallat塔式重構(gòu)算法。3.從包容關(guān)系 ，可很容易得到尺度函數(shù)(t)的一個極為有用的性質(zhì)。留意到 ，所以 可以用V-1子空間的基函數(shù) 展開，令展開系數(shù)為hk，那么這就是尺度函數(shù)的雙尺度方程。4.另一方面，由于 ，故這就意味著小波基函數(shù) 可以用V-1子空間的正交基 展開，令展開系數(shù)為gk，即有這就是小波函數(shù)的雙尺度方程。5.由雙尺度方程式4和式5可知，尺度函數(shù)與小波基函數(shù)的構(gòu)造歸結(jié)為系數(shù) 的設計。小波基函數(shù) 可由尺度函數(shù) 的平

31、移和伸縮的線性組合獲得。假設令那么把尺度函數(shù)和小波基函數(shù)的設計可以歸結(jié)為濾波器H()，G()的設計。45尺度函數(shù)的雙尺度方程:小波函數(shù)的雙尺度方程:.構(gòu)造正交小波時，濾波器H()，G()必需滿足以下三個條件：678結(jié)合求解式6、7、8可得9所以，要設計正交小波，只需求設計濾波器H()。.綜上分析，為了使 構(gòu)成Vj子空間的正交基， 應該具有以下根本性質(zhì)： 尺度函數(shù)的允許條件， 。 能量歸一化條件： 。 尺度函數(shù) 具有正交性，即 跨尺度的尺度函數(shù) 和 相關(guān)。 尺度函數(shù) 與基小波函數(shù) 正交，即 基小波函數(shù) 和 相關(guān)。.將尺度函數(shù)的允許條件與小波的允許條件作比較可知，尺度函數(shù)的傅里葉變換 具有低通濾波

32、特性相當于一個低通濾波器，而小波基函數(shù)的傅里葉變換 那么具有高通濾波特性相當于一個帶通濾波器。多分辨分析可以對信號進展有效的時頻分解，它不同于短時傅里葉變換對信號頻帶的等間隔劃分，它的尺度是按二進制劃分的，所以在高頻頻段其頻率分辨率較差，而在低頻頻段其時間分辨率較差，即對信號的頻帶進展指數(shù)等間隔劃分具有等Q構(gòu)造。.2、一維Mallat算法 S.Mallat在Burt and Adelson圖像分解和重構(gòu)的塔式算法的啟發(fā)下，基于多分辨率框架，提出了一種具有完美數(shù)學描畫的塔式多分辨率離散小波分解與重構(gòu)算法，即Mallat算法。Mallat算法的本質(zhì)是：不需求知道小波函數(shù)和尺度函數(shù)的詳細構(gòu)造，僅根據(jù)

33、系數(shù)就可實現(xiàn)信號的分解和重構(gòu)。而且這種算法可以使每次小波分解后信號長度減半，大大減少了小波變換的復雜度，因此它是一種快速算法。Mallat快速算法在小波變換中的位置，與快速傅里葉變換在傅里葉變換中的位置相當。.設(t)為尺度函數(shù)，(t)為根本小波，設信號f(t) L2(R)，將信號進展分解，用A表示低頻，D表示高頻，下標數(shù)字表示小波分解的尺度層數(shù)，已得到f(t)在2-j分辨率下的粗糙像Ajf Vj，Vjj Z構(gòu)成L2R的多分辨分析，從而有： 式中，10.式10可寫成如下方式：由尺度函數(shù)的雙尺度方程可得：利用尺度函數(shù)的正交性，有：1213同理，由小波函數(shù)的雙尺度方程可得：1411.由式1114，

34、可得：151617.引入無窮矩陣 ，其中 ，那么式15、16、17，可分別表示為更簡約的方式：其中 和 分別是H和G對應的對偶算子，或分別了解為H和G的共扼轉(zhuǎn)置矩陣，滿足正交性條件， 。H和G分別稱為低通濾波器和帶通濾波器。 1819Mallat一維分解算法Mallat一維重構(gòu)算法.式18即為Mallat一維分解算法；式19即為Mallat一維重構(gòu)算法，它們都是遞推的快速算法，可由以下圖來表示： b重構(gòu)算法圖 Mallat小波分解和重構(gòu)算法表示圖 2：表示每個樣本點中入 1個零值a分解算法 2：表示2個樣本點中取1個.將實時采集獲得的管道壓力信號經(jīng)過兩通道濾波器分為低頻概貌和高頻細節(jié)輸出，定位

