小學(xué)奧數(shù)技巧03解幾何題技巧附答案

1、WORD21/21學(xué)習(xí)奧數(shù)的重要性1. 學(xué)習(xí)奧數(shù)是一種很好的思維訓(xùn)練。奧數(shù)包含了發(fā)散思維、收斂思維、換元思維、反向思維、逆向思維、邏輯思維、空間思維、立體思維等二十幾種思維方式。通過學(xué)習(xí)奧數(shù)，可以幫助孩子開拓思路，提高思維能力，進(jìn)而有效提高分析問題和解決問題的能力，與此同時，智商水平也會得以相應(yīng)的提高。2. 學(xué)習(xí)奧數(shù)能提高邏輯思維能力。奧數(shù)是不同于且高于普通數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)容，求解奧數(shù)題，大多沒有現(xiàn)成的公式可套，但有規(guī)律可循，講究的是個“巧”字；不經(jīng)過分析判斷、邏輯推理乃至“抽絲剝繭”，是完成不了奧數(shù)題的。所以，學(xué)習(xí)奧數(shù)對提高孩子的邏輯推理和抽象思維能力大有幫助3. 為中學(xué)學(xué)好數(shù)理化打下基礎(chǔ)。等到孩

2、子上了中學(xué)，課程難度加大，特別是數(shù)理化是三門很重要的課程。如果孩子在小學(xué)階段通過學(xué)習(xí)奧數(shù)讓他的思維能力得以提高，那么對他學(xué)好數(shù)理化幫助很大。小學(xué)奧數(shù)學(xué)得好的孩子對中學(xué)階段那點數(shù)理化大都能輕松對付。4. 學(xué)習(xí)奧數(shù)對孩子的意志品質(zhì)是一種鍛煉。大部分孩子剛學(xué)奧數(shù)時都是興趣盎然、信心百倍，但隨著課程的深入，難度也相應(yīng)加大，這個時候是最能考驗人的：少部分孩子憑著天分，憑著在困難面前的百折不撓和愈挫愈堅的毅力，堅持了下來、學(xué)了進(jìn)去、收到了成效；一部分孩子在家長的“威逼利誘”之下，硬著頭皮熬了下來；不少孩子更是或因天資不足、或懼怕困難、或受不了這份苦、再或是其它原因而在中途打了退堂鼓。我以為，只要能堅持學(xué)下

3、來，不論最后取得什么樣的結(jié)果，都會有所收獲的，特別是對孩子的意志力是一次很好的鍛煉，這對他今后的學(xué)習(xí)和生活都大有益處。 HYPERLINK :/rcs.wuchang-edu /RESOURCE/XX/XXSX/SXBL/BL000091/15249_SR.HTM （三）解幾何題技巧1.等分圖形均分整體有些幾何問題，只要把大圖形均分為若干個小圖形，就能找到問題的答案。例如，下面兩圖中的正方形分別接于同一個等腰直角三角形（接指四個頂點全在三角形的邊上）。已知左圖（圖4.11）中正方形面積為72平方厘米，求右圖（4.12）中正方形的面積。由于左右兩個三角形完全一樣，我們不妨把這兩個圖形進(jìn)行等分，看

4、看這兩個正方形分別與同一個等腰直角三角形有什么樣的關(guān)系。等分后的情況見圖4.13和圖4.14。積是圖4.12的正方形面積是均分局部有些幾何問題，整體的均分不太方便，或不能夠辦到，這時可以考慮把它的局部去均分，然后從整體上去觀察，往往也能使問題獲得解決。例如圖4.15，在正方形ABCD中，畫有甲、乙、丙三個小正方形。問：乙、丙面積之和與甲相比，哪一個大些？大家由前面的“均分整體”已經(jīng)知道，像甲、乙這樣的兩個正方形，面積不是相等的。如圖4.16，經(jīng)過等分，正方形甲的面積等于ABC面積的一半；正方形丙的面積等于EDF的一半，正方形乙的面積等于梯形ACFE面積的一半。這樣，一個大正方形ABCD，就劃分

