實(shí)變函數(shù)和泛函分析要點(diǎn)

1、 30/30 實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要第一章 集合 基本要求：理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性質(zhì)。掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其運(yùn)算性質(zhì)。會(huì)求已知集合的并、交、差、余集。了解對(duì)等的概念及性質(zhì)。掌握可數(shù)集合的概念和性質(zhì)。會(huì)判斷己知集合是否是可數(shù)集。理解基數(shù)、不可數(shù)集合、連續(xù)基數(shù)的概念。8、了解半序集和Zorn引理。第二章 點(diǎn)集 基本要求：理解n維歐氏空間中的鄰域、區(qū)間、開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、體積的概念。掌握內(nèi)點(diǎn)、聚點(diǎn)的概念、理解外點(diǎn)、界點(diǎn)、孤立點(diǎn)的概念。掌握聚點(diǎn)的性質(zhì)。掌握開(kāi)核、導(dǎo)集、閉區(qū)間的概念及其性質(zhì)。會(huì)求己知集合的開(kāi)集和導(dǎo)集。掌握開(kāi)核、閉集、完備集的概念及其性質(zhì)，掌握一批例子

2、。會(huì)判斷一個(gè)集合是非是開(kāi)（閉）集，完備集。了解Peano曲線概念。主要知識(shí)點(diǎn)：一、基本結(jié)論：聚點(diǎn)性質(zhì)2 中T1聚點(diǎn)原則：P0是E的聚點(diǎn) P0的任一鄰域內(nèi)，至少含有一個(gè)屬于E而異于P0的點(diǎn)存在E中互異的點(diǎn)列Pn，使PnP0 （n） 開(kāi)集、導(dǎo)集、閉集的性質(zhì)2 中T2、T3T2：設(shè)AB，則AB， eq o(sup 7(),sdo 4() eq o(sup 7(),sdo 4()， eq o(sup 8(),sdo 4() eq o(sup 7(),sdo 4()。T3：（AB）=AB.開(kāi)（閉）集性質(zhì)（3中T1、2、3、4、5）T1：對(duì)任何ER，是開(kāi)集，E和 eq o(sup 7(),sdo 4()都

3、是閉集。（稱(chēng)為開(kāi)核， eq o(sup 7(),sdo 4()稱(chēng)為閉包的理由也在于此）T2：（開(kāi)集與閉集的對(duì)偶性）設(shè)E是開(kāi)集，則CE是閉集；設(shè)E是閉集，則CE是開(kāi)集。T3：任意多個(gè)開(kāi)集之和仍是開(kāi)集，有限多個(gè)開(kāi)集之交仍是開(kāi)集。T4：任意多個(gè)閉集之交仍是閉集，有限個(gè)閉集之和仍是閉集。T5：（Heine-Borel有限覆蓋定理）設(shè)F是一個(gè)有界閉集， 是一開(kāi)集族UiiI它覆蓋了F（即F eq o(sup 7(),sdo 4()Ui），則 中一定存在有限多個(gè)開(kāi)集U1，U2Um，它們同樣覆蓋了F（即F eq o(sup 5(),sdo 3() Ui）（iI）開(kāi)（閉）集類(lèi)、完備集類(lèi)。開(kāi)集類(lèi)：R，開(kāi)區(qū)間，鄰域

4、、P閉集類(lèi)：R，閉區(qū)間，有限集，E、E、P完備集類(lèi)：R，閉區(qū)間、P二、基本方法：1、判斷五種點(diǎn)的定義；2、利用性質(zhì)定理，判斷導(dǎo)集、鄰域等；3、判斷開(kāi)集、閉集；4、關(guān)于開(kāi)閉集的證明。第三章 測(cè)度論 基本要求：理解外測(cè)度的概念及其有關(guān)性質(zhì)。掌握要測(cè)集的概念及其有關(guān)性質(zhì)。掌握零測(cè)度集的概念及性質(zhì)。熟悉開(kāi)集、閉集、區(qū)間、波雷樂(lè)集等可測(cè)集，掌握一批可測(cè)集的例子。會(huì)利用本章知識(shí)計(jì)算一些集合的測(cè)度。掌握“判斷集合可測(cè)性”的方法，會(huì)進(jìn)行有關(guān)可測(cè)集的證明。 要點(diǎn)歸納：外測(cè)度：定義：ER Ii（開(kāi)區(qū)間） eq o(sup 7(),sdo 4() IiE m*（E）=inf eq o(sup 8(),sdo 4()

5、Ii性質(zhì)：(1) 0m*E+（非負(fù)） （2）若AB則m*A m*B（單調(diào)性） （3）m* （ eq o(sup 8(),sdo 4()Ai） eq o(sup 8(),sdo 4()m*Ai（次可列可加性）可測(cè)集：ER 對(duì)任意的TR有：m*（T）= m*（TE）+ m*（TCE）稱(chēng)E為可測(cè)集，記為mE 其性質(zhì)： 1）T1：E可測(cè) AE BCE使m*（AB）= m*A+ m*B 2）T2：E可測(cè)CE可測(cè)運(yùn)算性質(zhì)：設(shè)S1、S2可測(cè)S1S2可測(cè)（T3）； 設(shè)S1、S2可測(cè)S1S2可測(cè) （T4）； 設(shè)S1、S2可測(cè)S1-S2可測(cè) （T5）。S1、S2Sn 可測(cè)Si可測(cè) （推論3） Si可測(cè)（T7）S1

6、、S2Sn 可測(cè)，SiSj=Si可測(cè) m(Si)= m(Si)(T6)Si遞增,S1S2S3lim(Si)=lim mSi=Ms(T8)Si遞降可測(cè), S1S2S3當(dāng)mS1是可測(cè)集，稱(chēng)（x）是E上的可測(cè)函數(shù)可測(cè)任意的R E是可測(cè)集任意的R E是可測(cè)集 任意的R E是可測(cè)集任意的，R E是可測(cè)集 （ 在eq o(sup 6(S ),sdo 2()Ei上可測(cè)（四則運(yùn)算） ，g在E上可測(cè)+g，g，1/ 在E上可測(cè)。極限運(yùn)算 n是可測(cè)函數(shù)列，則=inf n（x）=sup n可測(cè)（T5）F=lim n G=eq o(sup 7(),sdo 3(lim) n可測(cè)與簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系：在E上可測(cè) 總可以表成一列

7、簡(jiǎn)單函數(shù)n的極限函數(shù) =eq o(sup 7(lim),sdo 3( n )n，而且可以辦到1232.opO定理：mE0 存在子集EE 使得n在E上一致收斂 且m（E-E）0 閉子集EE 使得在E上連續(xù) 且m（E-E）即在E上a.e有限的可測(cè)函數(shù)是：“基本上連續(xù)”的函數(shù)。4可測(cè)函數(shù)類(lèi)：連續(xù)函數(shù)（T2）、簡(jiǎn)單函數(shù)、R上單調(diào)函數(shù)、零測(cè)度集上函數(shù)。5三種收斂之間的關(guān)系：（ERmE+）一致收斂測(cè)度收斂幾乎處處收斂 （ Riesz：fnf 則 fnif a.e于E ） Lebesgue：1） mE+；2）fn E 上a.e有限的可測(cè)函數(shù)列;3)fn E 上a.e收斂于a.e有限的ffnf(x) 在此mE

