列方程解分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題

1、列方程解分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題一、引入。一堆球，有紅、黃兩種顏色首先數(shù)出的50個(gè)球中有49個(gè)紅球；以后每數(shù)出的8個(gè)球中都有7個(gè)紅球一直數(shù)到最后8個(gè)球，正好數(shù)完如果已知紅球占總數(shù)的90，那么這堆球有多少個(gè)?這道題中取的次數(shù)、紅球數(shù)、球的總數(shù)都是未知數(shù)量，如果考慮用算術(shù)方法解決問(wèn)題，會(huì)非常困難。我們不如換一個(gè)思考問(wèn)題的角度，用代數(shù)方法解決問(wèn)題。解：設(shè)取次后，紅球占90則球的總數(shù)為50+8x，紅球數(shù)為49+7 =90 =20所以這堆球有50+820=210個(gè)。我們?cè)诮獯鸱謹(jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到一些數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的題目。用算術(shù)方法來(lái)思考，往往把未知量置于特殊位置，使解題方法和思路受到限制，造

2、成解題困難。列方程解分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，由于用字母表示未知數(shù)，未知數(shù)能直接參加列式和運(yùn)算，因而思路直接，解法靈活。這一講我們就來(lái)學(xué)習(xí)列方程解分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題。二、探索新知。例1：商場(chǎng)運(yùn)來(lái)空調(diào)和彩電共152臺(tái)，賣出彩電的和5臺(tái)空調(diào)后，剩下的空調(diào)和彩電臺(tái)數(shù)正好相等，商店運(yùn)來(lái)彩電多少臺(tái)？題目中“賣出彩電的和5臺(tái)空調(diào)后，剩下的空調(diào)和彩電臺(tái)數(shù)正好相等”這一條件是在間接呈現(xiàn)彩電與空凋臺(tái)數(shù)之間的關(guān)系，請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)線段圖理解這一關(guān)系。從圖中可以看出，空調(diào)的臺(tái)數(shù)比彩電臺(tái)數(shù)的（1- EQ F(1,11) ）多5臺(tái)，運(yùn)用假設(shè)法可以解決問(wèn)題。（152-5）（1+1- EQ F(1,11) ）=77（臺(tái)）利用算術(shù)方法

3、解決問(wèn)題，不僅需要利用線段圖準(zhǔn)確理解題目條件間接呈現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系，還要運(yùn)用假設(shè)的方法對(duì)題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化。很多同學(xué)在運(yùn)用假設(shè)方法時(shí)，由于搞不清是該給總臺(tái)數(shù)增加5臺(tái)還是減少5臺(tái)，經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤。運(yùn)用代數(shù)方法就可以回避這些問(wèn)題。由于題目的問(wèn)題是商店運(yùn)來(lái)彩電多少臺(tái)？我們就設(shè)彩電運(yùn)來(lái)x臺(tái)，則空調(diào)運(yùn)來(lái)（152x）臺(tái)。根據(jù)“剩下的空調(diào)和彩電臺(tái)數(shù)正好相等”這一等量關(guān)系，我們可以列方程解答。 解：設(shè)商店運(yùn)來(lái)彩電x臺(tái)，則空調(diào)運(yùn)來(lái)（152x）臺(tái)。 xx=152x5 x=147x xx=147 x=77答：商店運(yùn)來(lái)彩電77臺(tái)。由于題目中間接交待了彩電和空調(diào)數(shù)量之間的關(guān)系，解決間接呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，代數(shù)方法有著明顯的優(yōu)勢(shì)，因

