初中數(shù)學(xué)破題致勝微方法(等腰直角三角形中的手拉手模型)等腰直角三角形與正方形手拉手

1、等腰直角三角形與正方形手拉手例：已知，在ABC中，/BAC=90,AB=AC點(diǎn)D在直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與BC重合)，以AD為邊作正方形ADEF連接CF,如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：CF=BDCFBD;如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，線段CF與BD的上述關(guān)系是否還成立？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論即可(不必證明)；如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段的反向延長(zhǎng)線上，且點(diǎn)A、F在直線BC的兩端，其他條件不變，線段CF與BD的上述關(guān)系是否還成立？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.分析：(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出/ABC4ACB=45,正方形的性質(zhì)可得AD=AF,/DAF=90,

2、然后利用同角的余角相等求出/BAD=/CAR再利用“邊角邊”證明ABD和ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=BD全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得/ACF=/ABR然后求出/BCF=90，再根據(jù)垂直的定義證明即可；(2)結(jié)論仍然成立；(3)同(1)可證AB/口ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=BD全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得/ACF=ZABD=135,然后求出/BCF=90,再根據(jù)垂直的定義證明即可.解：（1）./BAC=90,AB=AC./ABC=ZACB=45.四邊形ADEF是正方形，AD=AF,ZDAF=90,./BAD-+ZCADWBAC=90,/CAF+/CADWDAF=9

3、0,./BAD4CAF,ABAC在ABD和AACF中，BADCAF,ABtACF,所以CF=BD/ACF=/ABD,ADAF/BCF之ACB+ZACF=45+45=90,.CFLBD;(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，線段CF與BD的上述關(guān)系仍然成立；(3)當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長(zhǎng)線上，且點(diǎn)AF在直線BC的兩側(cè)，線段CF與BD的上述關(guān)系仍然成立.理由：同理可證，ABNACF.CF=BD/ACF=ZABD=180-45=135,./ACB=45,.BCF=/ACF-ZACB=135-45=90,.CFBD.總結(jié)：兩個(gè)等腰直角三角形共直角頂點(diǎn)為手拉手模型之一，如圖，其中有等腰直角三角形和正方形共直角

4、頂點(diǎn)，相當(dāng)于兩個(gè)等腰直角三角形“手拉手”，因?yàn)檎叫纹渲幸粋€(gè)對(duì)角線與兩邊就可形成等腰直角三角形，所以有全等三角形及其性質(zhì)的應(yīng)用練習(xí)：在4ABC中，AB=AC/BA(=90，點(diǎn)D在射線BC上(與BC兩點(diǎn)不重合)，以AM邊作正方形ADEF使點(diǎn)E與點(diǎn)B在直線AD的異側(cè)，射線BAW射線CF相交于點(diǎn)G(1)若點(diǎn)D在線段BC上，如圖1.依題意補(bǔ)全圖1;判斷BC與CGW數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并加以證明；(2)若點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且G為CF中點(diǎn)，連接GEAB=J2,則GE的長(zhǎng)為,并簡(jiǎn)述求GEK的思路.解:(1)補(bǔ)全圖形，如圖1所示.圖1BC和CG的數(shù)量關(guān)系：BCCG ,位置關(guān)系：BC證明：如圖1. AB AC, BAC 90 ,BACB 45 ,12 90.射線BA、CF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G四邊形ADEF為正方形，DAF13.ABD叁、ACF.BG45,BCG90. CAG BAC 90 .23 90 , AD AF .BACF 45 .BC CG , BC CG .思路如下：a.由G為CF中點(diǎn)畫(huà)出圖形，如圖2所示.b.與同理，可得BD=CFBCCG,BCCG；c.由AB22,G為CF中點(diǎn)，可得BCCGFGCD2；d.過(guò)點(diǎn)A作AMBD于M,過(guò)點(diǎn)E作E