8、+條件下,可見(jiàn)測(cè)度收斂弱于a.e收斂 補(bǔ)充定理(見(jiàn)復(fù)旦3.2 T5) mEa 是可測(cè)集集合分解法，E=EiEiEj= f在Ei 上可測(cè)函數(shù)分解法，f可表為若干函數(shù)的運(yùn)算時(shí)幾乎處處相等的函數(shù)具有相同的可測(cè)性（1，T8）可測(cè)函數(shù)類(lèi)2判斷三種函數(shù)之間的關(guān)系第五章 積分論 基本要求：了解可測(cè)分劃、大（小）和、上（下）積分、有界函數(shù)L可積和L積分的概念。掌握有界函數(shù)L積分的性質(zhì)。理解非負(fù)函數(shù)L積分與L可積的概念。理解一般函數(shù)的L積分確定、L積分與L可積的概念。掌握一般函數(shù)的L積分的性質(zhì)。掌握L積分極限定理。弄清L積分與R積分之間的關(guān)系。熟練掌握計(jì)算L積分的方法。會(huì)利用L積分極限定理進(jìn)行有關(guān)問(wèn)題的證明。了

9、解有界變差函數(shù)的概念及其主要性質(zhì)。了解不定積分、絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的概念及它們的主要性質(zhì)。Lebesgue積分Riemann積分 分割、作和、取確界、求極限。Lebesgue積分定義1：E= eq o(sup 7(),sdo 4()Ei,各Ei互不相交，可測(cè)，則稱(chēng)Ei為E的一個(gè)分劃，記作D=Ei定義2：設(shè)f是定義在ER（mE）上的有界函數(shù)，D=Ei令B= eq o(sup 7(),sdo 4()f（x） bi= eq o(sup 7(),sdo 4()f（x）大和S（D，f）= eq o(sup 7(),sdo 4()BimEi = S（D，f）小和（D，f）= eq o(sup 7(),sdo 4

10、()bimEi=（D，f）（D，f）S（D，f）定義3：設(shè)f是定義在ER（mE）上的有界函數(shù)上積分： eq o(sup 7(),sdo 4()f（x）dx=inf S（D，f）下積分： eq o(sup 7(),sdo 4()f（x）dx=sup （D，f）若上下積分相等，則稱(chēng)f在E上可積，其積分值叫做L積分值，記（L）Ef（x）dxT1：設(shè) f是定義在ERq（mE）上的有界函數(shù)，則f在E上L可積任意的 0S（D，f）- （D，f）T2：f在E上L可積f在E上可測(cè) （*） 對(duì)有界函數(shù)而言，L可積可測(cè)T3：f，g有界，在E上可測(cè)，fg，fg，f/g，f可積T4：f在a，b上R可積L可積，且值相等

11、 *L積分的性質(zhì)：T-1（1）：f在E上L可積，則在E的可測(cè)子集上也L可積；反之，E=E1E2 E1E2= E1、E2可測(cè)，若f在Ei上L可積，則f在E上可積Efdx= E1fdx+ E2fdx （積分的可加性）（2）f，g 在E上有界可測(cè) E（f+g）dx=Efdx+Egdx （3）任意cR Ecfdx=cEfdx （4）f，g在E上L可積，且fg 則EfdxEgdx 特別地，bfB Efdx bmE，BmE 推論1：（1）當(dāng)mE=0 Efdx=0 （2）f=c Efdx=cmE（5）f在E上可積，則f可積，且EfdxEfdx T-2 （1）設(shè)f在E上L可積 f0 Efdx=0 則 f=0

12、a.e于E （2）f在E上L可積，則對(duì)任意的可測(cè)集A屬于E 使 eq o(sup 7(),sdo 4()Afdx=0 （絕對(duì)連續(xù)性） 推2：設(shè)f，g在E上有界可積，且f=g a.e于E 則 Efdx=E g dx 證明思路: E=E1E2 E1E2= E1=EfgE (f- g)dx = E1 +E2 (f- g)dx=0 注:1)在零測(cè)度集上隨意改變函數(shù)值,不影響積分值,甚至在E的一個(gè)零測(cè)度子集 上無(wú)定義亦可. 2)從E中除去或添加有限個(gè)或可數(shù)個(gè)點(diǎn)L積分值不變一般函數(shù)的積分非負(fù)函數(shù)：f, EE eq o(sup 7(),sdo 4()定義:f0 EE eq o(sup 7(),sdo 4()

13、 mE f(x)n= eq o(sup 7(),sdo 4() eq o(sup 7(),sdo 4()稱(chēng)fn為（E上）截?cái)嗪瘮?shù) 性質(zhì)：（1） f(x)n 有界非負(fù)， fn （2）單調(diào) f1f2f3 （3） eq o(sup 7(),sdo 4()fn=f（x）定義1：設(shè)f為非負(fù)（于E）可測(cè)（mE）稱(chēng)Efdx=E eq o(sup 7(),sdo 4()fnd x（若存在含無(wú)窮大）為f在E上的L積分當(dāng)E eq o(sup 7(),sdo 4()fnd x為有限時(shí)，稱(chēng)f為在E上的非負(fù)可積函數(shù)注：非負(fù)可積一定存在分 L積分 非負(fù)可積 一般函數(shù)的積分設(shè)f在E（mE+）上可測(cè)， f eq o(sup

14、7(),sdo 4() f eq o(sup 7(),sdo 4() 在E上非負(fù)可測(cè)，則f可測(cè)Ef eq o(sup 7(),sdo 4() dx Ef eq o(sup 7(),sdo 4()dx存在 f= f eq o(sup 7(),sdo 4()- f eq o(sup 7(),sdo 4()Ef dx=Ef eq o(sup 7(),sdo 4() dx-Ef eq o(sup 7(),sdo 4()dx定義 2：設(shè)f在E（mE+）上可測(cè)，若Ef eq o(sup 7(),sdo 4() dx和Ef eq o(sup 7(),sdo 4()dx不同時(shí)為+則稱(chēng)f在E上積分確定當(dāng)E f

15、dx+時(shí)，則稱(chēng)f在E上L可積注：f可測(cè) f的積分確定 f可積有界函數(shù) 非負(fù)函數(shù) 一般函數(shù) mE+L積分的性質(zhì)：定理1-（1）：若 mE=0，則 E f dx=0 （2）：f在E上可積mEf=+=0 f有限a.e于E同（R）（3）：f在E上積分確定 f在可測(cè)子集E1E上積分確定 E=E1E2(4):f在E上積分確定,f=g a.e于E則f,g的積分確定且相等幾乎處處相等的函數(shù)具有相同的可積性(值相等) 同(R)(5):f,g在E上非負(fù)可測(cè)E(f+g) dx=Ef dx+Efgdx 同(R)(6): f,g在E上積分確定fg Ef dxEfgdx L可積性質(zhì)定理2:有界可積函數(shù)性質(zhì)仍成立(5條)(