5、成了三個局部：等腰直角ABC；等腰梯形ACFE；等腰直角EDF。其中甲、乙、丙的面積分別為各自所在圖形的一半，而EDF的面積加梯形ACFE的面積等于ADC的面積，即等于ABC的面積。所以，乙、丙面積之和等于甲的面積。2.平移變換平移線段有些幾何問題，通過線段的上、下、左、右平移以后，能使問題很快地得到正確的解答。例如，下面的兩個圖形（圖4.17和圖4.18）的周長是否相等？單憑眼睛觀察，似乎圖4.18的周長比圖4.17的要長一些。但把有關(guān)線段平移以后，圖4.18就變成了圖4.19，其中的線段，有的上移，有的左移，有的右移，它可移成一個正方形。于是，不難發(fā)現(xiàn)兩圖周長是相等的。平移空白或陰影部分有

6、些求陰影部分或空白部分面積的幾何題，采用平移空白部分或平移陰影部分的辦法，往往能化難為易，很快使問題求得解答。例如，計算圖4.20中陰影部分的面積。圓面積”，然后相加，得整個陰影部分的面積。這顯然是很費時費力的。但認(rèn)真觀察一下就會發(fā)現(xiàn)，圖4.20左半左上部的空白部分，與右半左上部的陰影部分大小一樣，只需將右半左上部的陰影部分，平移到左半左上部的空白部分，所有的陰影部分便構(gòu)成一個正方形了（如圖4.21）。所以，陰影部分的面積很快就可求得為55=25。又如，一塊長30米，寬24米的草地，中間有兩條寬2米的走道，把草地分為四塊，求草地的面積（如圖4.22）。這只要把丙向甲平移靠攏，把丁向乙平移靠攏，

7、題目也就很快能解答出來了。（具體解法略）3.旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)成定角例如下面的題目：“在圖4.23中，半徑為8厘米的圓的外各有一個正方形，圓正方形頂點都在圓周上，圓外正方形四條邊與圓都只有一個接觸點。問：“大正方形的面積比小正方形的面積大多少？”按一般方法，先求大、小正方形的面積，再求它們的差，顯然是有難度的。若將小正方形圍繞圓心旋轉(zhuǎn)45，使原圖變成圖4.24，容易發(fā)現(xiàn)，小正方形的面積為大正方形面積的一半。所以，大正方形面積比小正方形的面積大（82）（82）2=16162=128（平方厘米）又如，如圖4.25，求正方形陰影部分的面積。（單位：厘米）表面上看，題目也是很難解答的。但只要將兩個卵葉片形的

8、陰影部分繞正方形的中心，分別按順時針和逆時針方向旋轉(zhuǎn)90，就得到了一個由陰影部分組成的半圓（如圖4.26），于是，陰影部分的面積就很容易解答出來了。（解答略）開扇式旋轉(zhuǎn)有些圖形相互交錯，增加了解答的難度。若像打開折扇一樣，繞著某個定點作“開扇式”旋轉(zhuǎn)，往往會使人頓開茅塞，使問題很快獲得解決。例如，求圖4.27的陰影部分的面積（單位：厘米）。若采用正方形面積減空白部分面積的求法，計算量是很大的。由于它是由兩個形狀一樣的扇形交叉重疊而成的，我們不妨把右下部的扇形打開，順時針方向旋轉(zhuǎn)90，得到圖4.28；再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，得到圖4.29。在圖4.29中，陰影部分面積便是半圓面積減三角形面積的差。所以，陰影

9、部分面積是423.142-（4+4）42=25.12-16=9.12（平方厘米）又如，求圖4.30陰影部分的面積（單位：厘米）。將這個圖從中間剪開，以o為旋轉(zhuǎn)中心，將右半部分按順時針方向轉(zhuǎn)到左半部下方，便變成了圖4.31。于是，陰影部分的面積便是半圓面積減去兩直角邊均為2厘米的一個空白等腰直角三角形面積的差。即（42）23.142-222=6.28-2=4.28（平方厘米）4.對稱變換將軍飲馬據(jù)說古代希臘有一位將軍向當(dāng)時的大學(xué)者海倫請教一個問題：從A地出發(fā)到河邊飲馬，再到B地（如圖4.32所示），走什么樣的路最近？如何確定飲馬的地點？海倫的方法是這樣的：如圖4.33，設(shè)L為河，作AOL交L于O