35、負壓波的位置實踐就是確定高頻細節(jié)當中最小值的位置。 在實踐運用當中，基于虛擬儀器LabVIEW開發(fā)了原油管道走漏實時監(jiān)測系統(tǒng)，其中包括走漏定位模塊，其檢測定位原理即基于離散小波變換和Mallat算法。如以下圖所示。.圖 走漏點定位模塊 走漏點定位部分準確地定位出走漏點的位置，同時將走漏報警時間、走漏點位置等參數(shù)寫入走漏信息數(shù)據(jù)庫以供日后總結(jié)分析。定位部分包括自動定位和手動定位兩部分，手動定位需求操作人員根據(jù)閱歷，經(jīng)過挪動光標捕捉兩端波形對應拐點。.補充：MATLAB中的小波工具包簡介 MATLAB中常用小波函數(shù)引見1、Haar小波Haar小波是小波分析開展過程中用的最早的小波，也是最簡單的小波

36、。Haar小波本身是一個階躍函數(shù)如以下圖所示。Haar小波Haar小波的支集長度為1，濾波器長度為2。.2、Daubechies小波Daubechies小波是由著名小波學者Ingrid Daubechies所發(fā)明的。Daubechies系列的小波簡寫為dbN，其中N表示階數(shù)，db是小波名字的前綴，除db1等同于Haar小波外，其他的db系列小波函數(shù)都沒有解析的表達式。db系列小波函數(shù)db4db8.3、SymletsASymN小波族sym小波的構(gòu)造類似于db小波族，兩者的差別在于sym小波有更好的對稱性。sym系列小波函數(shù)sym4sym8同前面db小波族相比，sym小波族有更好的對稱性。其它的性

37、質(zhì)如延續(xù)性、支集長度、濾波器長度都同db小波族一致。.4、BiorthogonalBiorNr.Nd小波族這是一族雙正交小波也叫半正交小波，與正交小波的區(qū)別在于：正交小波的伸縮和平移構(gòu)成的基函數(shù)完全正交；雙正交小波對不同尺度伸縮下的小波函數(shù)之間也有正交性，而同尺度之間經(jīng)過平移得到的小波函數(shù)系之間沒有正交性。雙正交小波用于分解和重構(gòu)的小波不是同一個函數(shù)，相應的濾波器也不能由同一個小波生成。.bior系列小波函數(shù)bior2.4bior4.4在雙正交小波的命名中，Nr和Nd分別是和重構(gòu)和分解濾波器長度有關(guān)的參數(shù)。以下圖為bior2.4和bior4.4小波函數(shù)。.5、CoifletcoifN小波族Co

38、iflet小波族是Daubechies提出的另一個小波系，它有更長的支集長度和更大的消逝矩，對稱性比較好。coif系列小波函數(shù)coif3coif5以下圖為coif3和coif5小波函數(shù)。從圖中可以看出，它們在對稱性上的特點。.6、Morlet小波Morlet小波是一個具有解析表達式的小波，但它不具備正交性。Morlet小波的小波函數(shù)如以下圖所示。morlet小波函數(shù).7、Mexican Hat小波類似于morlet小波，Mexican Hat小波同樣是有解析的小波函數(shù)，但同樣不具有正交性。 Mexican Hat小波的小波函數(shù)如以下圖所示。Mexican Hat小波函數(shù).8、Meyer小波Me

39、yer小波是在頻域定義的具有解析方式的正交小波。Meyer小波的尺度函數(shù)和小波函數(shù)如以下圖所示。Meyer小波尺度函數(shù)小波函數(shù). 一維離散小波變換一維離散小波變換實現(xiàn)的算法普通是mallat算法。即先對較大尺度的信號進展小波變換，再選取其中的低頻部分在原尺度的1/2尺度上再進展小波變換。對于一個長度為N的信號s，第一步從原始信號開場，產(chǎn)生兩組參數(shù)，一組是作用低通濾波器得到的近似信號，另一組是作用高通濾波器得到的細節(jié)信號。1、一維離散小波分解算法.在物理信號中，低頻部分是表征信號本身特征的，而高頻部分那么是表征信號細微差別的。比如，聲音信號，假設只保管低頻信號，仍可以區(qū)分出說話的內(nèi)容，但是能夠不