16、略)積分極限定理 T-1 L控制收斂定理設(shè)1）fn是E上一列可測(cè)函數(shù) 2）fnf（x） f為L(zhǎng)可積函數(shù) 3）fnf（fnf a.e 于E）則f是E上L可積函數(shù),且 eq o(sup 7(),sdo 4()E fnd x=E fd xL有界收斂定理設(shè)1）是E上一列可測(cè)函數(shù), mE+ 2）K（常數(shù)） 3）（a.e 于E）則是E上L可積函數(shù),且 eq o(sup 7(),sdo 4()Edx=EdxT-2(Levi)設(shè)是E上一列非負(fù)可測(cè)函數(shù),則 eq o(sup 7(),sdo 4()Edx=E eq o(sup 7(),sdo 4()dxT-3設(shè)是E上一列非負(fù)可測(cè)函數(shù),則Endx=Edx (逐項(xiàng)積

17、分定理)T-4(積分的可數(shù)可加性)f在可測(cè)集EE eq o(sup 7(),sdo 4()上的積分確定,且E= eq o(sup 7(),sdo 4()Ei其中Ei為互不交的可測(cè)集, 則 Edx= eq o(sup 7(),sdo 4()Eidx有界變差函數(shù) 分劃:T:a=x0 x1x2=constT-4(Lebesgue)設(shè)Va，b,則在a，b上幾乎處處存在導(dǎo)數(shù)f(x)f(x)在a，b上可積若f是增函數(shù),有 eq o(sup 8(),sdo 4() f(x)dxf(b)-f(a)不定積分定義1:設(shè)在a，b上L可積, La，ba,xdx稱(chēng)為在a，b上的不定積分定義2:設(shè)F(x) 是a，b上的有

18、界函數(shù),0 ，0 ai,bi不交,只要( bi- ai) 就有F(bi)-F(ai)0，存在0 使d（x，x）時(shí)，d（Tx，Tx）0（），當(dāng)，時(shí)，必有（xn，x）則稱(chēng)xn eq o(sup 6(),sdo 3()是中的柯西（Cauchy）點(diǎn)列或基本點(diǎn)列，如果（X，d）中每一個(gè)柯西點(diǎn)列都收斂，則稱(chēng)（X，d）是完備的度量空間有理數(shù)全體按絕對(duì)值距離構(gòu)成的空間不完備，而l eq o(sup 6(),sdo 3()是完備的度量空間度量空間中任一收斂點(diǎn)列是柯西點(diǎn)列；反之，度量空間的柯西點(diǎn)列未必收斂：完備度量空間的子空間，是完備空間的是中的閉子空間，（，上實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式全體作為，的子空間）是不完備的度量空間、

19、等距同構(gòu)定義：設(shè)（X，d），（ eq o(sup 6(),sdo 3()， eq o(sup 6(),sdo 3()）是兩個(gè)度量空間，如果存在從X到 eq o(sup 6(),sdo 3()上的保距映照T，則稱(chēng)（X，d）與（ eq o(sup 6(),sdo 3()， eq o(sup 6(),sdo 3()）等距同構(gòu)，此時(shí)T稱(chēng)為 eq o(sup 6(),sdo 3()上的等距同構(gòu)映照T：（度量空間完備化定理）設(shè)（X，d）是度量空間，那么一定存在完備度量空間（ eq o(sup 6(),sdo 3()， eq o(sup 6(),sdo 3()） 使（X，d）與（ eq o(sup 6(),

20、sdo 3()， eq o(sup 6(),sdo 3()）的某個(gè)稠密子空間W等距同構(gòu)，而且 eq o(sup 6(),sdo 3()在等距同構(gòu)下是唯一的。即若（，）也是一個(gè)完備的度量空間，且X與的某個(gè)稠密子空間等距同構(gòu)，則（ eq o(sup 6(),sdo 3()， eq o(sup 6(),sdo 3()）與（，）等距同構(gòu)。T：設(shè)X=（X，d）是度量空間，那么存在唯一的完備度量空間 eq o(sup 6(),sdo 3()=（ eq o(sup 6(),sdo 3()， eq o(sup 6(),sdo 3()），使X為 eq o(sup 6(),sdo 3()的稠密子空間6、壓縮映照定

21、義：X是度量空間，T是X到X的映照，如果存在一個(gè)數(shù)，0 x+yY xYY是X的子空間，X和0是平凡子空間。 線性相關(guān)，無(wú)關(guān)概念M是X的非空子集，M中任意有限個(gè)向量線性組合全體記為spanM稱(chēng)為由MX成的包定義：X是線性空間，M是X中線性無(wú)關(guān)子集，若spanM=X，則稱(chēng)M的基數(shù)為X的維數(shù)，記為dimX，M稱(chēng)為X的一組基，M的基數(shù)是有限時(shí)，則稱(chēng)為有限維線性空間，如果X只含有零元素，則稱(chēng)X 為0維線性空間。8、線性賦X空間定義：設(shè)X為實(shí)（復(fù)）線性空間，如果對(duì)每一個(gè)向量xX，有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，記為x 與之對(duì)應(yīng)，并且滿(mǎn)足： = 1 * roman ix0 且x=0 x=0 = 2 * roman iix

22、=x其中為任意實(shí)（復(fù)）數(shù) = 3 * roman iiix+yx+y x，yX則稱(chēng)x為向量x的X數(shù)，稱(chēng)X按X數(shù)x成為線性賦X空間xn eq o(sup 6(),sdo 3()是中的點(diǎn)列，如果存在xX，使xn -x0 （n）則稱(chēng)xn eq o(sup 6(),sdo 3()依X數(shù)收斂于x，記為xnx（n）或 eq o(sup 6(),sdo 3() xn= x令d（x，y）=x-y 是由X數(shù)導(dǎo)出的距離，由此觀之線性賤X空間實(shí)際上是一種特殊的度量空間。 若d由導(dǎo)出，對(duì)任意的R，x，yX，有： （a） d（x-y，0）= d（x，y）； （b）d（x，0）=| d（x，0）反之，X是線空間，d是距離

23、，滿(mǎn)足（a）和（b），那么一定可以在X上定義X數(shù)x使d是由X數(shù)導(dǎo)出的距離， x=d（x，0）x是x的連續(xù)函數(shù)，事實(shí)上，任意x，yX，由X數(shù)條件2）和3）易證| y-x|y-x，所以，當(dāng)xn -x0時(shí)xnx 完備的線性賦X空間稱(chēng)為巴拿赫空間（Banach Spaces）R eq o(sup 5(),sdo 3()x=（ eq o(sup 5(),sdo 3()|i| ） eq o(sup 5(),sdo 3() 構(gòu)成Banach空間Ca，b x=sup|x（t）| 構(gòu)成Banach空間:x=sup|i|構(gòu)成Banach空間L eq o(sup 6(),sdo 3()a，b p=（ eq o(su