10、點，延長AO至A，使AO=AO。連結(jié)AB，交L于C，則C點就是所要求的飲馬地點。再連結(jié)AC，則路程（AC+CB）為最短的路程。為什么呢？因為A是A點關(guān)于L的對稱點，AC與AC是相等的。而AB是一條線段，所以AB是連結(jié)A、B這兩點間的所有線中，最短的一條，所以AC+CB=AC+CB=AB也是最短的一條路了。這就是海倫運(yùn)用對稱變換，找到的一種最巧妙的解題方法。運(yùn)用這種辦法，可以巧妙地解決許多幾何問題。劃線均分通過中心對稱圖形的對稱中心，任意畫一條直線，都可以把原圖形均分成兩個大小、形狀完全一樣的圖形。利用這一性質(zhì)，可以使某些較復(fù)雜的問題迅速地解答出來。例如（1）把圖形（圖4.34）的面積，用一條直

11、線分成相等的兩個部分。解題時，只要把這個圖形看成是由兩個矩形（長方形）組成的組合圖形，而矩形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形， 所以只要找出兩個對稱中心（對角線交點），利用中心對稱圖形的上述性質(zhì)，通過兩個對稱中心作一條直線，就能把它的面積分成相等的兩個部分了。如前頁的三種分法都行（如圖4.35所示）。（2）如圖4.36，長方形ABCD有一個以O(shè)點為圓心的圓，請畫一條直線，同時將長方形和圓分為面積相等的兩個部分。大家知道，長方形和圓都既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。長方形的對稱中心是對角線的交點，圓的對稱中心是它的圓心。根據(jù)中心對稱圖形的上述性質(zhì)，先找出這兩個對稱中心O點和P點（如圖4.37）

12、，再過O、P作直線L，此直線L即是所畫的那根直線。5.割補(bǔ)、拼接、截割割補(bǔ)在數(shù)學(xué)中，把圖形的某個部分割下，補(bǔ)到某一個新的位置，往往可以使新的圖形，更便于發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，從而較快地解答出數(shù)學(xué)題目。例如，在圖4.38中，三個圓的面積都是12.56平方厘米，且三個圓兩兩相交，三個交點都是圓心，求三塊陰影部分的面積。從表面上看，題目是無法解答的。但只要仔細(xì)觀察就能發(fā)現(xiàn)，根據(jù)軸對稱性與割補(bǔ)方法，題目可作如下的解答：如圖4.39，將圖形1翻折到圖形2的位置；再將圖形3和4割下來，合并在一起，補(bǔ)到圖形5的位置上。于是，原來的陰影部分就正好拼成了一個半圓。所以，三塊陰影部分的面積是12.562=6.28（平方厘

13、米）拼接，截割（1）平面圖形的拼接、截割。拼接和截割，是兩個相反的過程。平面圖形的拼接是把兩個或兩個以上的圖形拼接在一起；平面圖形的截割，是把一個圖形截割成兩個或兩個以上的圖形。平面幾何圖形拼接或截割以后，面積和周長的變化有以下規(guī)律：兩個或兩個以上的圖形拼接成一個新的幾何圖形，它的面積等于原來若干個幾何圖形的面積之和；而周長卻會比原圖形周長之和要短。如果拼接部分的總長度為a，那么拼接后減少的周長就是2a。把一個平面幾何圖形截割以后，各小塊圖形的面積之和，等于原圖形的面積；但截割后各小塊幾何圖形的周長之和，要比原圖形的周長要長。若所有截割部分長度為a，那么截割后增加的長度就是2a。依據(jù)這一規(guī)律，