40、太容易區(qū)分出說話的人。但假設去除了低頻部分，就只能聽到一些噪聲。.在MATLAB小波工具箱中，實現(xiàn)多尺度分解的函數(shù)是：wavedec，該函數(shù)的調(diào)用格式為：C,L = wavedec(X,N,wname)C,L = wavedec(X,N,Lo_D,Hi_D)式中，X：待分解的信號； N：分解層數(shù)； wname：運用的小波函數(shù)； Lo_D：給定的低通濾波器； Hi_D：給定的高通濾波器。即：在第二種調(diào)用方式中，信號X在給定的低通濾波器和高通濾波器下進展多尺度分解。.在MATLAB中，離散小波變換分解算法主要運用如下幾個常用指令：dwt; 用于信號的單層分解wavedec; 用于信號的多層分解wm

41、axlev; 在多層分解前求最大的分解層數(shù).例：對白噪聲信號noissin進展3層小波分解，所用小波函數(shù)為db4。load noissin; 讀入白噪聲信號s=noissin(1:1000); 取信號的前1000個采樣點c,l=wavedec(s,3,db4); 對信號做3層多尺度分解cd1,cd2,cd3=detcoef(c,l,1,2,3);得到三個尺度的細節(jié)系數(shù)ca3=appcoef(c,l,db4,3); 得到尺度3的近似系數(shù)figure;subplot(511);plot(1:1000,s);title(s); 繪制原始信號subplot(512);plot(ca3);title(c

42、a3); 繪制尺度3的近似系數(shù)subplot(513);plot(cd3);title(cd3); 繪制尺度3的細節(jié)系數(shù).subplot(514);plot(cd2);title(cd2); 繪制尺度2的細節(jié)系數(shù)subplot(515);plot(cd1);title(cd1); 繪制尺度1的細節(jié)系數(shù)Noissin信號在db4小波下三層分解的近似系數(shù)和細節(jié)系數(shù).2、一維離散小波重建算法重建運算是小波變換的逆變換，也就是把分解得到的近似系數(shù)和細節(jié)系數(shù)疊加得到原始信號。與小波分解過程類似，重構(gòu)過程首先從尺度最低的近似系數(shù)cAj和細節(jié)系數(shù)cDj開場，經(jīng)過作用低頻和高頻重構(gòu)濾波器恢復出上一尺度的近似信

43、號cAj-1，把這個過程繼續(xù)下去，直到得到原始信號s。單單做這個過程沒有什么意義，只是把分解的信號又重建一下。實踐中，往往會在重建之前都要對分解系數(shù)做各種處置，以到達預期的目的。.在MATLAB中，用于離散小波重建算法的命令主要有如下幾個：idwt; 用于單層小波重建waverec; 用于多層小波重建原始信號，要求輸入 參數(shù)同小波分解得到結(jié)果的格式一致upcoef; 用于重建小波系數(shù)至上一層次，要求輸入 參數(shù)同小波分解得到結(jié)果的格式一致用于得到某一層次的小波系數(shù)的命令主要有如下幾個：detcoef; 求得某一層次的細節(jié)系數(shù)appcoef; 求得某一層次的近似系數(shù)upwlev; 重建組織小波系數(shù)

44、的陳列方式.load sumsin;讀入信號sumsin，該信號為不同頻率正弦波信號的疊加s=sumsin;c,l=wavedec(s,4,sym1);把信號s用sym1小波分解到第四層，分解的系數(shù)存到數(shù)組c中，各層分解后的長度存到數(shù)組l中；nc,nl=upwlev(c,l,sym1);經(jīng)過第四層小波系數(shù)重建第三層小波近似系數(shù)，把三層的系數(shù)存放在數(shù)組nc中，三層分解的長度存放到數(shù)組nl中figure;subplot(311);plot(s);title(原始信號); 繪制原始信號例：利用upwlev對正弦波信號進展重構(gòu)。.subplot(312);plot(c);title(做4層wavede

