一階倒立擺的PID控制仿真

1、一階倒立擺的PID控制仿真摘要：本文主要介紹了一階倒立擺系統(tǒng)的構(gòu)成和數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)了 PID控制器， 在MATLAB環(huán)境下進(jìn)行仿真，并對仿真結(jié)果進(jìn)行分析。PID控制器具有結(jié)構(gòu)簡單、 容易實(shí)現(xiàn)、控制效果好等特點(diǎn)，是迄今為止最穩(wěn)定的控制方法。它所涉及的參數(shù) 物理意義明確，理論分析體系完整，并為工程界所熟悉，因而在工業(yè)過程控制中 得到了廣泛應(yīng)用。關(guān)鍵詞：一階倒立擺：PID控制：MATLAB仿真：0.前言：PID控制器以其結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定性好、工作可靠、調(diào)整方便而成為工 業(yè)控制的主要技術(shù)之一。在工業(yè)過程控制中，目前采用最多的控制方式依然是 PID方式，即使在日本，PID控制的使用率也達(dá)到84.5%。它具

2、有容易實(shí)現(xiàn)、控 制效果好等特點(diǎn)，同時(shí)它原理簡單，參數(shù)物理意義明確，理論分析體系完整，并 為工程界所熟悉，因而在工業(yè)過程控制中得到了廣泛應(yīng)用。盡管自1940年以來， 許多先進(jìn)控制方法不斷推出，但PID控制器仍被廣泛應(yīng)用于冶金、化工、電力、 輕工和機(jī)械等工業(yè)過程控制中。一階倒立擺的基本理論：倒立擺控制系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的、不穩(wěn)定的、非線性系統(tǒng)，是進(jìn)行控制理論教 學(xué)及開展各種控制實(shí)驗(yàn)的理想實(shí)驗(yàn)平臺。對倒立擺系統(tǒng)的研究能有效的反映控制 中的許多典型問題：如非線性問題、魯棒性問題、鎮(zhèn)定問題、隨動問題以及跟蹤 問題等。通過對倒立擺的控制，用來檢驗(yàn)新的控制方法是否有較強(qiáng)的處理非線性 和不穩(wěn)定性問題的能力。同時(shí)，

3、其控制方法在軍工、航天、機(jī)器人和一般工業(yè)過 程領(lǐng)域中都有著廣泛的用途，如機(jī)器人行走過程中的平衡控制、火箭發(fā)射中的垂 直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制等。故其研究意義廣泛。一階倒立擺模型的數(shù)學(xué)建模質(zhì)量為m的小球固結(jié)于長度為L的細(xì)桿（可忽略桿的質(zhì)量）上，細(xì)桿又和 質(zhì)量為M的小車鉸接相連。由經(jīng)驗(yàn)知：通過控制施加在小車上的力F （包括大 小和方向）能夠使細(xì)桿處于0=0的穩(wěn)定倒立狀態(tài)。在忽略其他零件的質(zhì)量以及 各種摩擦和阻尼的條件下，推導(dǎo)小車倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（如圖1）圖1一階倒立擺模型的過程分析：如圖所示，設(shè)細(xì)桿擺沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動為正方向，水平向右方向?yàn)樗椒较?上的正方向。當(dāng)細(xì)桿擺順時(shí)針往右運(yùn)動時(shí)水

4、平方向施加的力應(yīng)該為水平向右?，F(xiàn) 對小車和細(xì)桿擺分別進(jìn)行隔離受力分析（如圖2和圖3）小球受力分析圖3小車受力圖圖2對小車有：F-Fsin3=Mx 對小球有：水平方向上運(yùn)動為x+lsin6故水平方向受力為Fsin6=m(x+lsin6)=m (x+lcosOO)=mx+mlcosOO-mlsin3(3) 2(2)由(1)、(2)兩式得 F= (M+m)x +mlcos33-mlsin3(3) 2小球垂直方向上位移為/cos。故受力為FcosO -mg=m(lcos=-ml6sin6-mlcos6(6) 2艮口 F cos6=mg-m/6sin6-mlcos0(3) 2由(2)、(3)兩式得cos