24、p 6(),sdo 3()|（x）| eq o(sup 6(),sdo 3()dx）1/p構(gòu)成Banach空間 p1證明需用到引理1 和2引理1：（Hlder不等式）設(shè)p1，1/p+1/q=1， L eq o(sup 6(),sdo 3()a，b g L eq o(sup 6(),sdo 3()a，b 那么，g在a，b上L可積且成立： eq o(sup 6(),sdo 3()|（x）g（x）|dxpgq引理2：（Minkowsky不等式）設(shè)p1，g L eq o(sup 6(),sdo 3()a，b，那么+g L eq o(sup 6(),sdo 3()a，b 且成立：+gpp+gpT-2：L

25、 eq o(sup 6(),sdo 3()a，b （p1）是Banach空間5）l eq o(sup 6(),sdo 3()x=（ eq o(sup 5(),sdo 3()|i| eq o(sup 6(),sdo 3()）1/p是Banach空間T-3設(shè)X是n維線性賦X空間，（e1，e2，en）是X的一組基,則存在常數(shù)M和M使對(duì)一切 x= eq o(sup 5(),sdo 3()iei成立Mx( eq o(sup 5(),sdo 3()|i| ） eq o(sup 5(),sdo 3()Mx推論1:設(shè)在有限維線性空間上,定義了X數(shù)x和x1那么必存在常數(shù)M和M 使得 Mxx1Mx定義2:設(shè)R是線

26、性空間,x1和x2是R上兩個(gè)X數(shù),如果存在正數(shù)c1,c2,使對(duì)一切xR,成立: c1x2x1c2x2則稱(chēng)(R, x1)和(R, x2)是拓?fù)渫瑯?gòu)的推論2:任何有限維賦X線性空間都和歐氏空間拓?fù)渫瑯?gòu),相同維數(shù)的有限維賦X線性空間彼此拓?fù)渫瑯?gòu).線性賦X空間和線性連續(xù)泛函 基本要求：理解線性算子、線性泛函的概念。掌握線性有界算子的概念和有關(guān)性質(zhì)，以及二者這間的關(guān)系。了解算子的X數(shù)的概念，熟悉一些線性有界算子的例子，并知道無(wú)界算子是存在的。了解線性有界算子空間的概念和性質(zhì)。掌握共軛空間的概念和性質(zhì)，知道一些特殊空間的共軛空間。算子定義：線性賦X空間X到Y(jié)的映照T被稱(chēng)為算子，如果Y是數(shù)域，則被稱(chēng)為泛函線

27、性算子和線性泛函 T1： 設(shè)X和Y是兩個(gè)同為實(shí)（或復(fù)）的線性空間，()是X的線性子空間，T為到Y(jié)中的映照，如果對(duì)任意的x，y ，及數(shù)，成立： T（x+y）=Tx+Ty （1） T（x）=Tx （2）則稱(chēng)T為到Y(jié)中的線性算子，其中稱(chēng)為T(mén)的定義域，記為（T），T稱(chēng)為T(mén)的值域 記為(T)，當(dāng)T取值于實(shí)（或復(fù)）數(shù)域時(shí)，稱(chēng)T為實(shí)（或復(fù)）線性泛函幾種常見(jiàn)的線性泛函： 1、相似算子Tx=x 當(dāng)=1時(shí)，恒等算子，零算子； 2、P0，1是0，1上的多項(xiàng)式全體，定義微分算子，若t00，1，對(duì)xP0，1，定義（x）=x（t0）則是P0，1上的線性泛函。 3、積分算子 xCa，b Tx（t）= eq o(sup 5(

28、),sdo 3()x由積分線性性質(zhì)知T為線性泛函，若令= eq o(sup 5(),sdo 2()x則是Ca，b中的線性泛函 4、乘法算子 Tx（t）=tx（t） 5、R eq o(sup 5(),sdo 3()中的線性變換是線性算子線性有界算子 定義：設(shè)X和Y是兩個(gè)線性賦X空間，T是X的線性子空間（T）到Y(jié)中線性算子，如果存在常數(shù)c，使對(duì)所有x（T），有：Txcx，則稱(chēng)T是（T）到Y(jié)中的線性有界算子，當(dāng)（T）=X時(shí)，稱(chēng)T為X到Y(jié)中的線性有界算子，簡(jiǎn)稱(chēng)為有界算子。否則，稱(chēng)為無(wú)界算子。T-1：設(shè)T是線必性賦X空間X到線性賦X空間Y中的線性算子，則T為有界的充要條件是T是X 上的連續(xù)算子。T-2：

29、設(shè)X是線性賦X空間，是X上線性泛函，是X上連續(xù)泛函的的零空間（）是X中的閉子空間。定義：T為線性賦X空間X的子空間（T）到線性賦X空間Y中 線性算子，稱(chēng)Tx=s u p Tx/x 為算子T在（T）上的X數(shù) x0,x（T） 引理：T是（T）上線性有界算子，成立T=s u p Tx/x=Tx=s u p Tx/xx（T）,x=1 x（T）,x1 線性算子空間和共軛空間X和Y是兩個(gè)線性賦X空間,以(XY)表示由X到Y(jié)中線性有界算子全體.當(dāng)A和B屬于(XY)時(shí),是所討論的數(shù)域中的數(shù)時(shí),定義(XY)中加法運(yùn)算如下:對(duì)任意的xX,令(A+B)x=Ax+Bx(A)x=Ax則(XY)按照如上加法和數(shù)乘運(yùn)算和算

30、子X(jué)數(shù)構(gòu)成線性賦X空間.T:當(dāng)Y是Banach空間時(shí),(XY)也是Banach空間一般地,設(shè)X是線性賦X空間,如果在X中定義了兩個(gè)向量的乘積,并且滿(mǎn)足 xyxy x,yX則稱(chēng)X為賦X代數(shù),當(dāng)X完備時(shí),則稱(chēng)X為Banach代數(shù),由T知,當(dāng)X完備時(shí),(XY)是Banach代數(shù).共軛空間:設(shè)X是線性賦X空間,令X表示X上線性連續(xù)泛函全體所成的空間,稱(chēng)X為共軛空間.T:任何線性賦X空間的共軛空間是Banach空間.定義:設(shè)X和Y是兩個(gè)線性賦X空間,T是X 到Y(jié)中的線性算子,并且對(duì)所有的xX,有 Tx=x 則稱(chēng)T是X 到Y(jié)中的保距算子，如果又是映照到上的，則稱(chēng)是同構(gòu)映照，此時(shí)稱(chēng)與同構(gòu)內(nèi)積空間和希樂(lè)伯特空