45、c得到的結(jié)果);subplot(313);plot(nc);title(做3層wavedec得到的結(jié)果);用upwlev重建小波系數(shù)表示圖. 信號的擴展在用計算機實現(xiàn)小波變換的過程中，一個實踐的問題就是信號長度和濾波器長度的匹配問題。對有限支集長度的濾波器，在離散小波變換中，對每個點的變換都需求用到其它點的信息，所以假設點與邊境的間隔缺乏濾波器的長度，就無法得到做變換所需求的完全信息，從而導致濾波器不可逆。.為了保證濾波器構(gòu)成的矩陣是可逆的，就需求對濾波器做調(diào)整，而這種調(diào)整也等價于對信號的調(diào)整，調(diào)整的方法就是在每層的變換中都把信號邊境做擴展，使得最接近邊境的點也能獲得小波變換所需求的完全信息。

46、.以求細節(jié)系數(shù)的高通濾波為例，過程如以下圖所示。以下圖中，高通濾波器假設支集長度為4，那么在求第一個細節(jié)系數(shù)d0的時侯，就需求用到信號的擴展s-1。在信號的另一側(cè)，如為了求第n個細節(jié)系數(shù)dn，同樣需求用到信號的擴展sn+1。圖 小波變換做高通濾波時對信號的擴展.MATLAB中，對信號的擴展方式主要有以下幾種。 零填充：是最簡單的一種方式。把邊境以外到濾波器支集以內(nèi)所需求的信息都置為0。這種方式最大的問題是在邊境處不延續(xù)。 對稱擴展：令s-1=s1，s-2=s2，以此類推，在另一側(cè)的邊境做同樣處置，它是MATLAB小波工具箱中缺省的擴展方式，很好地處理了邊境點的不延續(xù)問題。但是它的一階導數(shù)依然是

47、不延續(xù)的。 一階光滑擴展：保證邊境以外的信息滿足一階導數(shù)的延續(xù)，那么一切邊境外的點應該落在經(jīng)過s0，s1的直線上，另一側(cè)邊境也做同樣處置。 零階光滑擴展：保證邊境以外的信號與原信號延續(xù)，那么只需求令：si=s0(in)。.在對信號的擴展中，還有一點需求留意，為了堅持小波變換的可逆性，分解階段和重建階段必需指定一樣的擴展方式。在MATLAB中，指定信號擴展方式的命令是dwtmode。其調(diào)用格式如下：ST = dwtmode(mode)ST = dwtmode主要的擴展方式如下：sym：對稱擴展；zpd：零填充；spd或sp1：一階光滑擴展；sp0：零階光滑擴展。. 小波變換用于信號降噪前面引見了

48、如何利用小波工具箱把信號分解以及重建的方法，而小波分析之所以強大，就在于它能將信號中我們關(guān)懷的成分盡能夠詳細地展現(xiàn)出來，從這個意義上講，單單分解和重建是沒有意義的，小波分析最重要的過程就是對小波分解系數(shù)的處置。小波分析的普經(jīng)過程就是先把信號分解為小波系數(shù)，然后對分解出來的系數(shù)根據(jù)問題的要求做一些處置，再用小波重建方法恢復信號。下面經(jīng)過小波變換用于信號降噪來描畫小波分析的主要方法。. 光滑性：在大部分情況下，降噪后的信號應該至少和原信號具有同等的光滑性； 類似性：降噪后的信號和原信號的方差估計應該是最壞情況下的方差最小。1、信號降噪的準那么2、小波分析用于降噪的過程 分解過程：選定一種小波，對信