5、6x =gsin6-16故可得以下運(yùn)動方程組:F= (M+m)x +mlcos66-mlsin6(6) 2cos6x =gsin6-16 以上方程組為非線性方程組故需做如下線性化處理:sin 0 0 - cos 0Q 1 一 3!2!當(dāng)。很小時(shí)，由cos。、sin0的幕級數(shù)展開式可知，忽略高次項(xiàng)后， 可得 cos。刁，sin。斗，。 0故線性化后運(yùn)動方程組簡化為F=（M+m）x，+ml。 一 x 二g。- l。階倒立擺模型的狀態(tài)空間方程：以擺角0、角速度0，、小車位移X、加速度x為x10 一即X=x 2=0 x 3x一x 4 _xY=0=x1xx 3由線性化后運(yùn)動方程組得x 1 =6=x2x2

6、 =0 = M + m)g x1- FMl Ml（3）Y為輸出，F(xiàn)為輸入x 3=x=x4尤4二乂，=-性 x1+_L F故空間狀態(tài)方程如下:X1x 2=x 3x 40(M + m )gMl0mgM100000000 -0 x110 x 2+Ml1x 3Qx 4_1_0 1MFx1Y=x1=一1000 -x 30010+ 0X Fm=0.1kg l=0.5m 代入得MATLAB將狀態(tài)方程轉(zhuǎn)化成傳遞函數(shù)，取M=2kg A=0 1 0 0;20.58 0 0 0;0 0 0 1;-0.49 0 0 0 B=0;-1;0;0.5C=1 0 0 0;0 0 1 0D=0;0 num,den=ss2tf(

7、A,B,C,D,1);num =0-0.0000-1.0000000-0.00000.5000-0.0000-9.8000den =1.00000 -20.580000由上中對力F的傳遞函數(shù)：些=L1F (s) s2 - 20.58位移X對外力F的傳遞函數(shù)：勺 =0.5s2 一溢F (s)s 4 - 20.58 s 2方案設(shè)計(jì)基于一階倒立擺系統(tǒng)的構(gòu)成和數(shù)學(xué)模型的建立，設(shè)計(jì)PID控制器，在 MATLAB環(huán)境下進(jìn)行仿真，并對仿真結(jié)果進(jìn)行分析軟件編程首先，將連續(xù)的系統(tǒng)離散化。計(jì)算機(jī)控制是一種采樣控制，它只能根據(jù)采樣 時(shí)刻的偏差值計(jì)算控制量，因此，連續(xù)PID控制算法不能直接使用，需要采用離 散化的方法

8、。在計(jì)算機(jī)PID控制中，使用的是數(shù)字PID控制器。采樣周期T為1ms，采用Z變換對G(S)進(jìn)行離散化，離散化后的被控對象為: Transfer function:0.06684 z2 - 0.1322 z + 0.06538z3 - 2.222 z2 + 1.445 z - 0.2229可得系統(tǒng)的差分方程：y(k)=-den(2)*y_1-den(3)*y_2-den(4)*y_3+num(2)*u_1+num(3)*u_2+num(4)*u _3;num =0 0.0668 -0.1322 0.0654den =1.0000 -2.2219 1.4448 -0.2229在輸入信號為單位階躍信

9、號時(shí)，運(yùn)行附錄2的數(shù)字PID程序，可得系統(tǒng)的響應(yīng) 如下圖4：1.4I111- LI6 LI4rl,2LI1 , , , 1 , , 1.5 .111 C 、 . -, %.e .,I , , 1 , %1. . r,p、,、.0.10.20.30.40.50.60.70.80.9:+ I kVh i-i，單位階躍響應(yīng)由線0圖4在PID參數(shù)：kp=10;ki=3000;kd=0;調(diào)節(jié)時(shí)間0.15s2%。其中超調(diào)量過大不滿足系統(tǒng)的設(shè)計(jì)要求。利用Matlab /Simulink軟件，構(gòu)建了電機(jī)控制系統(tǒng)的速度仿真模型。通過仿 真結(jié)果可以看出系統(tǒng)能平穩(wěn)運(yùn)行,具有較好的靜、動態(tài)特性。在此仿真模型基礎(chǔ) 上，