31、間 基本要求：掌握內(nèi)積空間，希樂(lè)伯特空間的概念，熟悉一些具體例子。理解內(nèi)積與其誘導(dǎo)X數(shù)之間的關(guān)系。理解許瓦茲不等式和平行四邊形法則。了解凸集的概念，掌握正交的有關(guān)概念。掌握直交補(bǔ)空間的定義與性質(zhì)。理解投影算子的概念，掌握投影算子的性質(zhì)。內(nèi)積空間和希爾伯特空間定義：設(shè)是復(fù)線性空間，如果對(duì)中任何兩個(gè)向量,，有一復(fù)數(shù)，與之對(duì)應(yīng)，并且滿(mǎn)足下列條件:x,y 0 ，=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0,xX;+,z=，z+,z x y zX,C(復(fù)數(shù))，=,x x,y X則稱(chēng)，為x與y的內(nèi)積,X為內(nèi)積空間內(nèi)積引出的X數(shù) x=，引理(Schwarz不等式)設(shè)X按內(nèi)積，成為內(nèi)積空間,則對(duì)于X中任意向量x,y,成立不等式，xy

32、當(dāng)且僅當(dāng)x與y線性相關(guān)時(shí)取等號(hào).易得出:X數(shù)不等式x+yx+y內(nèi)積導(dǎo)出的X數(shù)x構(gòu)成線性賦空間,若完備,則稱(chēng)Hilbert空間.滿(mǎn)足平行四邊形法則. x+y eq o(sdo-4(),sdo 5()+x-y eq o(sdo-4(),sdo 5()=2（x eq o(sdo-4(),sdo 5()+y eq o(sdo-4(),sdo 5()）（內(nèi)積空間X數(shù)的特征性質(zhì)）如 L eq o(sdo-4(),sdo 5()a，b l eq o(sdo-4(),sdo 5() 是Hilbert空間，當(dāng)p2時(shí) lp不成為內(nèi)積空間Ca，b按X數(shù)x= eq o(sup 6(),sdo 3()x（t） 不成為內(nèi)

33、積空間極化恒等式（內(nèi)積與X數(shù)關(guān)系式）（內(nèi)積可用X數(shù)表示）x，y=1/4（x+y eq o(sdo-4(),sdo 5()-x-y eq o(sdo-4(),sdo 5()+ix+iy eq o(sdo-4(),sdo 5()-ix-iy eq o(sdo-4(),sdo 5()）當(dāng)X 為實(shí)內(nèi)積空間時(shí)，x，y=1/4（x+y eq o(sdo-4(),sdo 5()-x-y eq o(sdo-4(),sdo 5()）由Schwarz不等式，立得xn，ynx，y定義：設(shè)X是度量空間，M是X的非空子集，x是X中一點(diǎn)，稱(chēng)eq o(sup 6(inf),sdo 2(yM)d（x，y）為點(diǎn)x到M的距離，記

34、作d（x，M）在線性賦X空間中 d（x，M）=eq o(sup 6(inf),sdo 2(yM)x-y設(shè)X是線性空間，x，y是X 中的兩點(diǎn)，稱(chēng)集合z=x+（1-）y；01 為X中聯(lián)結(jié)點(diǎn)x和y的線段，記為x，y，如果M是X 的子集，對(duì)M中任意兩點(diǎn)x，y必有x，yM則稱(chēng)M為X中的凸集定理：（極小化定理）設(shè)是內(nèi)積空間，是中非空凸集，并且按中由內(nèi)積導(dǎo)出的距離完備，那么，對(duì)每一個(gè)xX，存在唯一的yM，使 x-y= d（x，M）推論1：設(shè)X是內(nèi)積空間，M是X 的完備子空間，則對(duì)每個(gè)xX，存在唯一的yM，使 x-y= d（x，M） （應(yīng)用于微方、現(xiàn)代控制論、逼近論）定義：設(shè)X是內(nèi)積空間，x，y是X中兩向量，

35、如果 x，y=0 則稱(chēng)垂直或正交，記為xy如果X的子集A中每個(gè)向量與子集B中每個(gè)向量正交，ABxy x+y2=x2+y2引理1：設(shè)X是內(nèi)積空間，M是X的線性子空間，xX，若存在yM使x-y= d（x，M），那么x-yM 定義2：直接和：Y和Z是X的子空間，對(duì)每一個(gè)xX，存在唯一的yY，Zz 使x=y+z，則稱(chēng)x為y和z的直接和。y和z稱(chēng)為一對(duì)互補(bǔ)子空間。Z稱(chēng)為Y的代數(shù)補(bǔ)子空間。 易知互補(bǔ)子空間必線性無(wú)關(guān)。定義3：設(shè)X 是內(nèi)積空間，M是X 的子集，稱(chēng)集合M=xMxM為M在X 中直交補(bǔ) M是X 中閉線性子空間定理2：設(shè)Y是Hilbert空間的閉子空間，那么成立 X=Y+Y直接和記作：X=YZ x=

36、y+z，y是x在Y中的直交投影。投影算子 Px=y 具有性質(zhì)：P是X到Y(jié)上的線性有界算子，且當(dāng)Y0時(shí)，P=1PX=Y，PY=Y，PY=0P2=P P是投影算子 P=P*=P2設(shè)X是內(nèi)積空間，M是X的子集，記（M）=M顯然有 MM反之有：引理2：設(shè)Y是Hilbert空間X的閉子空間，則成立 Y=Y引理3：設(shè)M是Hilbert空間X中非空子集，則M是線性包SpanM在X中稠密的充要條件是M=0定義4：設(shè)M是內(nèi)積空間中不含零的子集，若M中向量?jī)蓛芍苯?，稱(chēng)M為X中直交系，又若M 中向量X數(shù)為1，則稱(chēng)M為X 中的就X直交系。直交系的基本性質(zhì)：x1+x2+.+xn2=x12+x22+.xn2直交系M是X中

37、線性無(wú)關(guān)子集定義5:設(shè)X是線性賦X空間,xi, i=1,2,.是X中一列向量,1, 2,.n是一列數(shù),作形式級(jí)數(shù)eq o(sup 6( ),sdo 2()ixi 稱(chēng)Sn=eq o(sup 6(n ),sdo 2()ixi 為n項(xiàng)部分和若存在xX,使Snx 則稱(chēng)級(jí)數(shù)收斂,并稱(chēng)x為其和,記作x=ixi定義6:設(shè)M為內(nèi)積空間X 中就X直交系, xX,稱(chēng)數(shù)集 x，eeM為向量x關(guān)于就X直交系M的富里葉系數(shù)集,而稱(chēng)x，e為x關(guān)于e的Fourier系數(shù)引理:設(shè)X是內(nèi)積空間,M是X 中就X直交系,任取M中有限個(gè)向量e1,e2,.en那么:x-eq o(sup 6(n ),sdo 2()x，eiei2=x-e

38、q o(sup 6(n ),sdo 2()x，ei20 x-eq o(sup 6(n ),sdo 2()i eix-eq o(sup 6(n ),sdo 2()x，eiei其中i為任意的n個(gè)數(shù)定理(Bassel不等式)設(shè)ek是內(nèi)積空間X 中的有限或可列就X直交系,那么對(duì)每一個(gè)xX,成立不等式eq o(sup 6( ),sdo 2()x，ei2x2若上式等號(hào)成立,則稱(chēng)為Parseval等式引理：設(shè) ek 為Hilbert空間X中可列就X直交系，那么成立：（1）eq o(sup 6( ),sdo 2()iei收斂的充要條件是eq o(sup 6( ),sdo 2()i2收斂 （2）若x=eq o(