4、為設(shè)未知數(shù)后我們可以用含有字母的式子表示隱蔽的數(shù)量關(guān)系。解決例1，我們采用了直接設(shè)未知數(shù)的方法，即題目中求什么，就設(shè)什么為x。例2：天竺小學(xué)六年級(jí)一班有學(xué)生若干人，其中男生占，后來(lái)又轉(zhuǎn)來(lái)6名男生，這時(shí)男生正好占全班人數(shù)的，這個(gè)班現(xiàn)有男生多少人？ EQ F(5,12) 和 EQ F(1,3) 分別以誰(shuí)為單位“1”？它們表示的數(shù)量關(guān)系是什么？ 通過(guò)思考問(wèn)題，讓學(xué)生準(zhǔn)確理解條件，明確男生人數(shù)、全班人數(shù)都發(fā)生了變化，兩個(gè)分率的單位1并不相同。你會(huì)設(shè)未知數(shù)，用字母表示全班人數(shù)、男生人數(shù)、女生人數(shù)嗎？通過(guò)思考，讓學(xué)生體會(huì)到：如果直接設(shè)男生為x人，根據(jù)題目數(shù)量之間的關(guān)系很難列出方程，這里我們不妨設(shè)六一班原來(lái)

5、共有x個(gè)同學(xué)，那么原來(lái)的男生人數(shù)就可以用x來(lái)表示，后來(lái)男生人數(shù)就可以用（x6）來(lái)表示；原來(lái)女生可以用（1-x）表示，現(xiàn)在女生可以用（1-）（x6）表示。解：設(shè)天竺小學(xué)六一班原來(lái)有學(xué)生x人。（x6）=x +6x3x=6 x=3 x=36（x6）=（366）=21（人）答：這個(gè)班現(xiàn)有男生21人。思考：如果用女生人數(shù)相等可以怎樣列方程呢？例2設(shè)未知數(shù)的方法與例1不同，它不像例1那樣求什么，設(shè)什么，而是先設(shè)六一班共有學(xué)生x人，然后再通過(guò)這個(gè)未知數(shù)男生人數(shù)，這種設(shè)未知數(shù)的方法叫做間接設(shè)法。這兩種設(shè)未知數(shù)的方法，我們要根據(jù)具體的問(wèn)題靈活運(yùn)用。例2中男生人數(shù)的變化帶來(lái)了全班總?cè)藬?shù)的變化，解決數(shù)量有變化的問(wèn)題

6、，代數(shù)方法有著明顯的優(yōu)勢(shì)，因?yàn)樵O(shè)未知數(shù)后我們可以用含有字母的式子表示變化后的數(shù)量。例3：王老師有兩張存本取息的存單，共4500元。一張存單的存款利率為4%，另一張存單的存款利率為5%。如果她這兩筆存款每年得到的利息相同，那么她每年兩筆存款得到多少利息？題目只給了兩張存單共4500元，而沒(méi)有給兩張存單的金額各是多少元，而計(jì)算利息需要知道存款金額。代數(shù)方法可以幫我們解決這一問(wèn)題，如果設(shè)利率為4%的存單有x元，你能用含有字母的式子表示哪些數(shù)量？解：設(shè)第一張存單的金額為x元，則第二張存單為（4500-x）元。4%x=5%（4500-x）4x=5（4500-x）9x=45005 X=2500第一張存單的

7、利息為：4%x=4%2500=100（元）兩張存單的利息為1002=200（元）答：王老師每年從這兩張存單上得到200元的利息。這是一道利率問(wèn)題，我們運(yùn)用兩張存單的總錢(qián)數(shù)是4500元設(shè)未知數(shù)，用兩張存單獲得的利息相等這一等量關(guān)系列方程。在列方程時(shí)要用到利率問(wèn)題最基本的數(shù)量關(guān)系：本金年利率=利息。（四）學(xué)習(xí)例4。例4：有兩堆棋子，A堆有黑子350和白子500個(gè)，B堆有黑子400個(gè)和白子100個(gè)為了使A堆中黑子占50，B堆中黑子占75，那么要從B堆中拿到A堆黑子多少個(gè)?白子多少個(gè)? 你如何理解“A堆中黑子占50”這一條件？題中條件“A堆中黑子占50”，可以理解為：“A堆中的白子與黑子一樣多”?，F(xiàn)在