10、可以十分便捷地實(shí)現(xiàn)進(jìn)行參數(shù)選擇、調(diào)整及仿真。因此,可以從整體角度出發(fā) 對伺服系統(tǒng)整體參數(shù)的優(yōu)化和調(diào)整進(jìn)行研究。也為實(shí)際伺服系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和調(diào)試提 供了新的思路。系統(tǒng)調(diào)試與結(jié)果分析1、沒校正之前的小F控制系統(tǒng)（如下圖5）Scope圖5由于未加進(jìn)控制環(huán)節(jié)，故系統(tǒng)輸出發(fā)散2.加進(jìn)控制環(huán)節(jié)，實(shí)現(xiàn)時(shí)域的穩(wěn)定控制（如下圖6）Gain3 Derivative歸Scope給系統(tǒng)加入PID控制，設(shè)置系統(tǒng)穩(wěn)定值為0，給系統(tǒng)一個(gè)初始干擾沖擊信號采用試湊法不斷調(diào)整PID參數(shù)當(dāng)系統(tǒng)Kp=-100，Ti=Td=0時(shí)輸出 （如下圖7）；：|n|xl0, Ti=1, Td=-40 時(shí) （如4201-2-4 k0.5-5 w10

11、Bi下圖8)，響應(yīng)時(shí)Time offset: 0當(dāng)Kp=-100, Ti=0, Td=0時(shí)輸出：發(fā)散，需加大Kp、增加Ti、Td控制（如下圖10）*尸p響應(yīng)時(shí)間稍長，故微增加Kp、Ti、Td（如下圖11）由圖可知超調(diào)仍大反復(fù)試湊PID參數(shù)后，得到較好的響應(yīng)曲線如下（Kp=-110, Ti=-4, Td=-1500時(shí)）如下圖12），超調(diào)較小，響應(yīng)時(shí) rp=0.5S。參考文獻(xiàn)程衛(wèi)國.MATLAB 5.3精要、編程及高級應(yīng)用.機(jī)械工業(yè)出版社，2000高俊斌.MATLAB 5.0語言與程序設(shè)計(jì).華中理工大學(xué)出版社，1992于海生.微型計(jì)算機(jī)控制技術(shù)（第二版）清華大學(xué)出版社，2009附錄數(shù)字PID程序%

12、PID Controllerclear all;close all;ts=0.001;sys=tf(127.4 2817 11930,1 1501 2021 11730);dsys=c2d(sys,ts,z); % 連續(xù)離散化num,den=tfdata(dsys,v);u_1=0.0;u_2=0.0;u_3=0.0;y_1=0.0;y_2=0.0;y_3=0.0;x=0,0,0;error_1=0;for k=1:1:1000time(k)=k*ts;kp=10;ki=3000;kd=0;rin(k)=1; %Step Signalu(k)=kp*x(1)+kd*x(2)+ki*x(3);

13、%PID Controller%Restricting the output of controllerif u(k)=10u(k)=10;endif u(k)=-10u(k)=-10;end%Linear modelyout(k)=-den(2)*y_1-den(3)*y_2-den(4)*y_3+num(2)*u_1+num(3)*u_2+num(4)*u_3;error(k)=rin(k)-yout(k);%Return of parametersu_3=u_2;u_2=u_1;u_1=u(k);y_3=y_2;y_2=y_1;y_1=yout(k);x(1)=error(k); %Ca

14、lculating P x(2)=(error(k)-error_1)/ts; %Calculating D x(3)=x(3)+error(k)*ts; %Calculating I error_1=error(k);endfigure(1);plot(time,rin,b,time,yout,r);xlabel(time(s),ylabel(rin,yout);title(單位階躍響應(yīng)曲線)課設(shè)體會通過本次課程設(shè)計(jì)，學(xué)會了從數(shù)學(xué)建模到仿真系統(tǒng)的搭建，對控制環(huán)節(jié)進(jìn)行 實(shí)時(shí)控制，最后得出結(jié)果過程，參考了大量的資料，通過對比整合，設(shè)計(jì)出了適 合自己的一套實(shí)驗(yàn)方法。在實(shí)驗(yàn)中了解到，倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)非線性的較復(fù)雜的 不穩(wěn)定系統(tǒng)，要想滿足穩(wěn)定性要求，就得對系統(tǒng)進(jìn)行線性化近似和穩(wěn)定控制。做 了線性化和加進(jìn)控制調(diào)整后，系統(tǒng)達(dá)到了良好的穩(wěn)定狀態(tài)。同時(shí)也熟悉并且掌握 了