39、sup 6( ),sdo 2()iei 則i=x，ei i=1,2,.故x=eq o(sup 6( ),sdo 2()x，eiei對(duì)任意的xX,級(jí)數(shù)eq o(sup 6( ),sdo 2()x，eiei收斂推論1: 設(shè) ek 是X中可列就X直交系，則對(duì)任意的xX ， eq o(sup 6(lim),sdo 2(n)x，en=0定義:設(shè)M是內(nèi)積空間X的就X直交系,如果 spanM=X 則稱(chēng)M是X中的完全就X直交系.定理:設(shè)M是Hilbert空間X中就X直交系，M完全的充要條件是M=0定理:M是Hilbert空間X中完全就X直交系的充要條件是，對(duì)所有xX,Parseval等式成立.滿(mǎn)足定理?xiàng)l件的M

40、 X中的x可展成x=eq o(sup 6( ),sdo 2()x，ee稱(chēng)為向量x關(guān)于就X直交系M的Fourier展開(kāi)式. 推論2: (Ce定理)M是Hilbert空間X中就X直交系,若Parseval等式在某個(gè)稠密子集N上成立,則M完全.引理3:設(shè)xi是內(nèi)積空間X中有限或可列個(gè)線性無(wú)關(guān)向量,那么必有X中就X直交系e1,e2,.,使對(duì)任何正整數(shù)n,有spane1,e2,.en= spanx1,x2.xn本定理的證明過(guò)程稱(chēng)為Gram-Schmidt正交化過(guò)程定理4；每個(gè)非零Hilbert空間必有完全就X直交系。定義5：設(shè)X和 eq o(sup 6(),sdo 3()是兩個(gè)內(nèi)積空間，若存在X到 eq

41、 o(sup 6(),sdo 3()的映照T，使對(duì)任意的x，yX以及數(shù)，滿(mǎn)足T（x+y）=Tx+TyTx，Ty=x，y 則稱(chēng)X和同構(gòu)，并稱(chēng)T為X 到 eq o(sup 6(),sdo 3()上的同構(gòu)映照定理5：兩個(gè)Hilbert空間X與 eq o(sup 6(),sdo 3()同構(gòu)的充要條件是X與 eq o(sup 6(),sdo 3()有相同的維數(shù)。推論3：任何可分的Hilbert空間必和某個(gè)R eq o(sup 6(),sdo 3()或l eq o(sdo-4(),sdo 5()同構(gòu)定理（Riesz定理）設(shè)X是Hilbert空間，f是X上線性連續(xù)泛函，那么存在唯一的zX，使對(duì)每一個(gè)xX 有

42、 f（x）=x，z 并且 f=z對(duì)每個(gè)yX 令Ty=fy其中fy為X上如下定義的泛函： fy（x）=x，y ， xX顯然fy是X上線性連續(xù)泛函，由Riesz定理，T是X到X上的映照，X是X上線性連續(xù)泛函全體所成的Banach空間，又Ty=y。易看出，對(duì)任意的x，yX以及數(shù)，成立： T（x+y）= Tx+Ty （）事實(shí)上，對(duì)任何zX，有T（x+y）（z）=z，x+y=Tx（z）+Ty（z） =（Tx+Ty）（z）所以（）成立.稱(chēng)滿(mǎn)足（）的映照T是復(fù)共軛線性映照,Ty= fy是X到X上保X共軛線性映照,稱(chēng)為復(fù)共軛同構(gòu)映照,若存在H空間X到 eq o(sup 6(),sdo 3()上的復(fù)共軛同構(gòu)映照

43、,則稱(chēng)X與 eq o(sup 6(),sdo 3()是復(fù)共軛同構(gòu),此時(shí)將X當(dāng)成 eq o(sup 6(),sdo 3(),當(dāng)X是H空間時(shí),X=X,即X是自共軛的.定理：設(shè)X和Y是兩個(gè)H空間，A(XY)，那么存在唯一的A(XY)，使對(duì)任何的xX，yY，成立 Ax，y=x，Ay 且A=A定義：設(shè)A是H空間X到H空間Y中的線性有界算子，則上定理中算子A為A的Hilbert共軛算子，簡(jiǎn)稱(chēng)共軛算子。共軛算子有下列基本性質(zhì)：（A+B）=A+B（A）= A （A）=AAA=AA=A AA=0等價(jià)于A=0當(dāng)X=Y時(shí)，（AB）=BA定義：T為H空間X到X中的線性有界算子，若T=T，則稱(chēng)T為X上的自伴算子；若TT

44、=TT，則稱(chēng)T為X上正常算子；若T是X到X上的一對(duì)一映照，且T=T eq o(sup 6(),sdo 3()，則稱(chēng)T是X 上的酉算子。引理：T為復(fù)內(nèi)積空間X上線性有界算子，那么T=0對(duì)一切xX，成立 Tx，x=0定理：設(shè)T為復(fù)H空間X上線性有界算子，則T為自伴算子的對(duì)一切的xX， Tx，x 是實(shí)數(shù)。自伴的和與差仍為自伴，下面有：定理：T1和T2是H空間X上兩個(gè)自伴算子，則T1T2自伴的充要條件是T1T2=T2T1定理：設(shè)Tn是H空間X上一列自伴算子，并且 eq o(sup 6(),sdo 3()Tn=T，那么T仍為X上自伴算子。定理：設(shè)U及V是H空間X上兩個(gè)酉算子，那么U是保X算子，即對(duì)任何x

45、X，成立 Ux=x；當(dāng)X0時(shí)，U=1U eq o(sup 6(),sdo 3()是酉算子；UV是酉算子；若Un，n=1，2，是X上一列酉算子，且Un收斂于有界算子A，則A也為酉算子。定理：設(shè)T為復(fù)H空間上線性有界算子，那么T是酉算子T是映照到上的保X算子。定理：設(shè)T是復(fù)H空間X上線性有界算子，A+iB 為笛卡爾分解，則T為正常算子的AB=BA定理：設(shè)T為復(fù)H空間X 上線性有界算子，則T為正常算子對(duì)xX，成立 Tx=Tx巴拿赫空間中的基本定理 基本要求：掌握四大定理的條件和結(jié)論，了解與其相關(guān)的內(nèi)容。能進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明。 Banach spaces令p（x）=fzx，則p（x）是在整個(gè)X上有定義的泛