8、A堆中白子比黑子多500-350=150個(gè)，所以從B堆中拿到A堆的棋子中，黑子應(yīng)比白子多150個(gè)。如果設(shè)從B堆中拿白子個(gè)，你能用字母表示哪些數(shù)量？如果設(shè)從B堆中拿白子個(gè)，則可以表示出：從B堆中拿黑子(+150)個(gè)，此時(shí)B堆有棋子（400100）x（x150）個(gè)，其中黑子有400（x150）個(gè)。根據(jù)上面用字母表示的數(shù)量和B堆中黑子占75%這一等量關(guān)系列方程解答。解：設(shè)從B堆中拿白子個(gè)，則拿黑子(+150)個(gè)。 =75% 4400（x150）=3（400100）x（x150） 4250-x=33502x X=25 黑子：25150=175（個(gè)）答：要從B堆中拿到A堆黑子175個(gè)，白子25個(gè)。本題分

9、析的關(guān)鍵是根據(jù)“A堆有黑子350和白子500個(gè)”和“A堆中黑子占50”這兩個(gè)條件，挖掘出“B堆中拿到A堆的棋子中，黑子應(yīng)比白子多150個(gè)”這一隱蔽條件，運(yùn)用這一隱蔽條件設(shè)未知數(shù)，再利用B堆中黑子占75%這一等量關(guān)系列方程解答。例5：現(xiàn)有濃度為10%的酒精溶液20千克，再加入多少千克濃度為30%的酒精溶液，可以得到濃度為22%的酒精溶液？解決這道題首先要理解什么是“酒精溶液”，純酒精溶液溶解于水得到的混合液，濃度為10%的酒精溶液是指純酒精占溶液總量的10%。兩種溶液混合過(guò)程中，純酒精的總量不變，根據(jù)混合前后純酒精相等這一等量關(guān)系，可以列方程解答。解：設(shè)需要加入x千克濃度為30%的酒精溶液。20

10、10%30%x=（20 x）22% 230%x=4.422%x 30%x22%x=4.42 8%x=2.4 X=30答：需要加入30千克濃度為30%的酒精溶液。例5是濃度問(wèn)題，將純酒精溶于水就得到酒精溶液。酒精溶液=純酒精水，我們把純酒精叫做溶質(zhì)，水叫做溶劑，純酒精和水的混合液叫做溶液，純酒精與酒精溶液的比值叫做濃度。溶質(zhì)、溶劑和濃度具有以下基本關(guān)系式：溶液的質(zhì)量=溶質(zhì)的質(zhì)量溶劑的質(zhì)量濃度=100%解決濃度問(wèn)題，要能正確理解濃度的含義及相關(guān)數(shù)量關(guān)系。例6：甲容器中有純酒精22升，乙容器中有水30升，第一次將甲容器中的一部分純酒精倒入乙容器，使酒精與水混合，第二次將乙容器中的一部分混合溶液倒入甲

11、容器。這時(shí)甲容器中酒精溶液的濃度為62.5%，乙容器中酒精濃度為25%。求第二次從乙容器倒入甲容器的混合溶液有多少升？第二次從乙容器中倒一部分混合溶液給甲容器，乙容器中剩下酒精溶液的濃度為25%。也就是說(shuō)，第一次從甲容器中倒部分純酒精給乙容器，混合后乙容器中純酒精含量是25%。由于此時(shí)乙容器中水的質(zhì)量不變，根據(jù)“溶液總量=水的質(zhì)量水所占的百分比”可求出此時(shí)乙容器中溶液總量，這樣就可以計(jì)算出從甲容器中倒入乙容器的純酒精的量。雖然溶液在兩個(gè)容器中倒來(lái)倒去，濃度的變化較大，但從整體上看，純酒精的總量始終是22升，利用這一不變的量可以列方程解答。解：第一次從甲容器倒入乙容器的純酒精有30（125%）3