14、可快速地解答一些幾何問題。例如，如圖4.40，正方形被均分為大小、形狀完全一樣的三個長方形，每個長方形周長都是48厘米，求正方形的周長。解題時，可以把大正方形看成是三個小長方形拼接而成的，三個小長方形的拼接部分，都是小長方形的長，長度等于大正方形的“邊長”。拼接以后的圖形（大正方形）的周長，比原來的三個小長方形的周長之和，要減少4個“邊長”，而這4個“邊長”正好相當(dāng)于大正方形的周長。這就是說，三個小長方形的周長之和里，剛好包含有兩個大正方形的周長。所以，正方形的周長是4832=1442=72（厘米）（2）立體圖形的拼接、截割。立體幾何圖形拼接或截割以后，它的體積和表面積的變化，有以下規(guī)律：兩個

15、或兩個以上的幾何體，拼接成一個新幾何體以后，它的體積等于原來若干個幾何體體積之和；但是它的表面積卻比原來若干個幾何體的表面積之和要小。如果重疊部分為S，那么減少的面積就是2S。把一個幾何體截割以后，各部分的體積之和等于原幾何體體積；但截割后的表面積之和，卻大于原幾何體的表面積。如果其中的截割面積為S，那么，增加的表而積就是2S。依據(jù)這一規(guī)律，可以較快地解答出某些題目。例如，如圖4.41，把一個棱長為5厘米的正方體木塊鋸成兩個形狀大小完全一樣的長方體（不計損耗），表面積會增加多少平方厘米？因為正方體木塊的截割面積為55=25（平方厘米），依據(jù)上面的規(guī)律可知，表面積會增加252=50（平方厘米）又

16、如，把長10厘米、寬6厘米、高5厘米的長方體木塊截成形狀、大小一樣的兩個長方體，表面會增加多少平方厘米？由于此題未交代從何處下手截割，所以要分三種情況來解答題目。如圖4.42左圖的截法，表面積會增加。562=302=60（平方厘米）如圖4.42中圖的截法，表面積會增加。1062=602=12（平方厘米）如圖4.42右圖的截法，表面積會增加1052=502=100（平方厘米）6擴(kuò)縮圖形擴(kuò)圖解題時，將幾何圖形擴(kuò)大，有時候能使一時難以解決的問題變得非常簡單。例如，圖4.43是一個圓心角為45的扇形，其中的直角三角形BOC的直角邊為6厘米，求陰影部分的面積。本來，求陰影部分的面積，只要用扇形面積減去直

17、角三角形面積就行了。但是同學(xué)們暫時還未學(xué)求扇形半徑R的方法，怎么辦呢？由扇形的圓心角為45，我們不妨將其擴(kuò)大一倍，如圖4.44所示。由此圖可以求出三角形DOB的面積為可知擴(kuò)大后的陰影部分面積為56.52-7225=6.52-36=20.52（平方厘米）所以，原圖所求的陰影部分的面積為20.522=10.26（平方厘米）這是個將圖形整體擴(kuò)大的例子。可否只將圖形的某一個局部擴(kuò)大，來求得問題的解答呢？回答是肯定的。例如：如圖4.45，圖中的扇形半徑為8厘米，圓心角為45，求陰影部分的面積。當(dāng)然，這道題也可以將整個圖形擴(kuò)大一倍，去尋找答案。不過，解題的關(guān)鍵是求出空白部分（三角形）的面積，我們不妨以8厘

18、米為邊長，作一個正方形，這正方形面積便是空白三角形面積的4倍（即只將局部三角形面積擴(kuò)大4倍）。于是空白的三角形面積便是884=16（平方厘米）所要求的陰影部分的面積便是縮小研究對象有些圖形從整體上研究，由于圖形較為復(fù)雜，難以一下子解決問題，若根據(jù)圖形特點，縮小研究圍，往往能較快地找到答案。例如，圖4.46是一塊黑白格子布，白色大正方形邊長10厘米，白色小正方形邊長4厘米。這塊布的白色部分的面積占總面積的百分之幾？圖形令人眼花繚亂，增大了解題時的難度。不過，仔細(xì)一看，就可發(fā)現(xiàn)它由9塊形狀大小一樣的圖形組成，我們只要研究其中一個小圖形（如圖4.47）的白色圖形占整個圖形的百分之幾，就足以解決問題了