46、函，且滿(mǎn)足p（x）=p（x） xXp（x+y）p（x）+p（y） x，yX稱(chēng)X上滿(mǎn)足（1）和（2）的泛函為次線性泛函。定理1：（Hahn-Banach泛函延拓定理）設(shè)X是實(shí)線性空間，p（x）是X上次線性泛函，若是X 的子空間Z上的實(shí)線性泛函，且被p（x）控制，即滿(mǎn)足（x）p（x）， xZ，則存在X上的實(shí)線性泛函，使當(dāng)xZ時(shí)，有（x）= （x），并且在整個(gè)空間X上仍被p（x）控制，（x）p（x）， xX可以證明在全空間上定義的實(shí)線性泛函，使是f的延拓，且對(duì)一切的xX有（x） p（x）設(shè)是滿(mǎn)足下列三個(gè)條件的實(shí)線性泛函g全體： = 1 * roman i g的定義域（g）是X的線性子空間。 = 2

47、* roman ii g是f的延拓，即Z，且當(dāng)xZ時(shí)，成立g（x）=f（x） = 3 * roman iii 在上g被p（x）控制，即對(duì)一切x，有g(shù)p 。在中規(guī)定順序如下：若g1，g2，而g1，是g2的延拓（即（g1） （g2），并且當(dāng)x（g2）時(shí)，g1（x）=g2（x），就規(guī)定 g2g1，容易證明， 按這樣規(guī)定的順序成為半序集。定理2：設(shè)X是實(shí)或復(fù)的線性空間，p（x）是X上次線性泛函，（x）是定義在子空間上Z上的實(shí)或復(fù)的線性泛函，且滿(mǎn)足 （x）p（x） xZ 則存在X上線性泛函，它是的延拓，且滿(mǎn)足（x）p（x） xX定理3：設(shè)f是賦X線性空間X的子空間Z上的線性連續(xù)泛函，則必存在X上線性連續(xù)

48、泛函，它是f的保X延拓，即當(dāng)xZ時(shí)，有（x）=f（x） 并且X=fZ定理4：設(shè)X是線性賦X空間，x0X，x00，則必存在X上的線性有界泛函f（x），使得f=1，并且f（x0）= x0推論1：設(shè)X是賦X線性空間，xX，若對(duì)X 上所有線性連續(xù)泛函f，均有 f（x）=0， 則必有 x=0Ca，b的共軛空間定理（Riesz表示定理）Ca，b上每一個(gè)線性連續(xù)泛函F都可以表示為F（f）= eq o(sup 6(),sdo 3()f（t）dg（t）， fCa，b其中g(shù)（t）是a，b上囿變函數(shù)，并且F=（g）注：定理中得出的g（t）不一定唯一。但如果規(guī)定g（t）是正規(guī)化的囿變函數(shù)，即需要滿(mǎn)足g（a）=0且g（

49、t）右連續(xù)，那么g（t）可由F唯一地決定。共軛算子定理1：線性有界算子T的共軛算子T eq o(sup 6(),sdo 3()也是線性有界算子，并且T eq o(sup 6(),sdo 3()=T定義1：設(shè)M是度量空間X中的子集，如果M不在X的任何半徑不為零的開(kāi)球中稠密，則稱(chēng)M是X中的無(wú)處稠密集或疏朗集。定義2：設(shè)X是度量空間，M是X中子集，若M是X 中有限或可列個(gè)疏朗集的并集，則稱(chēng)M是第一綱集，不是第一綱的集稱(chēng)為第二綱集。定理1：（Baire綱定理）若X是非空的完備度量空間，則X是第二綱集。注：逆不成立，布爾巴基（Bourbaki）在1955年曾舉出反例，一個(gè)不完備的度量空間仍是第二綱集。定

50、理2：（一致有界定理或共鳴定理）設(shè)X是Banach空間，Y是賦X空間，(XY)表示X到Y(jié)中的線性有界算子全體，Tn(XY)，n=1，2，.若對(duì)每一個(gè)xX, Tnx有界,即TnxCx,n=1,2,.,這里Cx是一與x有關(guān)的實(shí)數(shù),那么, Tn一致有界,即存在與x無(wú)關(guān)的實(shí)數(shù)C,使用權(quán)對(duì)一切自然數(shù)n,成立TnC定理3:設(shè)是Banach空間X上的一列泛函,如果在X的每一點(diǎn)處有界,則一致有界.定理4:存在一個(gè)實(shí)值連續(xù)函數(shù),它的富氏級(jí)數(shù)在給定的to處是發(fā)散的. (共鳴定理在古典分析上的應(yīng)用)強(qiáng)收斂 弱收斂 和一致收斂 定義 :設(shè)X是賦X線性空間, xnX,n=1,2,.,如果存在xX,使xn-x0,則稱(chēng)點(diǎn)列

51、 xn eq o(sup 6( ),sdo 2(1)強(qiáng)收斂于x,如果對(duì)任意的fX,都有f(xn) f(x)則稱(chēng)點(diǎn)列弱收斂于x.定義:設(shè)X 是線性賦X空間,X是X的共軛空間,泛函列fnX(n=1,2,)如果存在fX,使得fn-f0,則稱(chēng) fn eq o(sup 6( ),sdo 2(1)強(qiáng)收斂 于f對(duì)任意的xX,都有fn(x)-f(x)0,則稱(chēng) fn eq o(sup 6( ),sdo 2(1)弱*收斂 于f;若對(duì)任意的F(X) ,都有F(fn)F(f)則稱(chēng) fn eq o(sup 6( ),sdo 2(1)弱收斂 于f .注:弱*收斂 和弱收斂 只在自反的空間中等價(jià)定義:設(shè)X 和Y是兩個(gè)線性賦

52、X空間,Tn(XY),若存在T(XY)使得Tn-T0,則稱(chēng)算子列Tneq o(sup 6( ),sdo 2(1)一致收斂于T.對(duì)任意的xX, Tnx-Tx0,則稱(chēng)Tn強(qiáng)收斂于T.對(duì)任意的xX和任意的fY,f(Tnx) f(Tx),則稱(chēng)Tn弱收斂 于T.T-1:設(shè)Tn是Banach空間X到Banach空間Y中的線性有界算子序列,則Tn強(qiáng)收斂(1)Tn 有界;(2)對(duì)X中一稠密子集D中的x, Tn xeq o(sup 6( ),sdo 2(1)收斂注:將T-1用于泛函情形,可知Banach空間X上任一列泛函fn,如弱收斂,必定有界;反之,有界泛函 fn若在X的一個(gè)稠密子集上收斂,則必弱*收斂.逆算

53、子定理(開(kāi)映照定理)T-1:設(shè)X 和Y都有是Banach空間,如果T是從X到Y(jié)上的一對(duì)一線性有界算子,則T的逆算子T-1也是線性有界算子.引理:設(shè)T是Banach空間X到Banach空間Y上的線性有界算子,則X 中單位球 Bo=B(0,1)=xx1 的像TBo包含一個(gè)以零點(diǎn)為心的球.定義: 設(shè)X和Y是兩個(gè)度量空間,f是X到Y(jié)中的映照,若f將X 中的開(kāi)集映成Y中的一開(kāi)集,則稱(chēng)f是開(kāi)映照. 定義:設(shè)X和Y是兩個(gè)賦X空間,T是X 的子空間(T)到Y(jié)中的線性算子,稱(chēng)XY中的集合 G(T)=(x,y) x(T),y=Tx為算子T的圖像. 在XY中,定義(x,y)=x+y,易知XY按此X數(shù)成線性賦X空間,