49、號進展N層小波分解； 作用閾值過程：對分解得到的各層系數(shù)選擇一個閾值，并對細節(jié)系數(shù)作用軟閾值處置； 重建過程：將處置后的系數(shù)經(jīng)過小波重建恢復原始信號。.攜帶信息的原始信號在頻域或小波域的能量相對集中，表現(xiàn)為能量密集區(qū)域的信號分解系數(shù)的絕對值比較大，而噪聲信號的能量譜相對分散，所以其系數(shù)的絕對值小。這樣，可以經(jīng)過作用閾值的方法過濾掉絕對值小于一定閾值的小波系數(shù)，從而到達降噪的效果。.3、從原始信號確定各級閾值在小波分析用于降噪的過程中，中心的步驟就是在系數(shù)上作用閾值。由于閾值的選取直接影響降噪的質(zhì)量，所以人們提出了各種實際的和閱歷的模型。但沒有一種模型是通用的，它們都有本人的適用范圍。小波變換中

50、，對各層系數(shù)降噪所需的閾值普通是根據(jù)原信號的信噪比來選取的。從實際模型s(n)=f(n)+e(n)中，用來表示這個量。從s(n)中提取的方法有很多種，在假定噪聲為白噪聲的情況下噪聲的數(shù)學期望為0，普通是用原信號的小波分解的各層系數(shù)的規(guī)范差來衡量。MATLAB提供wnoisest來實現(xiàn)這個功能。.wnoisest的調(diào)用格式：STDC = wnoisest(C,L,S)根據(jù)傳入的小波分解系數(shù)C,L，對S中表示的小波層數(shù)求得其規(guī)范差，作為對噪聲強度的估計。在得到信號的噪聲強度后，就可以根據(jù)噪聲強度來確定各層的閾值。.對噪聲強度為的白噪聲，閾值確實定主要有以下幾個數(shù)學模型： 缺省的閾值確定模型，閾值由

51、如下公式給出：其中，n為信號的長度。. Birge-Massart戰(zhàn)略所確定的閾值，閾值經(jīng)過如下的規(guī)那么求得：1給定一個指定的分解層數(shù)j，對j+1以及更高層，一切系數(shù)保管；2對第i層1ij，保管絕對值最大的ni個系數(shù)，ni由下式確定：式中，M和為閱歷系數(shù)，缺省情況下取ML(1)，即第一層分解后系數(shù)的長度。普通情況下，M滿足L(1) M 2L(1)。的取值因用途不同而異，在緊縮情況下普通取1.5，降噪情況下取3。. 小波包變換中的penalty閾值，閾值由下式給出：令t*為使得函數(shù)獲得最小值的t。其中，ck為小波包分解系數(shù)排序后第k大的系數(shù)。n為系數(shù)的總數(shù)。那么，閾值式中，為信號的噪聲強度；為閱

52、歷系數(shù)， 必需為大于1的實數(shù)。隨著的增大，降噪后信號的小波系數(shù)會變稀疏，重建后的信號也會變得更加光滑。的典型值為2。.MATLAB小波工具箱中，從原始信號確定閾值的函數(shù)有： ddencmp：根據(jù)傳入的信號得到進展降噪或緊縮的各級閾值； wbmpen：根據(jù)傳入的小波分解系數(shù)用penalty戰(zhàn)略確定各層閾值。 wdcbm：根據(jù)傳入的小波分解系數(shù)用Birge-massart戰(zhàn)略確定各層閾值。.例：經(jīng)過對信號noisbump的降噪處置，來比較上述幾種閾值確定方法在降噪中的用法和區(qū)別。load noisbump;讀入信號noisbumpx= noisbump;wname=sym6;lev=5;c,l=w

53、avedec(x,lev,wname); 用sym6小波對信號x做5層分解sigma=wnoisest(c,l,1);經(jīng)過第1層的細節(jié)系數(shù)估算信號的噪聲強度；%運用penalty戰(zhàn)略確定降噪的閾值alpha=2; 選擇參數(shù)2thr1=wbmpen(c,l,sigma,alpha);%運用Birge-Massart戰(zhàn)略確定降噪的閾值thr2,nkeep=wdcbm(c,l,alpha);.%運用缺省的閾值模型確定降噪的閾值thr,sorh,keepapp=ddencmp(den,wv,x);%重建降噪信號xd1=wdencmp(gbl,c,l,wname,lev,thr1,s,1);xd2,cxd,lxd,perf0,perfl2=wdencmp(lvd,c,l,wname,lev,thr2,h);xd3=wdencmp(gbl,c,l,wname,l