19、，所以，題目的解答可以是（101044）（104）（104）=1161960.592=59.2。又如，圖4.48是一個對稱圖形。問：圖中的黑色部分與陰影部分比較，是黑色部分的面積大，還是陰影部分的面積大？因它是個對稱圖形，可如圖中虛線那樣畫兩條直線，將它平分為四個部分。解題時，我們不必研究整個圖形，只要研究它的四分之一就行了。角扇形的面積。再由對稱關(guān)系可知，圖形中兩個空白部分的大小是相等的，故用圖中的上半部分減黑色部分所得的空白部分，等于下面半圓面積減“卵葉形”陰影部分所得的空白部分。在這一等式中，既然被減數(shù)和差都相等，那么減數(shù)（黑色部分和葉形陰影部分）也必定是相等的。于是可推出，整個圖形的黑

20、色部分和陰影部分的面積，也必定是相等的。7附錄：等積變換用等積變換作圖根據(jù)等積關(guān)系，可以使某些作圖題較快地得到解答。例如用三種方法把任意一個三角形分成四個面積相等的三角形。形，不論其形狀是否一樣，只要它們的底、高分別相等，則面積也一定是相等的。所以，將任意三角形平均分成四個面積相等的三角形，作圖方法如下：（1）把三角形底邊平均分為四份，再把每個分點與頂點連結(jié)（如圖4.50甲所示），所得的四個三角形ABD、ADE、AEF和AFC，是等底同高的，所以面積一定是相等的。（證明略）（2）如圖4.50乙所示，先找出一條邊BC的中點D，連結(jié)AD，再找出AD的中心E，連結(jié)BE和CE，所得到的四個三角形ABE

21、、BDE、ACE和CDE，面積也一定是相等的。（證明略）再三等分AD得AF=FE=ED；然后，連結(jié)BF和BE。這樣得到的四個三角形ACD、BAF、BFE和BED，面積也一定是相等的。（證明略）用等積變換比大小比較兩個圖形的面積大小，常常以求一個圖形的面積占另一個圖形面積的幾分之幾的形式出現(xiàn)。如圖4.51，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點。求AEF是平行四邊形的幾分之幾？解題時，可取AD的中點G連結(jié)G、E，則有ABE的面積=平行四邊形ABEG面積的一半=平行四邊形ABCD面積再取AB中點H，連結(jié)H、F，則有從而還可以推出這時，所有空白部分占整個平行四邊形面積的分?jǐn)?shù)都已經(jīng)求出來

22、了，于是，陰影部分AEF的面積所占的分?jǐn)?shù)便是這樣，一個本來很難解答的問題，經(jīng)過等積變換，便較快地找到答案了。再看下面的一個例子：形ABCD的面積=？解題時，可先連結(jié)E、D和B、D，易知進(jìn)而便得即四邊形EFGH的面積四邊形ABCD的面積=59用等積變換求面積用等積變換求圖形的面積，是常用的技巧之一。它能使分散的圖形集中，使生疏、麻煩的題目轉(zhuǎn)化為熟悉、簡單的題目。例如如圖4.53，這是個直角梯形。求陰影部分的面積（單位：厘米）。圖中的陰影部分由兩個同高的三角形組成。它們的面積是：這道題的解答，也可以把兩個陰影部分集中，連結(jié)A、C，因為AB平行于DC，所以DAE的面積=CAE的面積（同底等高），兩個

23、陰影部分的面積就換成一個三角形CAB的面積了。所以，陰影部分的面積就是842=16（平方厘米）。又如，如圖4.54，這是大小兩個正方形組成的圖形。大正方形邊長為8厘米，小正方形邊長為5厘米，求陰影部分的面積。用一般解法解答此題，是比較麻煩的。我們可作如下巧解。連結(jié)B、E。經(jīng)觀察，會發(fā)現(xiàn)BEC與ABE等積，因為它們都是以小正方形的邊長為底，以大正方形的邊長為高。從這兩個三角形中，分別減去BEF的面積，就得到ABF和FEC為等積的三角形。因此ABC的面積=AFC的面積+ABF的面積=AFC的面積+FEC的面積=AEC的面積=12.5（平方厘米）用等積變換證題用等積關(guān)系證明幾何問題，例如如圖4.55