54、如果G(T)是X中的閉集,則稱(chēng)T是閉算子.定理:(閉圖像定理)設(shè)X和Y是Banach空間,T是(T)X到Y(jié)上閉線性算子,如果(T)是閉的,則T是有界算子.注:定理表明,一個(gè)閉算子,若無(wú)界,其定義域一定不是閉集;若閉算子T的定義域是閉集,那么,T是有界算子.Banach空間上的無(wú)界算子,其定義域至多只能在X中稠密,而絕不是整個(gè)X.如微分算子的定義域是Ca,b中稠密子集C1a,b,而不能是Ca,b 線性算子的譜理論要求：了解有關(guān)譜的的概念和基本理論，掌握全連續(xù)算子的譜分解理論，了解酉算子、共軛算子、正規(guī)算子的譜分解理論，并在此基礎(chǔ)上具備進(jìn)一步學(xué)習(xí)和拓展知識(shí)的能力。線性算子的譜理論定義1:設(shè)X是賦X

55、空間,T(XX),若T-1存在,且是定義在整個(gè)X上的有界線性算子,則稱(chēng)T是X上的正則算子.正則算子性質(zhì): T正則存在有界算子B(XX),使得 BT=TB=I I為恒等算子 A,B正則 T=AB也是正則算子,且(AB)-1=B-1A-1定義2:設(shè)T(XX),是復(fù)數(shù),若(T-I)正則,稱(chēng)是算子T的正則點(diǎn);T的正則點(diǎn)的全體稱(chēng)為T(mén)的正則集或豫解集,記為(T); 不是正則點(diǎn)的復(fù)數(shù)稱(chēng)為T(mén)的譜點(diǎn);全體構(gòu)成T的譜,記為(T).定義3:(譜的分類(lèi))設(shè)(T)即T-I不存在有界逆算子,可分三種情況:如果T-I不是一對(duì)一的,此時(shí)存在xX,x0,使(T-I)x=0即Tx=x,此時(shí)稱(chēng)是算子T的特征值,x稱(chēng)為相應(yīng)于特征值的

56、特征向量.T的特征值的全體稱(chēng)為T(mén)的點(diǎn)譜,記為(T);(T-I)是一對(duì)一的,但值域不充滿(mǎn)全空間,即(T-I)E (T-I)=E(T-I)是X到X上的一對(duì)一算子,但(T-I)-1不是有界的.(T-I)E(2)類(lèi)譜點(diǎn)稱(chēng)為T(mén)的連續(xù)譜,記為C(T),(3)類(lèi)譜點(diǎn)稱(chēng)為T(mén)的剩余譜,記作r(T)。由逆算子定理可知,X是Banach空間時(shí),(3)不出現(xiàn).本節(jié)均指Banach空間.舉例1:乘法算子：（Tx）（t）=tx（t）設(shè)0，1, 在C0，1上定義算子R：（R）x（t）=x（t）/（-t）R是定義在C0，1上，且值域包含在C0，1中的線性有界算子。R（I-T）x（t）=（I-t）Rx（t）=x（t）是T的正則

57、值。當(dāng)0，1，t=時(shí)，（-t）x（t）=0，當(dāng)x跑遍C0，1時(shí)，（-t）x（t）的全體組成的集在C0，1中不稠密。不難證明非特征值，綜上，0，1，屬于剩余譜。例2.復(fù)C0，1中伏泰拉積分算子：（Tx）（t）=x（s）ds當(dāng)0時(shí)，（I-T）x（t）=y（t）等價(jià)于x（t）=y（t）+x（s）ds上方程存在唯一解，故I-T存在逆算子，且有界。若=0，由（Tx）（t）=x（s）ds可知T的值域是滿(mǎn)足y（0）=0的一切連續(xù)可微函數(shù)y（t）組成的集，它在C0，1中不稠密，=0不能為特征值，故有=0屬于剩余譜 。例3. 在復(fù)空間Lp 0，1（1p+）中定義算子: （Tx）（t）=tx（t）+x(s)ds

58、T是值域包含在Lp 0，1中的有界線性算子,當(dāng)(0, 1時(shí),可以證明區(qū)間0, 的特征函數(shù)x (t)= 是算子T對(duì)應(yīng)于的特征元.其實(shí),當(dāng)0t時(shí),(Tx)(t)=tx(t)+eq o(sup 6(1 ),sdo 2(t)x (s)ds=當(dāng)t1時(shí), Tx(t)=0 Tx(t)= x(t) ( t0,1)當(dāng)0,1時(shí),可以證明方程 (I-T)x=0 只有零解 ,即算子I-T是一一對(duì)應(yīng)的.可以驗(yàn)證I-T有有界逆算子(I-T)-1,即是T的正則值. =0可自行討論.例4. 表示1中只有有限座標(biāo)不為零的元素全體.即當(dāng)x時(shí),x=(x1,x2,xn,0,0)上X數(shù)x=xi上定義算子Bx=( x1,x2/2,xn/

59、n,0,0)則B是上一對(duì)一的線性算子.=0不是特征值,易知B-1x=( x1,2x2,nxn,0,0)顯然B-1定義在整個(gè)上,但是無(wú)界算子.所以,=0屬于剩余譜.補(bǔ)充(復(fù)旦下) 定義:B是線性賦X空間上線性有界算子,稱(chēng)r(B)=為B的譜半徑.有估計(jì)式， suplimBn r(B)B定理: ()設(shè)B 是Banach空間的線性有界算子.則r(B)= lim （(B)）定理:非零的Banach空間E上的任何有界線性算子B必有譜點(diǎn).定義:B是線性賦X空間E到E上的線性有界算子,如果 lim=0,則稱(chēng)B為廣義冪零算子.定義:設(shè)B 是賦X線性空間E上線性有界算子,是一復(fù)數(shù),如果存在一列向量xnE使(I-B

60、) xn0,則稱(chēng)是B的近似譜點(diǎn).定理:設(shè)B是Banach空間E上的線性有界算子,當(dāng)(B)(B)時(shí),必是近似譜點(diǎn).而且此時(shí)或是特征值,或者(I-B)-1是無(wú)界算子. T-1:T(XX),T1,則1(T),這時(shí)I-T有定義,在全空間上的有界逆算子 (I-T)-1=Tn=I+T+T2+這里級(jí)數(shù)按(XX)X數(shù)收斂 T-2(譜集的閉性) T (XX),則(T)是開(kāi)集, (T)是閉集.T-3: T(XX),則(T)是有界閉集,當(dāng)(T)時(shí),有T.由此知(T)非空.緊集和全連續(xù)算子定義1: (緊集和相對(duì)緊集)設(shè)以量空間,M是X 中子集,如果對(duì)M中任意點(diǎn)列xneq o(sup 6( ),sdo 2(1)都存在子