12、0=10（升） 此時(shí)甲容器有純酒精2210=12（升），乙容器有濃度為25%的酒精溶液3010=40（升）。設(shè)從乙容器倒入甲容器的混合溶液有x升（12x）62.5%（40 x）25%=22 7.562.5%x1025%x=22 17.537.5%x=4.5 X=12答：第二次從乙容器倒入甲容器的混合溶液有12升。本題是比較復(fù)雜的濃度問(wèn)題，在分析中我們兩次利用了“變中抓不變”的方法。第一次利用從甲容器倒入乙容器純酒精時(shí)，乙容器中水的質(zhì)量不變，求出了倒入乙容器的純酒精的量；第二次利用甲、乙兩容器中酒精的總量不變列方程。在解決比較復(fù)雜的濃度問(wèn)題時(shí)， “抓住不變量”列方程是經(jīng)常采用的方法。三、練習(xí)應(yīng)用

13、。1一桶油用去總數(shù)的，又買(mǎi)來(lái)85千克，這時(shí)油的質(zhì)量恰好是原來(lái)的，原來(lái)有油多少千克？2一包糖，有奶糖和水果糖兩種，其中奶糖占總數(shù)的，再放入18塊水果糖后，那糖占總數(shù)的，奶糖有多少塊？3某廠向銀行申請(qǐng)甲、乙兩種貸款共30萬(wàn)元。每年需付利息4萬(wàn)元。甲種貸款的年利率為12%，乙種貸款的年利率為14%，該廠申請(qǐng)甲、乙兩種貸款的金額是多少？4某人到商店買(mǎi)紅、藍(lán)兩種筆，紅筆定價(jià)5元，藍(lán)筆定價(jià)9元，由于購(gòu)買(mǎi)量較多，商店給與優(yōu)惠：紅筆八五折，藍(lán)筆八折，結(jié)果此人付的錢(qián)比原來(lái)節(jié)省了18%，已知他買(mǎi)了藍(lán)筆30支，那么紅筆買(mǎi)了多少支？5現(xiàn)有濃度為20%的鹽水700克，要把它變成濃度為30%的鹽水，需要加鹽多少克？6甲容

14、器中有濃度為8%的鹽酸溶液300克，乙容器中有濃度為12.5%的鹽酸溶液120克。現(xiàn)在往兩個(gè)容器中加入同樣多的蒸餾水，使兩個(gè)容器中鹽酸溶液的濃度相同。每個(gè)容器中應(yīng)加蒸餾水多少克？四、趣味驛站。小明答對(duì)幾道題？一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中。小紅：我答對(duì)了7道題。小明：我答錯(cuò)的題目占總數(shù)的，已知，兩人都答對(duì)的題目占題目總數(shù)的，你能算出小明答對(duì)幾道題嗎？這是一道拓寬同學(xué)解題思路的開(kāi)放題。解題的關(guān)鍵是給這些題目一一分類。這些題目共分為四類：第一類：小明對(duì)，小紅對(duì)第二類：小明錯(cuò)、小紅錯(cuò)第三類：小明對(duì)、小紅錯(cuò)第四類：小明錯(cuò)、小紅對(duì)用字母a表示用字母b表示用字母c表示用字母d表示根據(jù)題目中條件，我們可以找到很多的等量關(guān)系式。具體解法如下：解：設(shè)共有n道題。b+d=n 小明小紅都答錯(cuò)的題小明獨(dú)自答錯(cuò)的題=小明共答錯(cuò)的題ad=7 甲小紅都答對(duì)的題小紅獨(dú)自答對(duì)的題=小紅共答對(duì)的題a=n 由知n為9的倍數(shù)，由知n為6的倍數(shù)，因此由可知，n是9和6的公倍數(shù)，即是18的倍數(shù)。（1）當(dāng)n=18時(shí)，把n=18代入得a=3把a(bǔ)=3代入得d=73=4再把d=4代入得b=24=2,d等于負(fù)數(shù)不符合題意。（2）當(dāng)n=36時(shí)，把n=36代入得a=6把a(bǔ)=6代入得d=76=1再把d=1代入得b=21=1,符合題意。（3）當(dāng)n=54時(shí)，把n=54代入得a= EQ F(54,6) =9把a(bǔ)=8代入得d=79