24、，在ABC中，AB=AC，D為BC的邊上任意一點，DEAB，DFAC，CG是AB邊上的高。證明：CG=DEDF。證明時，可連結(jié)A、D，使ABC分成ABD和ADC兩個三角形。于是，有因AB=AC，故可用AB代替AC。所以，+得即 CG=DEDF8運(yùn)用圖形間的等量關(guān)系應(yīng)用弦圖解題我國古代有種圖形叫做“弦圖”（如圖4.56所示），有的數(shù)學(xué)家應(yīng)用它成功地證明了“勾股定理”。我國宋代著名數(shù)學(xué)家輝，在他著的田畝比類乘除捷法一書中，提出了這樣一個問題：有一塊長方形田，面積為864平方步（“步”是古代長度單位，1里=300步，1步=5尺），已知長比寬少12步，問：它的長、寬共是多少步？輝在該書上出示了一個弦圖

25、（如圖4.57），他是用四個面積為864共是60步。顯然，這樣運(yùn)用弦圖來解答題目，是十分高明和十分巧妙的！有些競賽題也可以用弦圖來巧解。第一屆“華羅庚金杯賽”中，就兩次出現(xiàn)了應(yīng)用弦圖來解答的題目。尤其是那一道決賽題：平方米。鋸下的木條面積是多少平方米？”仿輝的解法，可假定剩下4塊長方形木塊，并利用它拼成了一個“弦圖”，如圖4.58。于是可知，大正方形的面積為解縱橫交錯的復(fù)雜題把同樣大小的長方形有規(guī)律地縱橫交錯地放在一起，常常需要根據(jù)長、寬關(guān)系，找出等量關(guān)系來解答題目。例如如圖4.59，這是由同樣大小的紙片擺成的圖形，小紙片寬12厘米，求陰影部分的總面積。由圖可知，5個紙片的長=3個紙片的長+3

26、個紙片的寬，所以2個紙片長=3個紙片寬1個紙片長=1232=18（厘米）進(jìn)而可知，每個陰影部分的小正方形的邊長為18-12=6（厘米）陰影部分的總面積便是663=108（平方厘米）又如，“有9個長方形，它們的長、寬分別相等，用它們拼成的大長方形（如圖4.60）的面積是45平方厘米，求大長方形的周長?！苯忸}的關(guān)鍵，是求出一個小長方形的長和寬。由5個小長方形的寬等于形重新分割為5個小正方形，小正方形的邊長，正好是小長方形的寬（如圖4.61）。所以，5個小正方形面積之和，就是四個小正方形的面積之和，即5個小正方形面積為4594=20（平方厘米）每個小正方形的面積為205=4（平方厘米）顯然，每個小正

27、方形的邊長（即小長方形的寬）為2厘米，小長方形的長便是進(jìn)而便可求得大長方形的周長為2.54（2.52）2=29（厘米）。此外，題目還可這樣解答：因為小長方形寬的5倍等于長的4倍，所以，可用（4與5的最小公倍數(shù)）20個小長方形拼成一個大的正方形（如圖4.62）。大正方形面積是它的邊長便是10厘米，則小正方形的長為104=2.5（厘米）小正方形的寬為105=2（厘米）于是，原來的大長方形的周長就是（2.542.52）2=29（厘米）。用面積線段比的關(guān)系解題利用面積比與線段比之間的等量關(guān)系，常常能使復(fù)雜問題簡單化。例如為什么成立？由圖中可以看出，PBC和ABC是同底的兩個三角形，所以又如，第一屆“華羅庚金杯賽”上有過一道這樣的題目：“如圖4.64，一個長方形地面被兩條直線分成四個長方形，其中三個的面積是20公畝、25公畝和30公畝，另一個（圖中陰影部分）長方形的面積是多少公畝？”圖中可見，右邊兩個長方形是長一樣的長方形，它們的面積比等于它們寬的比；同樣，左邊兩個長方形也是長一樣的長方形